2022版高考数学一轮复习第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐标表示学案理

1、2021版高考数学一轮复习第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐标表示学案理PAGE PAGE 324.2平面向量基本定理及坐标表示 知识梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)，|ab|eq

2、r(x2x12y2y12).3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.诊断自测1概念思辨(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，1(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2).()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A4P119T11)已知|eq o(OA,sup16()|1，|eq o(

3、OB,sup16()|eq r(3)，eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()，点C在线段AB上，AOC30.设eq o(OC,sup16()meq o(OA,sup16()neq o(OB,sup16()(m，nR)，则eq f(m,n)等于()A.eq f(1,3) B3 C.eq f(r(3),3) D.eq r(3)答案B解析依题意，以O为原点，OA、OB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0，eq r(3)，设C(x，y)，由eq o(OC,sup16()meq o(OA,sup16()neq o(OB,sup16()得xm，yeq r(3)n，

4、又AOC30，知eq f(y,x)eq f(r(3),3)，故eq f(m,n)3，选B.(2)(必修A4P101A组T5)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则eq f(m,n)_.答案eq f(1,2)解析解法一：由已知条件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb与a2b共线，eq f(2mn,4)eq f(3m2n,1)，即n2m12m8n，eq f(m,n)eq f(1,2).解法二：注意到向量a(2,3)，b(1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而manb与a2b共线的本质是对应的坐标(系数)

5、成比例，于是有eq f(m,1)eq f(n,2)eq f(m,n)eq f(1,2).3小题热身(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2) C1 D2答案B解析ab(1，2)，由(ab)c，得(1)4320，eq f(1,2).故选B.(2)(2014福建高考)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析设ak1e1k2e2，A选项，(3,2)(k2,2k2)

6、，eq blcrc (avs4alco1(k23，,2k22，)无解B选项，(3,2)(k15k2,2k12k2)，eq blcrc (avs4alco1(k15k23，,2k12k22，)解之得eq blcrc (avs4alco1(k12，,k21.)故B中的e1，e2可把a表示出来同理，C，D选项同A选项，无解故选B.题型1平面向量基本定理及应用eq o(sup7(),sdo5(典例)(2015北京高考)在ABC中，点M，N满足eq o(AM,sup16()2eq o(MC,sup16()，eq o(BN,sup16()eq o(NC,sup16().若eq o(MN,sup16()xe

7、q o(AB,sup16()yeq o(AC,sup16()，则x_，y_.用向量三角形法则表示出eq o(MN,sup16().答案eq f(1,2)eq f(1,6)解析由eq o(AM,sup16()2eq o(MC,sup16()知M为AC上靠近C的三等分点，由eq o(BN,sup16()eq o(NC,sup16()，知N为BC的中点，作出草图如下：则有eq o(AN,sup16()eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，所以eq o(MN,sup16()eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq

8、f(2,3)eq o(AC,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(1,6)eq o(AC,sup16()，又因为eq o(MN,sup16()xeq o(AB,sup16()yeq o(AC,sup16()，所以xeq f(1,2)，yeq f(1,6).方法技巧应用平面向量基本定理的关键点1平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量2选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来3强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等冲关针对训练设D，E分别是ABC的边AB，BC

9、上的点，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC.若eq o(DE,sup16()1eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()(1，2为实数)，则12的值为_答案eq f(1,2)解析eq o(DE,sup16()eq o(DB,sup16()eq o(BE,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)eq o(BC,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)(eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,6)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)e

10、q o(AC,sup16()，eq o(DE,sup16()1eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()，1eq f(1,6)，2eq f(2,3)，故12eq f(1,2).题型2平面向量共线的坐标表示及应用角度1求点的坐标eq o(sup7(),sdo5(典例)已知A(2,3)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|eq f(3,2)|BP|，则点P的坐标为_方程组法答案(8，15)解析设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，且eq o(AP,sup16()eq f(3,2)eq o(BP,sup16()，得(x2，y3)eq f(3,2)(x4，y3)

