无约束最优化问题及其Matlab求解

1、、教学目标了解悟约束规划的基本算法最速下降法(共轭梯度法)的基本步骤掌握用Matlab求解五约束的一元规划问题、多元规划问题、以及Matlab 求解过程中参数的设置。针对实际问题能列出其无约束规划方程并用Matlab求解。教学手段用Flashmx 2004制作课件，并用数学软件Matlab作辅助教学采用教学手法上采取讲授为主、讲练结合的方法。上机实践操作。三、教学内容(一人求解无约束最优化问题的基本思想标准形式：mEnfX其中 f : En. Ei(借助课件说明过程)(二八无约束优化问题的基本算法1最速下降法(共轭梯度法)算法步骤：(1)给定初始点X En，允许误差； 0,令k=0;计算If

2、Xk ；检验是否满足收敛性的判别准则：pf (xkk J若满足，则停止迭代，得点X*Xk，否则进行；令Sk -行Xk,从Xk出发，沿Sk进行一维搜索，即求k 使得：mif f Xk Sk i=f XkkSk *令乂心乂一气，k=k+1返回.最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少，初始点要求不高；缺点是收敛慢。(借助课件说明过程，由于算法在实际中用推导过程比较枯燥，用课件显示搜索过程比较直观)2.采用Matlab软件，利用最速下降法求解无约束优化问题常用格式如下：x= fminbnd (fun,x1,x2)x= fminbnd (fun

3、,x1,x2，options)x，fval= fminbnd ()x，fval，exitflag= fminbnd ()x，fval，exitflag，output= fminbnd ()其中(3)、(4)、(5)的等式右边可选用(1)或(2)的等式右边。函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能 只给出局部最优解。或者fminunc、fminsearch命令。3.优化函数的变量Matlab输入格式变量描 述调用函数f线性规划的目标函数f*X或二次规划的目标函 数 X*H*X+f*X中线性项的系数向量lin prog,quadprogfun非线性优

4、化的目标函数.fun必须为行命令对象 或M 文件、嵌入函数、或MEX八件的名称fminbn d,fm in search,fm inunc, fmincon,l sqcurvefit,ls qnon li n, fgoalattai n,fmini maxH二次规划的目标函数X*H*X+f*X中二次项的系 数矩阵quadprogA,bA矩阵和b向量分别为线性不等式约束：AX兰b中的系数矩阵和右端向量lin prog,quadprog,fgoalatta in, fmincon, fmin imaxAeq,beqAec矩阵和beq向量分别为线性等式约束：Aeq=beq中的系数矩阵和右端向量lin

5、 prog,quadprog,fgoalatta in, fmincon, fmin imaxvlb,vubX的下限和上限向量：vlb X0,则x为解；否 则,x不是最终解，它只是迭代制止 时优化过程的值所有优化函数fval解X处的目标函数值lin prog,quadprog,fgoalatta in, fmi ncon,fmini max,lsqcurvefit, Isqnon li n, fminbndexitflag描述退出条件：exitflag0,表目标函数收敛于解x处exitflag=0,表已达到函数评价或迭代 的最大次数exitflag0,表目标函数不收敛output包含优化结果信

6、息的输出结构.Iterati on s:迭代次数Algorithm:所采用的算法FuncCount:函数评价次数所有优化函数5控制参数options的设置Display湿示水平.取值为off 时，不显示输出；取值为iter时,显示每次迭代的信息；取值为final时,显示最终结果默认值为final.MaxFunEvals:允许进行函数评价的最大次数，取值为正整数.MaxIter:允许进行迭代的最大次数，取值为正整数.(三人多元函数无约束优化问题Matlab命令格式为：x= fminunc (fun,X0)；或 x=fminsearch (fun,X0)x= fminunc (fun,X0 , o

7、ption ；或 x=fminsearch (fun,X0 , optionx, fval= fminunc (.) ； 或x, fval= fminsearch ()x, fval, exitflag= fminunc (.);或x, fval, exitflag= fminsearchx, fval, exitflag, output=fminunc ()；或x, fval, exitflag, output=fminsearch ()(四八练习题例1求f = 2 e”in x在0 x8中的最小值与最大值主程序为wliti1.m:f=2*exp(-x).*sin(x);fplot(f,0,

8、8);% 作图语句xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x);xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)运行结果：xmin = 3.9270 ymin = -0.0279xmax = 0.7854 ymax = 0.6448(借助课件说明过程、作函数的图形) 例2对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形 无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为：(3 2x2)x，建立无约束优化模型为：min y=-(3_2x2)x , 0 x1.5先编写 M 文件 funO.m 如下：f

9、unction f=funO (x) f=-(3-2*x).A2*x;主程序为wliti2.m:x,fval=fmi nbn d(fu n0,0,1.5);xmax=x fmax=-fval运算结果为：xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时 水槽 的容积最大，最大容积为2立方米.(借助课件说明过程、作函数的图形、并编制计算程序)例 3 mi nF (x) =(4x； 2x； 4x1x2 2x2 1)*exp( xj1、编写M-文件fun1.m:function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)A2+2*x(2)A

10、2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2、输入M文件wliti3.m如下：x0 = -1, 1; x=fminunc( fun1 ，x0); y=fun1(x)3、运行结果：x= 0.5000-1.0000y =1.3029e-10(借助课件说明过程、作函数的图形并编制计算程序)例 4 Rosenbrock 函数 f ( x1，x2) =100(x2-x 12)2+(1-x 1)2 的最优解(极小)为x*=( 1,1),极小值为f*=0试用不同算法(搜索方向和步长搜索)求数值最优解初值选为 x0= (-1.2,2).为获得直观认识，先画出Rosenbrock函数的三维图形，输入以下命

11、令：x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);z=100*(y-x.A2).A2+(1-x).A2;mesh(x,y,z)画出Rosenbrock函数的等高线图，输入命令：con tour(x,y,z,20)hold onplot(-1.2,2,o );text(-1.2,2,start point)plot(1,1,o)text(1,1,solutio n)f=100*(x (2)-x(1)A2)A2+(1-x (1) )A2;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, -1.2 2)运行结果：x =1.00001.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1output =iteratio ns: 108 funcCount: 202 algorithm: Nelder-Mead simplex direct search (借助课件说明过程、作函数的图形并编制计算程序)(五)、作业陈酒出