数字化基础课件

1、1.2.1 数制的概念1.2.2 二进制及其运算1.2.3 不同进位计数制之间的转换1.2.4 数的定点与浮点表示1.2.5 原码、补码、反码软件学院 Institute of Software1.2.1 数制的概念什么叫数制？进位计数制，即用进位的方法来计数。 包括计数符号（数码）和进位规则两个方面。进位制：多位数码每位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。基数：进位制的基数，即该进位制中可能用到的数码个数。位权：每位的大小与所在位相关，即权值，它是一个幂。软件学院 Institute of Software1.2.1 数制的概念日常生活中习惯使用：十进制数09实际有多

2、种进位制(数制)。计算机内部只用：二进制数01。为方便书写也采用八进制数、十六进制数。数制表示方法有两种：1)用下标表示，如( )2、( )8、( )10、( )162)用后跟字母表示，如H表示十六进制，B表示二进制，Q表示八进制，D表示十进制。注：十进制数可不用下标或后缀字母，如999。软件学院 Institute of Software1、十进制数的特点 每一位只能使用十个符号 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个。每个数位上的数都有固定的“权”。小数点至左，权值依次为100，101，102，.，小数点至右，权值依次为10-1，10-2，10-3，。例如：十进制数值 2 3 4

3、. 7 8 每位对应权值 102 101 100 . 10-1 10-2软件学院 Institute of Software逢十进一。 十进制数值可以用每位的数符和对应的权值乘积的和来表示。数符权值软件学院 Institute of Software任意进制数由此得出进制数的特点：基数为R，所用数字符号为0R-1，位权为Ri，i为位序；逢R进一，任意一个R进制数可以写成一个多项式和展开式。软件学院 Institute of Software2、二进制数基数：基数为2，只有两个数字符号0和1。权：小数点以左：20，21，22，23, 小数点以右：2-1，2-2，2-3。进制：逢二进一；0，1，1

4、0，11，100，101，多项式的和 (1101.011)2=123+122+021+120+02-1+12-2+12-3 软件学院 Institute of Software1.基数：基数为16，有十六个数字符号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F2.权：小数点以左：160,161,162, 163 小数点以右：16-1,16-2,16-3 。3.进制：逢十六进一0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F，10, 11, , 1F，20, 4.多项式的和：(7AD.5F)16=7162+

5、10161+13160+516-1+1516-2ABCDEF1011121314154、十六进制软件学院 Institute of Software十进制12345678二进制00010010001101000101010001111000八进制123456710十六进制12345678十进制910111213141516二进制100110101011110011011110111110000八进制1112131415161720十六进制9ABCDEF10各进制数对照表软件学院 Institute of Software1.2.2 二进制的运算二进制数的特点 1)符号少，便于用物理器件实现；2

6、)运算规则简单 3)可以进行逻辑运算：数理逻辑中的“真”和“假”用“1”和“0”表示，软件学院 Institute of Software二进制逻辑运算示例或运算与运算 0 1 1 00 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0非运算异或运算 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0软件学院 Institute of Software1.2.3 不同进位计数制之间的转换 按权相加。如果两数相等，则两数的整数部分和小数部分的值一定分别相等。二进制数十进制数软件学院 Institute of Software软件学院 Insti

7、tute of Software 整数部分的转换 ：除二取余。十进制数二进制数将整数部分和小数部分分别转换。其系数 排列起来就是二进制数的各位数码。软件学院 Institute of Software第一步：将等式两边乘以2，得到：等式两边整数与小数应分别相等，所以：K-1=0第二步：再对等式两边继续乘以2，得到：K-2=1如此继续下去，可以得到K-3 K-4 K-m 各位的值。软件学院 Institute of Software0.322=0.64 整数=0=K-10.642=1.28 整数=1=K-20.282=0.56 整数=0=K-30.562=1.12 整数=1=K-4算法为：所以，

8、（0.32)10=(0.0101.)2 ，直至满足一定的精度为止。软件学院 Institute of Software对于既有整数又有小数的数，则将其整数部分与小数部分分别转换，再用小数点连接起来。总结：对于基数为R的数制与十进制数的转换也遵循一样的法则。整数部分除R取余，小数部分乘R取整。不同进制的数制之间的转换，可用十进制数作为中介，相互转换。软件学院 Institute of Software二进制数八进制数二进制数的基为2，八进制数的基为8，23=8，因此，每位八进制数可以用3位二进制数来表示。二进制 八进制0 0 0 00 0 1 10 1 0 20 1 1 31 0 0 41 0

