高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和(第2课时)数列求和巩固提升(含解析)新人教A版必修

1、第2课时数列求和A基础达A基础达标.设an是首项为ai,公差为一1的等差数列，&为其前n项和.若Si,S,$成等比数列，则a=（）A.2B.-2C。错误！D.错误！解析：选D。因为等差数列an的前n项和为Sn=na+错误！d,所以Si,S分别为ai,2ai1,4ai6。因为Si,S,&成等比数列，所以（2aii）2=a-（4ai6）,解得ai=错误！。.数列an的通项公式是2门=错误！，若前n项和为i0,则项数为（）A.iiB.99C.i20D,i2i解析：选。因为an=错误！=错误！一错误！，所以Sn=ai+a2+-+an=（V2-i）+（季-也）+（错误！一错误！）=错误！一i,令yjn+

2、ii=i0,得n=i20.数列an,bn满足anbn=i,an=n2+3n+2,则bn的前i0项和为（）A.错误！Bo错误！Co错误！D错误！解析：选B.依题意=错误！=错误！=错误！=错误！一错误！，所以bn的前i0项和为So=错误！+错误！+错误！+错误！=错误！一错误！=错误！，故选4.设数列i,（i+2）,，（i+2+22+T2nT）,的前n项和为S,则Sn=B. 2nnB. 2nnA.2n2n+1-nD.2n+1-n-2解析：选D.因为an=1+2+22+2n-=错误！=2n1,所以Sn=(2+22+23+2n)-n=错误！一n=2n+1n2。.在数列an中，31=2,a=2,an+

3、2an=1+(1)n,neN*,则5的值为()A.990B.1000C.1100D.99解析：选A.当n为奇数时，an+2an=0,an=2;当n为偶数时，an+2an=2,an=n.故S0=2X30+(2+4+-+60)=990.在等比数列an中，若a=错误!,a4=4,则|a|+|a2|+|anI=解析：设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=8,所以q=2.等比数列|&|的公比为|q|=2,则|an|=错误！X21,所以|a|+|a2|+|a3|+|an|=错误！(1+2+22+-+2nt)=错误！(2n1)=2n错误！。答案：2nT错误！.已知函数f(n)=错误！

4、且an=f(n)+f(n+1),则a+a?+a3+a。等于解析：由题意，a+a?+a00=122+3+344+5+99100100+1012=(1+2)+(3+2)(99+100)+(101+100)=100。答案：100、一*_一，_*一一.，一*，一一一.在数列an中，a=1,an=错误！an1(n2,nCN),则数列错误！的刖n项和Tn=解析：令bn=y,由数列的递推公式，可得错误！=错误！，且3=错误！=1,则bn=b1X错误！X错误！X错误！X-X错误！=1X错误！X错误！X错误！X-X错误！=错误！，所以Tn=1+错误！+错误！+错误！=1+2错误！错误！=1+2错误！=错误！。答

5、案n+12n答案n+1.设an是公比为正数的等比数列，a=2,a3=a?+4。(1)求数列an的通项公式；(2)设bn是首项为1,公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn.解：(1)设q为等比数列an的公比，则由a=2,a3=a+4,得2q2=2q+4,即q2q2=0,解得q=2或q=1(舍去)，因此q=2,所以an的通项公式为an=2n(nCN)(2)由题意得数列an+bn的前n项和Sn=&+&+an+(b1+b2+bn)=错误！+nX1+错误！x2=2n+1+n22.(2019广东深圳调研)设数列&的前n项和为Sn,a=2,an+1=2+Sn(neN*).(1)求数列an的通项公

6、式；(2)设bn=1+log2(an)2,若数列错误！的前n项和为Tn,求Tn。解：(1)因为an+1=2+Sn(neN*),所以an=2+Sn1(n2),所以ani+1an-SSn-1an,所以an+12an(n2),又因为a=2+&=4,&=2,所以a2=2a1,所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则an=22nT=2n(neN*).(2)证明：因为bn=1+log2(an)2,则bn=2n+1,所以错误！=错误！错误！，所以Tn=错误！错误！=错误！错误！=错误！.B能力提升.(2019石家庄期末检测)已知数列an满足an+2=an+1an,且a1=2,a2=3,S为数 TOC

7、 o 1-5 h z 列an的前n项和，则S2019的值为()A0B1C6D4解析：选C.由题意可得a=2,a2=3,a3=1,a4=2,a53,a61,a?=2,a83,a9=1,，则数列an是以6为周期的周期数列，且a1+a?+a?+a4+a5+a6=0,所以S2019336x(a+a2+a?+a4+as+a6)+a+&+a3=6.故选Co.已知lnx+lnx2+lnx10=110,则lnx+ln2x+ln3x+ln1x=.解析：由lnx+lnx2+lnx10=110。得(1+2+3+-+10)lnx=110,所以lnx=2。从而Inx+ln2x+In3X+-+In10 x=2+22+23

