统计学基础（第四版）第四章平均指标与标志变异指标

1、统计学（第4版）目录CONTENT010302第1章绪论第2章统计调查与整理第3章总量指标与相对指标04第4章平均指标与标志变异指标050706第5章时间数列第6章统计指数第7章抽样推断0809第8章相关分析与回归分析第9章Excel在统计分析中的应用第4章平均指标与标志变异指标【学习目标】通过本章的学习，要熟练掌握算术平均数和调和平均数的计算方法及各自的应用条件；明晰当数据有极端值时如何用众数和中位数来描述现象的一般水平；熟练掌握平均指标的计算与应用条件；区别哪些指标是平均数，哪些指标是强度相对数；运用平均指标和标志变异指标的辩证关系描述总体数量分布特征，并能作简要的分析说明。点击添加文本点

2、击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.1平均指标的意义数据的总量描述和对比描述，只是反映了现象的总体规模、相对水平和总体单位在各组的分布情况，它并没有反映数据的分布规律和分布的一般水平。因此，若要对总体单位在各组的分布状况进行全面深刻的认识，还要对它的集中趋势进行度量，即计算平均指标。1）平均指标的含义平均指标也称均值或集中趋势指标，它是反映社会经济现象总体单位数量标志值一般水平的综合指标。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.1平均指标的意义2）平均指标的作用平均指标可以消除因总体范围不同而带来的总体数量差异，从而使不同的总体具有可比

3、性。同一总体在不同时间上的平均指标可以反映现象总体的发展变化趋势。利用平均指标可以分析现象之间的依存关系。平均指标是统计推断的一个重要参数。1234平均指标可以作为制定生产定额的重要依据。5点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.1平均指标的意义3）平均指标的种类平均指标按其反映的时间状况不同，分为静态平均数和动态平均数。（1）平均指标按计算方法不同，分为算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数。（2）点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.2算术平均数算术平均数是平均指标中最重要的一种，一般不特别说明时，所提到的“平

4、均指标”“平均数”“集中趋势指标”均是指算术平均数。其一般计算公式为：算术平均数=总体标志总量总体单位总量点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.2算术平均数由于掌握资料不同，算术平均数可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。1）简单算术平均数简单算术平均数适用于未分组的分配数列，它是将总体各单位同类标志值直接汇总，然后与总体单位总数相除而求得的。其计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.2算术平均数2）加权算术平均数当资料中被平均的变量值（也称标志值）重复出现时，如某个变量值x重复出现f次，按照简单平均法，就要

5、将变量值x乘以f。用这种方法计算的平均数，称为加权算术平均数。其计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.2算术平均数3）算术平均数的数学性质平均数是统计学中非常重要的内容，因为任何统计推算和统计分析几乎都离不开平均数。从统计思想上看，因为平均数反映了一组数据偶然性、随机性特征互相抵消后的稳定数值，所以反映了一组数据必然性的特点。平均数有很多数学性质，这里只列示其中两个重要性质。（1）性质一，各个变量值与其算术平均数离差之和等于零，即：（2）性质二，各个变量值与其算术平均数离差平方和为最小值，即：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指

6、标分析4.14.1.3调和平均数调和平均数也称倒数平均数，它是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。由调和平均数的定义可以导出调和平均数的计算公式，具体步骤为：第一步，计算各个变量值的倒数，即第二步，计算上述各个变量值倒数的算术平均数，即第三步，计算算术平均数的倒数，即点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.4几何平均数几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。它主要应用于变量值是相对数，而且这些变量值连乘有意义。例如，连续生产的产品合格率、连续销售的本利率、连续储蓄的本利率和连续比较的（环比）发展速度等，都可以采用几何平均数求得其平均指标。因此，几何平均数主要应用

7、于计算平均比率和平均速度。几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数之分。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.4几何平均数1）简单几何平均数简单几何平均数适合资料未分组的条件，其计算公式为：2）加权几何平均数加权几何平均数适用于资料已分组的条件，其计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.5中位数对于非对称的次数分布，数值平均数不能准确地反映其观察的中心趋势，会偏离数据的中心。在这种情况下，用位置平均数来反映集中趋势较适宜。位置平均数包括中位数、众数、四分位数、十分位数、百分位数等，这里我们重点阐述中位数和众数

8、。中位数就是将数据观察值按大小顺序排列，处在中间位置的那个观察值。中位数避免了极端值影响，在某些场合比其他平均值更具有代表性。例如，在社会成员收入水平悬殊的地区，用收入中位数数值比用算术平均数计算平均收入更能反映收入的一般水平。又如，计算一组小学生的平均身高，可以不逐一测量每一个人的身高再加总计算平均数，而可以按身高排队，那么处于中间位置的那个同学的身高就是该组同学的平均身高。此外，在工业产品质量检查等方面也常用中位数。计算中位数的关键是确定中位数的位次，再找到或计算出这个位次的变量值。由于所掌握的资料不同，确定中位数的方法也有差别。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析

9、4.14.1.5中位数1）由未分组资料计算中位数由未分组资料计算中位数可以直接按照中位数的定义来确定，即首先将总体各单位变量值按由小到大或由大到小的顺序排列起来，形成一个数列，处在这个数列中点位置的变量值就是中位数。中位数位次计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.5中位数2）由分组资料计算中位数根据已分组的变量数列资料计算中位数，应先计算各组累计次数，然后依据公式确定中位数的位次。累计可由最低组开始，也可由最高组开始。由于变量数列有单项式变量数列和组距式变量数列之分，因此，确定中位数的方法也不一样。（1）根据单项式变量数列计算中位数。（2）根据组