9、1 51 1 0 61 1 1 7 软件学院 Institute of Software对既有整数又有小数的二进制数，以小数点为界，整数部分从右至左，以3位一组，不足三位时，在左边添0补足三位；小数部分从左至右，以3位一组，不足三位时，在右边添0补足三位，然后把每组的3位数用相应的八进制表示，即得八进制数。例如：将 (11101.11011)2转换成八进制数。结果为35.66左边添零补足三位右边添零补足三位软件学院 Institute of Software八进制数二进制数将每位八进制数用3位二进制数表示即可，去掉转换后二进制数整数前和小数点后的0。例如：将 (15.22)8 转换成二进制数。

10、结果为1101.01001软件学院 Institute of Software二进制数十六进制数二进制数的基为2，十六进制数的基为16，24=16，因此，每位十六进制数可以用4位二进制数来表示。二进制 十六进制0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 20 0 1 1 30 1 0 0 40 1 0 1 50 1 1 0 60 1 1 1 7 1 0 0 0 81 0 0 1 91 0 1 0 A1 0 1 1 B1 1 0 0 C1 1 0 1 D1 1 1 0 E1 1 1 1 F记住六个数符软件学院 Institute of Software对既有整数又有小数的二进制数，以小数

11、点为界，整数部分从右至左，以4位一组，不足四位时，在左边添0补足四位；小数部分从左至右，以4位一组，不足四位时，在右边添0补足四位，然后把每组的4位数用相应的十六进制表示，即得十六进制数。例如：将 (11101.11011)2转换成十六进制数。结果为1D.D8补零补零软件学院 Institute of Software十六进制数二进制数将每位十六进制数用4位二进制数表示即可，去掉转换后二进制数整数前和小数点后的0。例如：将 (7B.A8)16 转换成二进制数。结果为1111011.10101将零去掉软件学院 Institute of Software1.2.4 数的定点与浮点表示在计算机中,涉

12、及到小数点位置时,数有两种表示方法:定点表示和浮点表示。所谓定点表示，就是小数点在数中的位置是固定不变的；所谓浮点表示，就是小数点在数中的位置是浮动的。 软件学院 Institute of Software1. 定点数表示 通常，任意一个二进制数总可以表示为纯整数（或纯小数）和一个2的整数次幂的乘积。例如，二进制数N可写成： N = 2pS 其中，S称为N的尾数；P称为N的阶码；2称为阶码的底。尾数S表示了N的全部有效数字，阶码P指明了小数点的位置。此处P、S都是用二进制表示的数。软件学院 Institute of Software 当阶码为固定值时，称这种表示法为数的定点表示法。这样的数称为

13、定点数。如假定P=0，且尾数S为纯整数，这时定点数只能表示整数，称为定点整数。如假定P=0，且尾数S为纯小数，这时定点数只能表示小数，称为定点小数。定点数的这两种表示法，在计算机中均有采用。究竟采用哪种方法，都是事先约定的。 在计算机中数的符号也用二进制数码表示，通常取正数的符号为0，负数的符号为1，在机器内定点数用下述方式表示。定点小数约定小数点在符号位与最高数值位之间。 定点整数约定小数点在最低有效位后面。 当定点数的位数确定以后，定点数表示的范围也就确定了。如果一个数超过了这个范围的现象称为溢出。软件学院 Institute of Software定点小数约定小数点在符号位与最高数值位之

14、间 定点整数约定小数点在最低有效位后面，即： 软件学院 Institute of Software2. 浮点数表示如果阶码可以取不同的数值，称这种表示法为数的浮点表示法。这样的数称为浮点数。这时： N=2PS其中阶码P用整数表示,可为正数或负数。用一位二进制数Pf表示阶码的符号位，当Pf=0时，表示阶码为正数；当Pf=1时，表示阶码为负数。而尾数S一般为纯小数，用定点小数来表示，同样用Sf表示尾数的符号，Sf=0表示尾数为正数（也就是N为正）；Sf=1表示尾数为负数。在计算机中表示形式如下：软件学院 Institute of Software可见，在机器中表示一个浮点数，要分为阶码和尾数两个部

