（本科）第十二章 无穷级数(改)高等数学下册教学课件

1、正版可修改PPT课件（本科）第十二章 无穷级数(改)高等数学下册教学课件无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数傅氏级数第十二章第十二章 无穷级数第一节 常数项级数第二节 正项级数的收敛判别法第四节 幂级数第五节 函数的幂级数展开第三节 一般常数项级数的收敛判别法第六节 幂级数的应用第七节 周期函数的傅里叶级数第八节 非周期函数的傅里叶级数第一节 常数项级数有关数列的性质第一节 常数项级数例如 第一节 常数项级数5)两边夹法则引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak

2、表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正第一节 常数项级数常数项级数的概念 第一节 常数项级数定义 给定一个数列将各项依即称为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和.第一节 常数项级数当级数收敛时, 称差值为级数的余项.则称无穷级数发散 .显然记为 第一节 常数项级数例 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解 1) 若因此级数收敛 ,则部分和因此级数发散 .其和为2) 若因此级数发散 ;因此从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为n

3、为奇数n 为偶数不存在 , 因此级数发散.第一节 常数项级数级数收敛的必要条件第一节 常数项级数常数项级数的性质 发散 级数收敛与否与前有限项无关 级数收敛 注:如果加括弧级数发散 加括弧后收敛去括弧后发散第一节 常数项级数即收敛.则收敛.例 判断级数的敛散性:解 考虑加括号后的级数发散 ,从而原级数发散 .第一节 常数项级数例 证明:证第一节 常数项级数，前n项和为发散第一节 常数项级数发散发散发散前 项和1.正项级数收敛的充分必要条件：有上界.第二节 正项级数的收敛判别法证第二节 正项级数的收敛判别法2. 正项级数的证明方法A.不等式形式 证 比较法第二节 正项级数的收敛判别法第二节 正项

4、级数的收敛判别法例 讨论 p- 级数(常数 p 0)的敛散性. 解 1) 若因为对一切而调和级数由比较判别法可知 p-级数发散 .发散 ,因为当故时,2) 若第二节 正项级数的收敛判别法故 收敛 , 由比较判别法知 p- 级数收敛 .而证明级数发散 .证 因为而级数发散根据比较判别法可知,所给级数发散 .例 第二节 正项级数的收敛判别法B.极限形式)第二节 正项级数的收敛判别法注：求极限时可用等价无穷小的代换例 证第二节 正项级数的收敛判别法)而发散故发散发散. 比值法) )第二节 正项级数的收敛判别法敛散性不定.例 解 ) 一般项为具体表达式 ) 一般项中含”n!”或次幂注: 用比值法解题第

5、二节 正项级数的收敛判别法收敛 根值法) 一般项为具体表达式,一般项中含有次幂)注: 用根值法解题第二节 正项级数的收敛判别法敛散性不定例 证明级数收敛.解 故级数收敛.第二节 正项级数的收敛判别法莱布尼茨定理：（1）（2）第三节 一般常数项级数的收敛判别法交错级数的定义：收敛收敛用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛第三节 一般常数项级数的收敛判别法第三节 一般常数项级数的收敛判别法绝对收敛与条件收敛 定义 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则收敛 ,称原级数为条件收敛 .均为绝对收敛.例如 ：绝对收敛 ；

6、则称原级数条件收敛 .第三节 一般常数项级数的收敛判别法定理 绝对收敛的级数一定收敛 .证 设根据比较判别法显然收敛,收敛也收敛且收敛 ,令例 证明下列级数绝对收敛 :证 (1)而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .第三节 一般常数项级数的收敛判别法第三节 一般常数项级数的收敛判别法(2) 令因此收敛,绝对收敛.第四节 幂级数函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数 .对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 .第四节 幂级数为级数的和函数 , 并写成若用令余项则在收敛域上

7、有表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它例如, 等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如, 级数级数发散 ;所以级数的收敛域仅为有和函数 第四节 幂级数幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数, 其中数列下面着重讨论例如, 幂级数为幂级数的系数 .即是此种情形.的情形, 即称 第四节 幂级数第四节 幂级数发 散发 散收 敛收敛发散定理 ( Abel定理 ) 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式证 设收敛,则必有于是存在常数 M 0, 使当 时, 收敛

8、,也收敛,反之, 若当时该幂级数发散 ,假设有一点所以若当满足且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾.第四节 幂级数例 则(C)D.C.B.A.分析 令第四节 幂级数则时时绝对收敛绝对收敛用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,发 散由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 的收敛域是以原点为发 散收 敛幂级数在 (, +) 收敛 ;则R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径 ， 在R , R 可能收

