二次函数与幂函数 高考数学专题复习要点及习题解答

1、二次函数与幂函数1五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质yxyx2yx3yxeq f(1,2)yx1图象定义域RRRx|x0 x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图象和性质f(x)ax2bxca0a1，函数y2x26x3在x1,1上为单调递减函数，ymin2631.答案：11对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就

2、必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点小题纠偏1已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,20)B.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,20)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,20)，) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,20)，0)解析：

3、选C由题意知eq blcrc (avs4alco1(a0，,0，,120aeq f(1,20).2给出下列命题：函数y2x是幂函数；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；当n0)为增函数，ac.yeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)x(xR)为减函数，cb.acb.答案：acb4(易错题)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：不等式(a1)32a0或32aa10或a1032a.解得a1或eq f(2,3)a0，若在(0，)上单调递减，则0.如“题组练透”第4题易错eq avs4al(考点二求二次函数的解析式)eq avs4al(重点保分型考点师生共研)典

4、例引领已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解：法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得eq blcrc (avs4alco1(4a2bc1，,abc1，,f(4acb2,4a)8，)解得eq blcrc (avs4alco1(a4，,b4，,c7.)所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的对称轴为xeq f(21,2)eq f(1,2).meq f(1,2).又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)aeq blc(rc)(avs4alco1

5、(xf(1,2)28.f(2)1，aeq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2)281，解得a4，f(x)4eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)284x24x7.法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即eq f(4a2a1a2,4a)8.解得a4或a0(舍)所求函数的解析式为f(x)4x24x7.由题悟法求二次函数解析式的方法 即时应用已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求

6、f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.eq avs4al(考点三二次函数的图象与性质) eq avs4al(常考常新型考点多角探明)命题分析高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用常见的命题角度有：

7、(1)二次函数的单调性问题；(2)二次函数的最值问题；(3)二次函数中恒成立问题题点全练角度一：二次函数的单调性问题1已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解：(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.所以实数a的取值范围是(，64，)(2)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x3，x0，6，,x22x3，x6，0，

8、)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0角度二：二次函数的最值问题2已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解：函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.3设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(x)，求g(x)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，g(x)eq blcrc (avs4alco1(a22a，21.)角度三：二次函数中恒成立问题4已知a

9、是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，求实数a的取值范围解：由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，适合；当x0时，aeq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(1,3)2eq f(1,6)，因为eq f(1,x)(，11，)，当x1时，右边取最小值eq f(1,2)，所以aeq f(1,2).综上，实数a的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2).方法归纳1二次函数最值问题的三种类型及解题思路(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指

10、区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴2由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键(1)两大思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)一个关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2016济南诊断)已知幂函数f(x)kx的图象过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(2),2)，则k()A.eq f(1,2)B1C.eq f(3,2) D2解析：选C由幂函数的定义知k1.又f eq blc(rc)(avs4alco1(

11、f(1,2)eq f(r(2),2)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(r(2),2)，解得eq f(1,2)，从而keq f(3,2).2函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3 B13C7 D5解析：选B函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为直线xeq f(m,4)，由函数f(x)的增减区间可知eq f(m,4)2，m8，即f(x)2x28x3，f(1)28313.3函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1 B2C3 D1或2解析：选Bf

12、(x)(m2m1)xm是幂函数m2m11m1或m2.又x(0，)上是增函数，所以m2.4二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_解析：依题意可设f(x)a(x2)21，图象过点(0,1)，4a11，aeq f(1,2).f(x)eq f(1,2)(x2)21.答案：f(x)eq f(1,2)(x2)215对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_解析：由题意可得eq blcrc (avs4alco1(5a0，,3645aa50，)解得4a4.答案：(4,4)二保高考，全练题型做到高考达标1设eq blcrc(avs4alco1(

13、2，1，f(1,2)，f(1,2)，1，2)，则使f(x)x为奇函数，且在(0，)上单调递减的的值的个数是()A1B2C3 D4解析：选A由f(x)x在(0，)上单调递减，可知0时，图象开口向上，所以x2时取得最大值，f(2)4a4a14，解得aeq f(3,8)；当a0，解得1m0，得3x1，,x1，x1时，(x)2，当x2，所以(x)2，故此时a2.综合，得所求实数a的取值范围是(，2(2)h(x)eq blcrc (avs4alco1(x2axa1，0 x1，,0，x1，,x2axa1，1x2.)当eq f(a,2)0时，即a0，(x2axa1)maxh(0)a1，(x2axa1)maxh(2)a3.此时，h(x)maxa3.当0eq f(a,2)1时，即2a0，(x2axa1)maxheq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq f(a2,4)a1，(x2axa1)maxh(2)a3.此时h(x)maxa3.当1eq f(a,2)2时，即4a2，(x2axa