8、+210-11-_=错误！=22=2046。答案:2046.已知数列an酒足：ai=1,an+i+an=4n1,nCN。求数列a的前n项和Sn.解：由条件an+an=4n1,ani+2+ani+1=4(n+1)1,两式相减，得an+2an=4(常数).这表明数列an的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列，且a2=2。当n为偶数时，Sn=错误！x1+错误！x4+错误！X2+错误！X4=n2-错误!.当n为奇数时，n+12s=-2X1+错误！X4+错误！X2+错误！X4=n错误！。故Sn=错误！.(选做题)已知数列an的通项公式为an=3n;在等差数列bn中，bn0,且b1+b?+b3=15

9、,又a1+b,a?+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列anbn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解：(1)因为a=3n1,所以a=1,a2=3,a3=9.因为在等差数列bn中，b+b2+b3=15,所以3b2=15,则b2=5。设等差数列bn的公差为d,又a1+bbaz+b2,a+b3成等比数列，所以(1+5d)(9+5+d)=64,解得d=10或d=2.因为bn0,所以d=10应舍去，所以d=2,所以b1=3,所以bn=2n+1。故anbn=(2n+1)3nT。由(1)知Tn=3X1+5X3+7X32+-+(2n-1)32+(2n+1)3n1,3Tn = 3X3+5X 3

10、 2+7X3 3+(2n1)33Tn = 3X3+5X 3 2+7X3 3一，得2Tn=3X 1 + 2X3+ 2Tn=3X 1 + 2X3+ 2X32 + 2X3 3+-+2X3 n 1-(2n+ 1)3n= 3+2 (3+32+ 33 + - +3n1) (2n+ 1)3n=3+2x错误！一(2n+1)3n=3n(2n+1)3n=2n3n.所以Tn=n3n.等比数列（强化练）、选择题 TOC o 1-5 h z 1.已知等比数列&的公比q/音误！，a2=8,则其前3项和S3的值为（）A.24B.28C.32D.16一，一，一，一，、，1解析：选B.在等比数列an中，因为公比q=2，a2=8

11、,所以a=错误！=错误！=16,a3=a2q=8x错误！=4,则S3=a+a?+a3=16+8+4=28.2.已知数列an是等比数列，若a2=2,a3=4,则法等于（）A.8B.-8C.16D.16解析：选D.设等比数列an的公比为q0因为a=2,a3=4,所以q=错误！=错误!2.由a2=a1q,得a=一1。则a5=ay4=1X（2）4=16。故选D.在正项等比数列an中，23=错误！，a5=8a7,则日。等于（）Ao错误！Bo错误！C.错误！D.错误！解析：选Do42=错误！=错误！，即q=错误！,所以aio=a3q7=错误！错误！错误！=错误！，选D.在等比数列an中，已知a5a14=5

12、,则a3a4a15a化等于()A.10B. 25D. 75解析：选B.法一：因为aB. 25D. 75解析：选B.法一：因为a3a16= a4a15= a5a14= 5,以a3a4a15a16=525.法二：由已知得 aq4 aiq13a2q175所以 法二：由已知得 aq4 aiq13a2q175所以 a3a4a15a化=a1q2 aq3 . aq14 aq15=a错误！ - q34= （a错误！ q17） 2 = 25。5.设首项为1,公比为错误！的等比数列an的前n项和为Sn,则()Sn=2an1Sn=3an 2S=43an解析：选D.在等比数列 an中,S=错误！=错误！ = 3 2a

13、n.S=3 2an6.已知数列 an满足：错误！=错误！，且a2= 2,则a4等于A.B. 23C.12D. 11解析：选Do因为数列an满足：:D=错误！，所以an+1+1=2(an+1),即数列an+&十1十11是等比数列，公比为2。则a4+1=22(az+1)=12,解得a4=11。7.(2019中山一中调研)在等比数列an中，S是它的前n项和.若a2a3=2即且国与2a7的等差中项为17,则&=()A.错误！B.16C.15D.错误！解析：选A.由等比数列的性质，知a1a4=a2a3=2a1，得a4=2。因为a4+2a7=2x17=34,所以a7=16,所以q3=错误！=错误！=8,即

