高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1.绝对值三角不等式教案(含解析)新人教A版选修4

1、1,绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a,b是实数，则|a+bIIa|+|bI,当且仅当ab-0时，等号成立.几何解释：用向量a,b分别替换a,bo当a与b不共线时，有|a+b|a|+|b|,其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边.若a,b共线，当a与b同向日寸，|a+bI=|a|+|b|,当a与b反向时,Ia+b|aI+Ib|.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式.定理1的推广：如果a,b是实数，则|a|b|ab|a|+|b|.(2)定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|.当且仅当(ab)(bc)40时，等号成立.几何解

2、释：在数轴上，a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时，|ac|m|ab|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时：点B在A或C上时，|ac|三|ab|+|bc|;点B不在A,C上时,|a-c|1a-b|+|b-c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.含绝对值不等式的判断与证明例1已知|A-a|错误！，|B-b|错误！，|C-c|错误！。求证：|(A+B+C)-(a+b+c)|错误!证明|(A+B+Q(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|w|(Aa)+(Bb)|+|Cc|0|Aa|+|Bb|+|Cc|o因为|A-a|错误！，|Bb|错误!,|C

3、-c|错误！,所以|A-a|+|Bb|+|C-c|错误！+错误！+错误！=s.方法规稼小结J含绝对值不等式的证明题两种类型及解法(1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式|Ia|-|b|ab|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明；(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.;也像臬制/二1.以下四个命题：若a,beR,则|a+b|-2|a|a-b|;若|a一b|1，则|a|b|+1;若|x|3,则错误！错误！；若AB0,则lg错误！错误！(l

4、g|A|+lg|B|). TOC o 1-5 h z 其中正确的命题有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析：选A|a+b|=|(b-a)+2a|a|b|,；|a|b|+1,正确；v|y|3，.二错误！错误！。又.IxI2,.错误！错误！，正确；错误！2=错误！(IA2+IB|2+2|A|BI)错误！(2|A|B+2|A|B|)=|AlB|,2lg错误！lg|A|B|。1g错误！错误！(1g|A|+1g|B|),正确.2.已知a,beR且aw0,求证：错误！，错误！一错误！。证明：若|a|b|,左边=错误！=错误！，错误！=错误！.V错误！W错误！，错误！W错误！，错误！+错误！W错误！.左

5、边，错误！=右边.若Ia|b|,左边0,右边0,.原不等式显然成立.若|a|=|b|,原不等式显然成立.综上可知原不等式成立.绝对值二角不等式的USII应用例2(1)求函数y=|x3|x+1|的最大值和最小值.a的取值范围.(2)如果关于x的不等式|x3|+|x4|a的取值范围.思路点拨利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解.解(1)法一：|x-3|一|x+1|I(x-3)(x+1)|=4,40|x3|x+1|04.ymax=4,ymin=-4o法二：把函数看作分段函数.y=|x3|一|x+1|=错误！4&y&4.ymax4,ymin4o(2)只要a不大于|x3|+|x-4|的最小值，则|x

6、-3|+|x-4|x-3+4x|=1,当且仅当(x-3)(4-x)0,即3&x04时等号成立.当3&x&4时，|x3|+|x4取得最小值1。；a的取值范围为(8,1.方法规律，小靖1(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式.(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.JI我做亲制M“I3.若a,beR,且|a|3,|b|02,则|a+b|的最大值是,最小值是解析：|a|-|b|a+b|a|+|b|,1=320|a+b|(x+1)-(x-5)|=6,当且仅当一1&x05时，等号成立，所以f(x)的最小值等于6,即a=6.若对任意实数，不等

7、式|x+1|x2|a包成立，求a的取值范围.解：a|x+1|x-2|对任意实数恒成立，a(|x+1|x2|)min.|x+1|x-2|(x+1)(x-2)|=3,30|x+1|x2|03。(|x+1|Ix2|mmin=3.a3.即a的取值范围为(一oo,-3).对于|a|-|b|a+b|0时，右边等号成立；当a+b0时，左边等号成立解析：选B当a,b异号且|a|b|时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确；当a+b=0时，右边等号不成立，C不正确;D显然不正确. TOC o 1-5 h z .若|a-c|b,则下列不等式不成立的是()A.|a|Ib|+Ic|B.|cI|c|a|D.b|a|-|

8、c|解析：选D|a-cIb,令a=1,c=2,b=3。贝U|a|=1,|b|+|c|=5,|a|c|-|a|成立.故b|a|c|不成立.不等式错误！1成立的充要条件是()A.a,b都不为零B.ab0C.ab为非负数D.a,b中至少有一个不为零解析：选B错误！1?|a+b|a|+|b|?a2+b2+2aba2+b2+2|ab|?ab|ab|?ab0.4.|xa|m且|ya|m是|x-y|2ni(x,y,a,meR)的()A.充分不必要条彳B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A/1x-a|nr|ya|m.|x-a|+|y-a|2m又【(xa)(ya)Iw|xa|十|ya|

9、,Ix-y|2m,但反过来不一定成立，如取x=3,y=1,a=2,2。5,|3-1|2.5,|1(2)|2。5,|x-y|2m不一定有|xa|m且|ya|m,故“|xa|m且|ya|vM是“|x-y|a-1|,则只需要|a-1|3,解得2a0,则下面四个不等式：|a+b|a|；|a+b|b|;|a+b|a|-|bI中，正确的有.解析：:ab0,a,b同号.|a+b|=|a|+|b|.:正确.答案：7,下列四个不等式：logx10+lgx2(x1)；|a-b|2(abw0);|x-1|+|x-2|1,其中恒成立的是.(填序号)解析：logx10+lgx=错误！+lgx2,正确；ab2,正确；由|

10、x1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x2|41恒成立，也正确，综上可知正确.答案：.设a,beR,o,|a|错误！，Ib|错误！s.求证:|4a+3b|3s.证明：.|a|错误！，|b|错误！g,|4a+3bI|4a|+|3b|=4|a|+3|b|4错误！十3错误！=3e。.已知函数f(x)=ax2+xa(11),且|a|01,求证：|f(x)|错误!.证明：:一1&X01,.Ix|01,又|a|W1,2If(x)|=|a(x1)+x|2la(x-1)|+|x|2|x-4+3-x|=1,当且仅当3&X&4时取等号，ymin=1o(2)由(1)知y1。要使yva有解，；al0即a的取值范

11、围为(1,十).(3)要使ya恒成立，只要y的最小值即可.3max1o尊敬的读者:本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑，引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeunsatisfactorypoints.Ifthereareomi