15、分来表示。一般来说，阶码部分的位数决定了数的表示范围，而尾数部分的位数决定了数的精度。软件学院 Institute of Software1.2.5 原码、补码、反码 前面介绍了数据数值的进制表示及数据的小数点表示，下面还需要解决数据的符号表示，为此引出了数据的原码、补码及反码的表示形式，它即可表示定点小数，也可表示定点整数。这里只介绍定点整数的表示。 软件学院 Institute of Software1. 机器数与真值 数的符号在机器中亦被“数码化”。用“0”表示正数符号，用“1”表示负数符号。设有 N1 = + 1001001；N2=1001001 。则它们在机器中表示为：N1： 0 1

16、 0 0 1 0 0 1 N2： 1 1 0 0 1 0 0 1 至此，一个数的数值与符号全部数码化了。为了区别一般书写表示的数和机器中这些编码表示的数，我们把“符号化”的数称为机器数，而符号没有数码化的数称为数的真值。 另外，机器数一般是固定长度的，数的位不够时应当补足。软件学院 Institute of Software例 设某机器的字长为8位，无符号整数在机器中的表示形式为：带符号整数在机器中的表示形式为数值符号数值软件学院 Institute of Software整型数的表示整数在计算机中可以用8位、16位、32位64位来表示。0 0 0 0，1 0 0 0 表示 81 0 0 0，

17、1 0 0 0 表示 -8用八位二进制表示整数软件学院 Institute of Software二进制数位无符号整数的表示范围带符号整数的表示范围80 255（28-1）-128 127160 65535（216-1）-32768 32767320 232-1-231 232+1640 264-1-264 264+1 带符号整数的最高位作为符号位，0代表正数，1代表负数。 正整数（无符号数） 整数（有符号数）软件学院 Institute of Software2. 原码原码是一种简单的机器数表示法。它规定正数的符号用0表示，负数的符号用1表示，数值部分即为该数的本身。例如： X = +100

18、101，其原码表示为X原=00100101。 X = 100101，其原码表示为X原=10100101。由上可见，机器数用原码表示简单易懂，易于真值转换。但进行加减运算比较复杂。这是因为，原码实际上只是把数的符号“数码化”了，其运算方法与手算类似。例如要作x+y的运算，首先要判别符号，若x、y同号，则相加；若x、y异号，就要判别两数绝对值的大小，然后将绝对值大的数减去绝对小的数。显然，这种运算方法不仅增加运算时间，而且使设备也复杂了。而机器数的补码表示法可避免上述缺陷。软件学院 Institute of Software 用最高位表示数的符号，用 0 表示正数，1 表示负数，其余位就是该二进制

19、数的绝对值。例如一个数用8位二进制数表示，则8 的原码为 0000，1000-8的原码为 1000，100010 的原码为 0000，1010-10的原码为 1000，1010软件学院 Institute of Software 在原码表示中，0 有两种表示方法： +0 0000，0000 -0 1000，0000特点 数的表示范围(以8位二进制为例)： 1111,1111 0111,1111 -127127 - 2n-1 +1 2n-1-1 (n=8)软件学院 Institute of Software3. 补码 补码表示法的指导思想：把负数转化为正数，使减法变成加法，从而使正负数的加减运算

20、转化单纯的正数相加运算。为了便于理解补码这个概念，我们以日常生活中常见的机械式钟表为例来说明。表面标有12个表示小时的刻度，时针沿着刻度周而复始地旋转。当时针超过12后，理应13，但由于没有13刻度，仍用1表示，实际上时针把12“丢掉”了，因为它把12作为0重新开始计时。假设现在表的时间不对，要“对时”。若时针停在10点上，正确时间为6点，两者差4小时。为了校正时间，可以顺拨8格；也可以逆拨4格。这就相当于是加8和减4，可以得到相同的数值。这就是模的概念，模数即为被丢掉的数值，一般用Mod来表示。软件学院 Institute of Software 显然求补码比较复杂，这里介绍一种简单的转换方

21、法：如果X0时其补码与原码相同；如果X0时其补码为：符号位为1，其它各位求反码，然后在最低位加1。所谓反码就是将1变为0，0变为1。如：X 1010101 X补=1 01010101=10101011 那么如何从X原转换成X补呢？已知X原，则正数X的补码为其本身；负数X的补码等于它的原码X原除符号位外“求反加1”。反之，已知负数的补码X补，同样可以通过对X补除符号位外“求反加1”得到它的原码X原。 在用补码减法运算求YX的值时，因为Y和X本身都可能带正负号，故应将YX写成：补X补。但这样写仍要做减法，为把减法转化为加法，可以写成：补X补。那么X补又怎么求呢？可以证明，若已知X补，把X补连同其符