14、q=2。由a4=a1q3=8a1=2,得a1=错误!,所以$=错误！=错误!.故选Ao TOC o 1-5 h z .在等比数列an中，若a2a5=一错误！，a?+a3+a4+25=错误！，则错误！+错误！+错误！+错误！=()A.1B.一错误！C.一错误！D.一错误！,_3解析：选。数歹1an是等比数列，a2a5=4=a3a4,a?+a3+&+a5=错误！，所以错误！+错误！+错误！+错误！=错误！+错误！=错误！=一错误！。.在等比数列an中，ai=2,前n项和为Sn,若数列a+1也是等比数列，则S等于()A.2n1-2B.3nC.2nD.3n1解析：选C.因为数列an为等比数列，设数列a

15、n的公比为q,则an=2qn1因为数列an+1也是等比数列，则(an+1+1)=(an+1)(a+2+1)?a错误！+2an+1=anan+2+an+a+22?an+an+2=2an+1?an(1+q2q)=0?(q1)0?q=1由a=2得an=2,所以Sn=2n.九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%,今共有粮m(m0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为()A.2

16、0%369B.80%369C.40%360D.60%365解析：选A.设“衰分比”为a,甲衰分得b石，由题意得错误！解得b=125,a=20%,369。二、填空题.已知等比数列an的前n项和为Sn,若$+34=0,则公比q=.解析：因为$+3S=0,所以错误！+错误！=0,2即(1q)(q+4q+4)=0。解得q=2或q=1(舍去).答案：2.已知数列an中，a=2,an+12an=0,bn=log2an,则数列bn的前10项和等于解析：在数列an中，ai=2,an+i2an=0,即错误！=2,所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列.所以an=2X2nT=2n.所以bn=log22n=n

17、。则数列bn的前10项和为1+2+-+10=55.答案：55.在14与7之间插入n个数，组成所有项的和为错误！的等比数列，则此数列的项数为解析：设此数列的公比为q,则错误!?错误！故此数列共有5项.答案：5.已知数列a是等比数列，a2=2,a5=错误！，则a1a2+a2a3+anan+1=.解析：设数列an的公比为q,因为an是等比数列，且a2=2,25=错误！，所以错误!=q3=1,所以口=错误！，所以&=4,又an是等比数列，所以anan+寸也是等比数列，且首项为aa2=8,公比q=错误！，所以a1a2+a2a3+anan+=错误！=错误！(14一n).答案：错误！(14一n)三、解答题.

18、等差数列an的前n项和为Sn,已知a2=1,So=45。(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn=2an,求数列bn的前n项和Tn.解：(1)因为等差数列an的前n项和为S,已知a2=1,Sw=45,所以错误！解得错误!所以an=n-1。(2)由(1)知bn=2an=2-nT；错误！错误！，所以数列3是等比数列，且首项bi=1,公比4=错误！.所以Tn=错误！=2错误！。.(2018高考全国卷田)等比数列an中，ai=1,a5=4a3。(1)求an的通项公式；(2)记&为an的前n项和.若Sn=63,求m解：(1)设an的公比为q,由题设得an=qnT。由已知得q4=4q2,解得q

19、=0(舍去)，q=2或q=2。故an=(2)nT或an=2n(2)若an=(2)nT,则$=错误！。由Sm=63得(2)m=188，此方程没有正整数解.若an=2nT,则Sn=2n1.由Sm=63得2m=64,解得m=6。综上，6.数歹lan的前n项和是Sn,且S+错误！an=1,数列bn,Cn满足bn=10g3错误！，Cn错误！.求数列an的通项公式；(2)数列Cn的前n项和为Tn,若不等式Tnm对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围.解：(1)由题意得Sn+错误！an=1,Sn+1+错误！an+1=1,一可得an+1+错误！an+1错误！a=0,即an+1错误！ano当n=1时，S+错误！

20、3=1，则a=错误！。所以an是首项为错误！，公比为错误！的等比数歹I.因此an=错误！错误！错误！=错误！。因为bn=log3错误！=log332n=2n,Cn=错误！=错误！=错误！错误！.所以Tn=错误！错误！=错误！错误！错误！.因为Tnm对任意的正整数n恒成立，所以m错误！。所以m的取值范围是错误！o18.(2019广东重点中学联考)已知数列an是首项ai=错误！，公比4=错误！的等比数列，设bn+2=3log错误！an(nCN*),数列Cn满足Cn=anbn.(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列Cn的前n项和Sno解：(1)证明：由已知可得an=aqnT=错误！错误！，所以bn+2=3log错误！错误！错误！=3n,所以bn=3n2,所以bn+1bn=3,b1=3x12=1,所以bn为等差数列，其中首项b1=1,公差d=3。(2)Cn=anbn=(3n2)X错误！错误！，所以Sn=1X错误！+4X错误！错误！+7X错误！错误!+(3n2)x错误！错误！，错误！Sn=1x错误！错误！+4X