11、，即eq blcrc (avs4alco1(x2f(3,2)x4，,y3f(3,2)y3.)解得eq blcrc (avs4alco1(x8，,y15.)所以点P的坐标为(8，15)角度2研究点共线问题eq o(sup7(),sdo5(典例)(2018佛山调研)设eq o(OA,sup16()(1，2)，eq o(OB,sup16()(a，1)，eq o(OC,sup16()(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值是()A2 B4 C6 D8用到均值不等式、向量问题实数化答案D解析由题意可得，eq o(OA,sup16()(1，

12、2)，eq o(OB,sup16()(a，1)，eq o(OC,sup16()(b,0)，所以eq o(AB,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OA,sup16()(a1,1)，eq o(AC,sup16()eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()(b1，2)又A，B，C三点共线，eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，即(a1)21(b1)0，2ab又a0，b0，eq f(1,a)eq f(2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(2,b)(2ab)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)f

13、(4a,b)448，当且仅当eq f(b,a)eq f(4a,b)时，取“”故选D.方法技巧1利用两向量共线求点的坐标利用向量共线的坐标表示构造所求点的坐标的方程组，解方程组即可注意方程思想的应用如角度1典例2研究点(向量)共线问题两平面向量共线的充要条件有两种形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10.如角度2典例(2)若ab(b0)，则ab.冲关针对训练1(2017许昌二模)已知ABC的三个顶点的坐标为A(0，1)，B(1,0)，C(0，2)，O为坐标原点，动点M满足|eq o(CM,sup16()|1，则|eq o(OA,sup16()eq o(

14、OB,sup16()eq o(OM,sup16()|的最大值是()A.eq r(2)1 B.eq r(7)1 C.eq r(2)1 D.eq r(7)1答案A解析设点M的坐标是(x，y)，C(0，2)，且|eq o(CM,sup16()|1，eq r(x2y22)1，则x2(y2)21，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆A(0,1)，B(1,0)，eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()(x1，y1)，则|eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()|eq r(x12y12)，几何意义表示：点

15、M(x，y)与点N(1，1)之间的距离，即圆C上的点与点N(1，1)的距离点N(1，1)在圆C外部，|eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()|的最大值是|NC|1eq r(012212)1eq r(2)1，故选A.2(2018湖北武昌调考)已知点P(1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，1)若向量eq o(PQ,sup16()与向量a(，1)共线，则_.答案eq f(2,3)解析点P(1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，1)，向量eq o(PQ,sup16()2eq o(PM,sup16()2(11，12)(4，6)又eq o(PQ,s

16、up16()与向量a(，1)共线，4160，即eq f(2,3).1(2016全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6 C6 D8答案D解析由题可得ab(4，m2)，又(ab)b，432(m2)0，m8.故选D.2(2018福州一中模拟)已知ABC和点M满足eq o(MA,sup16()eq o(MB,sup16()eq o(MC,sup16()0.若存在实数m使得eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()meq o(AM,sup16()成立，则m()A2 B3 C4 D5答案B解析由eq o(MA,sup16()eq o(MB,sup16

17、()eq o(MC,sup16()0，知点M为ABC的重心，设点D为边BC的中点，则eq o(AM,sup16()eq f(2,3)eq o(AD,sup16()eq f(2,3)eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,3)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，所以eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()3eq o(AM,sup16()，故m3，故选B.3(2017福建四地六校联考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且eq o(OD,sup16()eq f(1,2)(e

18、q o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(CB,sup16()，则|eq o(BD,sup16()|等于_答案2eq r(2)解析由eq o(OD,sup16()eq f(1,2)(eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(CB,sup16()eq f(1,2)(eq o(OA,sup16()eq o(OC,sup16()，知点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以eq o(BD,sup16()(2,2)，故|eq o(BD,sup16()|eq r(2222)2eq r(2).4(2017湘中名校联考)已知在ABC中，ABAC6，BAC

19、120，D是BC边上靠近点B的四等分点，F是AC边的中点，若点G是ABC的重心，则eq o(GD,sup16()eq o(AF,sup16()_.答案eq f(21,4)解析连接AD，AG，如图依题意，有eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BD,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)(eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()，eq o(AF,su

20、p16()eq f(1,2)eq o(AC,sup16()，eq o(GD,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(AG,sup16()eq o(AD,sup16()eq f(2,3)eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(3,4)eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(1,3)eq o(AC,sup16()eq f(5,12)eq o(AB,sup16()eq f(1,12)eq o(AC,sup16()，故eq o(GD,sup16