22、号位一起求反加1即可得到X补。我们把X补又称为X补的机器负数。软件学院 Institute of Software 补码补码表示法：在计算机中，负数使用补码表示，符号位也是“1”，但绝对值部分却是原码的每一位取反后再在末位加“1” 例如： (43)原= 10101011绝对值部分每一位取反后为： (43)反= 11010100末位加“1”得到： (43)补= 11010101软件学院 Institute of Software 正数的补码表示与原码相同，最高位为符号位，用 0 表示正，其余位是数值位。 正数的补码是它本身。 负数的补码就是用模减去该数的绝对值。 负数的补码是它的反码加1。 (负

23、)补= (负)反+1软件学院 Institute of Software4. 反码在求反码时，与求补码相似，只是少加了一个1而以。X=1101010 X反= 01101010Y=1101010 Y反= 10010101由反码定表示法中，0的表示法不是唯一的 0反= 00000000 0反= 11111111反码又称为1的补码，它是补码的特例。通常作为求补过程的中间形式。下表列出了常用原码、补码、反码的对照表软件学院 Institute of Software 反码 正数的反码表示与原码相同，最高位为符号位，用 0 表示正，其余位是数值位。 负数的反码最高位是1，其余位是其原码的按位取反。软件学

24、院 Institute of Software例如一个数用8位二进制数表示，则8 的原码为 0000，1000 8 的反码为 0000，1000 -8的原码为 1000，1000-8的反码为 1111，0111正数的反码表示与原码相同软件学院 Institute of Software 10 的原码为 0000，1010 10 的反码为 0000，1010 -10的原码为 1000，1010-10的反码为 1111，0101软件学院 Institute of Software 在反码表示中，0 有两种表示方法： +0 0000，0000 -0 1111，1111特点 数的表示范围： 1000,

25、0000 0111,1111 -127127 - 2n-1 +1 2n-1-1软件学院 Institute of Software例如一个数用8位二进制数表示，则8 的原码为 0000，1000 8 的反码为 0000，1000 8 的补码为 0000，1000-8的原码为 1000，1000-8的反码为 1111，0111-8的补码为 1111，1000软件学院 Institute of Software 10 的原码为 0000，1010 10 的反码为 0000，1010 10 的补码为 0000，1010-10的原码为 1000，1010-10的反码为 1111，0101-10 的补码

26、为 1111，0110负数用补码表示时，可以把减法变成加法，而加法在计算机中容易实现。软件学院 Institute of Software 在补码表示中，0 有唯一的一种表示方法：特点+0 的原码为 0000，0000 -0 的原码为 1000，0000+0 的反码为 0000，0000 -0 的反码为 1111，1111+0 的补码为 0000，0000 -0 的补码为 0000，0000软件学院 Institute of Software 8位二进制数所能表示的补码范围： 1000,0000 0111,1111 -128 127 即： - 2n-1 2n-1-10 1 1 1 1 1 1

27、1 1270 1 1 1 1 1 1 0 126. . . . . .0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 -11 1 1 1 1 1 1 0 -2. . . . . . 1 0 0 0 0 0 0 1 -1271 0 0 0 0 0 0 0 -128软件学院 Institute of Software 一个用补码表示的二进制数，最高位为符号位，当符号位为0时，其余位即为此数的二进制值；但若符号位为1时，其余位不是此数的二进制值，将其余位按位取反，且在最低位加1，才是它的二进制值。例如： （X）补=11111111 则： （X）原=

28、10000001 X=-1例如： （X）补=11111001 则： （X）原=10000111 X=-7软件学院 Institute of Software补码的运算 (X+Y)补=(X)补+(Y)补 (X-Y)补=(X)补+(-Y)补已知 ：X=18，Y=59 求 X-Y(X-Y)补=(X)补+(-Y)补 =(18)补+(-59)补=0001,0010+1100,0101 =1101,0111 (X-Y)原=(1101,0111)反1=1010,1000+1=10101001= -41软件学院 Institute of Software总结： 负数的反码是其正数的按位取反。 负数的补码是其反码加1。 负数的原