建平中学自主招生数学真题附详解

1、 /42016建平中学自主招生数学真题(附详解)1、如图，在平面直角坐标系中有RABC,ZA=90。,AB=AC,A(2,0)、B(0,1)、C(d,2)。求d的值；将厶ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式；在(2)的条件下，直线BC交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。【答案】解作CN丄x轴于点N。在RtACNA和RtAAOB中，NC=OA=2,AC=AB,:.RtACNA今RtAA

2、OB(HL)o.AN=BO=1,NO=NA+AO=3，又点C在第二象限，d=-3。k(2)设反比例函数为y=，点C和B在该比例函数图像上,x设C(c,2)，则Bc+3,1)。k把点C和B的坐标分别代入y=，得k=2c，k=c+3ox2c=c+3，c=3则k=6。反比例函数解析式为y=f。得点C2)；B)。3a+b=26a+b=1设直线CB3a+b=26a+b=11直线BC的解析式为y=-3x+3O335设Q是CG的中点，由G(0,3),C(3,2)，得点Q的横坐标为-，Q(2，R。(解法改进下，由中点公式可得丁25点Py=5，又因为点卩在反比例函数图像上，所以点69P5,5)，M(5,0)过点

3、Q作直线与x轴交于M*点，与y=6的图象交于P点，若四边形PGMC是平33行四边形，则有PQ=QM*，易知点M的横坐标大于-，点P的横坐标小于-o作P*H丄x轴于点H，QK丄y轴于点K,PH与QK交于点E，作QF丄x轴于点F，则TEQQFM.TOC o 1-5 h z36612设EQ=FM=t，则点P的横坐标x=-1，点p的纵坐标y为一=勺一=，2x33-2tt23125点M的坐标是(-+1,0)oP*E=32o由PQ=由PQ=QM，得P*E2+EQ2=QF2+FM*2,.(县(2)2+12,123整理得：3二习=5，解得t=10(经检验，它是分式方程的解)。3336t22105TOC o 1

4、-5 h z121233336t22105=5,+1+=3一2t3221053一2x10点M为所求的点点M为所求的点M.点P(g,5),M*(5，0)，则点P为所求的点P,12、(1)如图1,求证：AP-DE.2AAE.BPCDEED图1AAE.BPCDEED图1证明：(1)延长AP至H，使得PHAP，连接BH,HC,PH.BPPCBPPC；四边形ABHC是平行四边形；证明：过B作BHAE，交DE于H，连接CH,AH；Z1ZBAC60。；DBAC,ABCE，AD=AE,:.AAED是等边三角形，ZD=Z1=Z2=ZAED=60。；NBDH是等边三角形；BD=DH=BH=AC；四边形ABHC是平行四边形；点P是BC的中点，.点P是四边形ABHC对角线AH,BC的交点,点A,P,H共线，AH=2AP可证AADHAEDB；1i）当AB=AC时，AB=AC=DB=CE；BC=DE；2ii）当AB丰AC时，以BD,BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）DB=GC=AC，ZBAC=Z1,B