21、()eq o(AF,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)o(AB,sup16()f(1,12)o(AC,sup16()eq f(1,2)eq o(AC,sup16()eq f(5,24)eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,24)eq o(AC,sup16()2eq f(5,24)66eq f(1,2)eq f(1,24)62eq f(15,4)eq f(3,2)eq f(21,4).基础送分 提速狂刷练一、选择题1已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1

22、且c与d同向 Dk1且c与d反向答案D解析cd，(kab)(ab)，存在使kab(ab)，eq blcrc (avs4alco1(k，,1)eq blcrc (avs4alco1(k1，,1.)cab，c与d反向故选D.2(2018襄樊一模)已知eq o(OA,sup16()(1，3)，eq o(OB,sup16()(2，1)，eq o(OC,sup16()(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2 Bkeq f(1,2) Ck1 Dk1答案C解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量eq o(AB,sup16()与eq o(AC,sup16()共线因为eq

23、 o(AB,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OA,sup16()(2，1)(1，3)(1,2)，eq o(AC,sup16()eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()(k1，k2)(1，3)(k，k1)所以1(k1)2k0，解得k1，故选C.3(2018怀化一模)设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案D解析设d(x，y)，由题意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(a

24、c)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，4(2017河南高三质检)在ABC中，BAC60，AB5，AC4，D是AB上一点，且eq o(AB,sup16()eq o(CD,sup16()5，则|eq o(BD,sup16()|等于()A6 B4 C2 D1答案C解析设eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()，eq o(CD,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(AC,sup16()，eq o(AB,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(AB,sup16()(eq o(AD,sup16()eq o(AC,s

25、up16()eq o(AB,sup16()2eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()5，可得2515，eq f(3,5)，|eq o(BD,sup16()|eq f(2,5)|eq o(AB,sup16()|2，故选C.5在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量eq o(OA,sup16()a，eq o(OB,sup16()b，其中a(3,1)，b(1,3)若eq o(OC,sup16()ab，且01，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()答案A解析由题意知eq o(OC,sup16()(3，3)，取特殊值，0，0，知所求区域包含原点，排除B；取0，1，知所求区域包

26、含(1,3)，排除C，D，故选A.6(2018茂名检测)已知向量a(3，2)，b(x，y1)且ab，若x，y均为正数，则eq f(3,x)eq f(2,y)的最小值是()A24 B8 C.eq f(8,3) D.eq f(5,3)答案B解析ab，2x3(y1)0，即2x3y3，又x，y0，eq f(3,x)eq f(2,y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,x)f(2,y)eq f(1,3)(2x3y)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(6f(9y,x)f(4x,y)6)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(122r(f(9y,x)

27、f(4x,y)8，当且仅当2x3yeq f(3,2)时，等号成立eq f(3,x)eq f(2,y)的最小值是8.故选B.7(2017济南二模)如图所示，两个非共线向量eq o(OA,sup16()、eq o(OB,sup16()的夹角为，N为OB中点，M为OA上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且eq o(OC,sup16()xeq o(OA,sup16()yeq o(OB,sup16()(x，yR)，则x2y2的最小值为()A.eq f(4,25) B.eq f(2,5) C.eq f(4,9) D.eq f(2,3)答案A解析因为点C，M，N共线，则eq o(OC,sup16()eq

28、o(OM,sup16()eq o(ON,sup16()eq f(2,3)eq o(OA,sup16()eq f(1,2)eq o(OB,sup16()，1，由eq o(OC,sup16()xeq o(OA,sup16()yeq o(OB,sup16()，xeq f(2,3)，yeq f(1,2)eq f(1,2)(1)，x2y2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(1,4)(1)2eq f(25,36)2eq f(,2)eq f(1,4)，设g()eq f(25,36)2eq f(,2)eq f(1,4)，由二次函数的性质可知：当eq f(9,25)时，g()取最小

29、值，最小值为geq blc(rc)(avs4alco1(f(9,25)eq f(4,25)，所以x2y2的最小值为eq f(4,25)，故选A.8(2017河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq o(DE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AD,sup16()(，为实数)，则22()A.eq f(5,8) B.eq f(1,4) C1 D.eq f(5,16)答案A解析eq o(DE,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,sup16()eq f(1,2)eq o(DO,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,su