9、敛也可能发散 .外发散;在(R , R ) 称为收敛区间.第四节 幂级数定理 若的系数满足证 1) 若 0,则根据比值判别法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即时,则 第四节 幂级数第四节 幂级数2) 若则根据比值判别法可知,绝对收敛 ,3) 若则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径对端点 x =1, 的收敛半径及收敛域.解 对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛域为例 求幂级数 第四节 幂级数例 解 第四节 幂级数第四节 幂级数

10、缺项的幂级数如:解法 第四节 幂级数解 第四节 幂级数例 第四节 幂级数幂级数的运算求导求积分注: 求导,求积分不改变收敛半径,但收敛域可能改变第四节 幂级数解 级数的收敛半径 R+.例 则故有故得的和函数 .因此得设第四节 幂级数例 的和函数解 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发散,第四节 幂级数例 求级数的和函数解 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及收敛 , 第四节 幂级数因此由和函数的连续性得:而及第四节 幂级数例 解 设则第四节 幂级数而故第四节 幂级数第五节 函数的幂级数展开泰勒级数 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n +

11、1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :为f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 第五节 函数的幂级数展开第五节 函数的幂级数展开定理 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证令设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有定理 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数

12、相同.证 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论成立 .第五节 函数的幂级数展开函数展开成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为0.骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开第五节 函数的幂级数展开例 将函数展开成 x 的幂级数. 解 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 第五节 函数的幂级数展开例 将展开成 x 的幂级数.解 得级数:其收敛半径为 对

13、任何有限数 x , 其余项满足第五节 函数的幂级数展开类似可推出:第五节 函数的幂级数展开例 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解 易求出 于是得 级数由于第五节 函数的幂级数展开称为二项展开式 .说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 第五节 函数的幂级数展开对应的二项展开式分别为第五节 函数的幂级数展开2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例 将函数展开成 x 的幂级数.解 因为把 x

14、换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 第五节 函数的幂级数展开例 将函数展开成 x 的幂级数.解 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 域为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛第五节 函数的幂级数展开例 将展成 x1 的幂级数. 解 第五节 函数的幂级数展开第六节 幂级数的应用近似计算第六节 幂级数的应用第六节 幂级数的应用解微分方程第六节 幂级数的应用第六节 幂级数的应用求数项级数的和第六节 幂级数的应用欧拉公式三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率,为初相 )

15、(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.第七节 周期函数的傅里叶级数定理 组成三角级数的函数系证 正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的第七节 周期函数的傅里叶级数函数之积在上的积分不等于 0 .且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 同理可证 :第七节 周期函数的傅里叶级数定理 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 则有证 由定理条件,对在逐项积分, 得第七节 周期函数的傅里叶级数以 为周期的函数展开成傅里叶级数(利用正交性)类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得第七节 周期函数的傅里叶级数叶系数为系数的三角级数 称为的傅

16、里叶系数 ;由公式 确定的以的傅里的傅里叶级数 .称为函数第七节 周期函数的傅里叶级数第七节 周期函数的傅里叶级数定理 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.第七节 周期函数的傅里叶级数例 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解 先求傅里叶系数将 f (

17、x) 展成傅里叶级数. 第七节 周期函数的傅里叶级数第七节 周期函数的傅里叶级数1) 根据收敛定理可知,当时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近说明:f (x) 的情况见右图.第七节 周期函数的傅里叶级数例 上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 第七节 周期函数的傅里叶级数说明: 当时, 级数收敛于第七节 周期函数的傅里叶级数以2 l 为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式第七节 周期函数的傅里叶级数设周期为2l 的周期函数 f (

18、x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在 f (x) 的连续点处)其中定理 第七节 周期函数的傅里叶级数说明:其中(在 f (x) 的连续点处)如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)其中注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数收敛于如果 f (x) 为奇函数, 则有 第七节 周期函数的傅里叶级数周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在l ,l上的函数 f (x)展开成傅里叶级数其他第八节 非周期函数的傅里叶级数例 将函数则解 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶级数 .2为周期的函数 F(x) , 第八节 非周期函数的傅里叶级数利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明:第八节 非周期函数的傅里叶级数设已知又第八节 非周期函数的傅里叶级数定义在区间0,l上的函数展开成傅里叶级数第八节 非周期函数的傅里叶级数第八节 非周期函数的傅里叶级数例 把展开成(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解 (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有在 x = 2 k 处级数收敛于何值?第八节 非周期函数的傅里叶级数(2) 将 作偶周期延拓,则有第八节 非周期函数的傅里叶级数说明: 此式对也成立,由此还可导出据此有第八节 非周期函数的傅里叶级