30、p16()eq f(1,4)eq o(DB,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,sup16()eq f(1,4)(eq o(DA,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(AD,sup16()，所以eq f(1,4)，eq f(3,4)，故22eq f(5,8).故选A.9(2018安徽十校联考)已知A，B，C三点不共线，且eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()，则eq f(SABD,SACD)()A.eq f(2,3) B.eq f

31、(3,2) C6 D.eq f(1,6)答案C解析如图，取eq o(AM,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()，eq o(AN,sup16()2eq o(AC,sup16()，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，此时eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16().由图可知SABD3SAMD，SACDeq f(1,2)SAND，而SAMDSAND，eq f(SABD,SACD)6.故选C.10如图所示，在四边形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135，记向量eq o(AB,sup16()a，e

32、q o(AC,sup16()b，则eq o(AD,sup16()()A.eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bBeq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bCeq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bD.eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)b答案B解析根据题意可得ABC为等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DEy轴于点E，则CDE也为等腰直

33、角三角形由CD1，得CEEDeq f(r(2),2)，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1f(r(2),2)，eq o(AB,sup16()(1,0)，eq o(AC,sup16()(1,1)，eq o(AD,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)1，1f(r(2),2).令eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，则有eq blcrc (avs4alco1(f(r(2),2)1，,1f(r(2),2)，)得eq blcrc (avs4

34、alco1(r(2)，,1f(r(2),2)，)eq o(AD,sup16()eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)b.故选B.二、填空题11在梯形ABCD中，ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_答案(2,4)解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，eq o(DC,sup16()2eq o(AB,sup16().设点D的坐标为(x，y)，则eq o(DC,sup16()(4x,2y)，eq o(AB,sup16()(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，eq blcrc

35、 (avs4alco1(4x2，,2y2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y4，)故点D的坐标为(2,4)12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为_答案60解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理，得b2a2c2ab.由余弦定理，得cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2).又0C180，C60.13(2017太原三模)在ABC中，AB3，AC2，BAC60，点P是ABC内一点(含边界)，若eq o(AP,sup16()eq f(2,3)eq o(AB,sup16()eq o

36、(AC,sup16()，则|eq o(AP,sup16()|的最大值为_答案eq f(2r(13),3)解析以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，AB3，AC2，BAC60，A(0,0)，B(3,0)，C(1，eq r(3)，设点P为(x，y)，0 x3，0yeq r(3)，eq o(AP,sup16()eq f(2,3)eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，(x，y)eq f(2,3)(3,0)(1，eq r(3)(2，eq r(3)，eq blcrc (avs4alco1(x2，,yr(3)yeq r(3)(x2)，直线BC的方程为yeq f(r

37、(3),2)(x3)，联立，解得eq blcrc (avs4alco1(xf(7,3)，,yf(r(3),3)，)此时|eq o(AP,sup16()|最大，|AP|eq r(f(49,9)f(1,3)eq f(2r(13),3).14(2018江西南昌一模)已知三角形ABC中，ABAC，BC4，BAC120，eq o(BE,sup16()3eq o(EC,sup16()，若点P是BC边上的动点，则eq o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()的取值范围是_答案eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(10,3)解析因为ABAC，BC4，BAC120，所以ABC30

38、，ABeq f(4r(3),3).因为eq o(BE,sup16()3eq o(EC,sup16()，所以eq o(BE,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16().设eq o(BP,sup16()teq o(BC,sup16()，则0t1，所以eq o(AP,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BP,sup16()eq o(AB,sup16()teq o(BC,sup16()，又eq o(AE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BE,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16()，所以eq

39、 o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()(eq o(AB,sup16()teq o(BC,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup16()f(3,4)o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()2teq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)teq o(BC,sup16()2eq f(16,3)t4eq f(4r(3),3)cos150eq f(3,4)4eq f(4r(3),3)cos150eq f(3,4)t424teq f(2,3)，因为0t1，所以eq f(2,3)4teq f(2,3)eq f(10,3)，即eq o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(10,3).三、解答题15给定两个长度为1的平面向量eq o(OA,sup16()和eq o(OB,sup16()，它们的夹角为eq f(2,3).如图所示，点C