10、距式变量数列计算中位数。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.6众数众数是总体中出现次数最多的标志值，它能直观地说明客观现象分配中的集中趋势。在实际工作中有时要利用众数代替算术平均数来说明社会经济现象的一般水平。例如，集贸市场上某种商品一天的价格可能在早、午、晚或大宗、小量交易中有几次变化，其中成交量最大的那一个价格就是众数。又如，在大批量生产的女式皮鞋中，有多种尺码，其中23.5码是销量最多的尺码，那么23.5码就是众数，它代表女式皮鞋尺码的一般水平，适合大量生产，而其余尺码生产量可相应小一些，这样才能满足市场上大部分消费者的需要。如果总体中出现次数最多的

11、变量值不是一个，而是两个，就出现复众数。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标分析4.14.1.6众数1）根据单项数列计算众数由单项数列确定众数的方法很简单：观察次数，出现次数最多的那个变量值就是众数。2）根据组距数列计算众数由组距数列确定众数，其方法也是观察次数，但究竟哪个具体值是众数，要分两步确定。首先，根据最多次数确定众数所在组；其次，用比例插值法推算众数的近似值。其计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.1标志变异指标的意义1）标志变异指标的含义要研究统计资料所具有的内在规律，集中趋势指标的计算是必不可少的过程。集中趋

12、势指标反映的是数据的一般水平，主要测度值是平均数，它作为全部数据的代表值，在统计资料的量度中居于十分重要的位置。对数据资料中各单位标志值平均差异程度的测定，实质上就是对各标志值离中程度的测定，这种反映各单位标志值之间差异程度大小的指标，叫标志变异指标，也称离中趋势指标。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.1标志变异指标的意义2）标志变异指标的作用标志变异指标大，说明总体各单位间的标志变异程度大，平均指标的代表性就小；反之，标志变异指标小，则平均指标的代表性就大。二者成反比。（1）它可以衡量平均指标代表性的大小标志变异指标大，说明总体各单位间的标志变异程

13、度大，产品质量不稳定或不均衡；标志变异指标小，则说明产品质量稳定性好或生产的均衡性强。（2）它可以反映社会生产和其他经济活动的均衡性或协调性的强弱点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.2全距全距又称极差，是指在总体各单位标志值中，最大标志值与最小标志值的差额。其计算公式为：全距=最大标志值-最小标志值全距大，表明标志值的变动幅度大，标志变动度大，所对应的平均数代表性小，或生产均衡性、稳定性差；反之，变动幅度小，标志变动度小，所对应的平均数代表性大，或生产均衡性、稳定性强。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.3平均

14、差平均差是各项标志值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数。由于各标志值与算术平均数的离差之和等于零，即 ，各项离差的平均数也等于零。因此，在计算平均差时，需采用离差的绝对值，即 。平均差能够综合反映总体中各单位标志变动的影响。平均差越大，表明标志变动度越大，则平均数代表性越小；反之，平均差越小，表明标志变动度越小，说明平均数代表性越大。由于掌握的资料不同，平均差可分为简单平均差与加权平均差。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.3平均差1）简单平均差在资料未经分组时，可用简单平均差来测定标志变动的程度。其计算公式为：2）加权平均差对于经过分组的变量数列，

15、应采用加权平均差来测定标志变动的程度。其计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.4标准差标准差是总体各单位的标志值与其算术平均数离差平方的平均数的平方根，故又称均方根差。它是测定标志变动度最主要的方法，标准差的意义与平均差基本相同。它也是各个标志值对其算术平均数的平均离差，但在数学处理上与平均差有所不同，它是采用平方的方法来消除离差的正负号，即先求出各个标志值与算术平均数的离差，再计算各项离差平方，然后计算这些离差平方的算术平均数，最后再把这个平均数开方。它也分为简单平均式与加权平均式两种形式。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标

16、志变异指标分析4.24.2.4标准差1）简单平均式根据未分组资料计算标准差时，运用如下公式：标准差的一般计算步骤为：（1）计算出算术平均数 。（2）计算出变量值与其算术平均数的离差 。（3）计算离差平方，并求和，即 。（4）计算算术平均数，并求方根，即 。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.4标准差2）加权平均式加权平均式标准差适用于资料已分组的条件，而实际工作中我们面对的资料常常是分组资料。加权平均式标准差计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.5标志变异系数1）标志变异系数的含义测定总体各单位标志值

17、离中程度主要目的在于考察各单位标志值差异程度的同时，判定该总体的集中趋势值的集中程度，即确定各单位标志值平均数的代表性大小。标志变异系数也称离散系数，它是标志变异指标与平均指标之比，是说明变量值变异程度的相对指标。该指标数值大，则变量值变异程度大，其平均数代表性小；若该指标数值小，则变量值变异程度小，其平均数代表性大。从理论上讲，各种标志变异指标均可与平均指标相比计算其相对数，但由于全距和平均差在使用和计算中存在着局限，因此在实际工作中，更多使用的是标准差系数。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标分析4.24.2.5标志变异系数2）标志变异系数的计算标志变异系数包括平均

18、差系数和标准差系数，但由于平均差在计算上有缺陷，通常意义上的标志变异系数主要是指标准差系数。标准差系数是标准差与其算术平均数之比，用来说明现象标志变异的相对程度。其计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标与标志变异指标的应用4.34.3.1平均指标测度方法评价前面介绍了五种平均指标测度方法，即数据平均指标中的算术平均数、调和平均数和几何平均数，位置平均指标中的中位数和众数。这五种平均指标各有特点，各有不同的应用范围，在应用中究竟使用哪一种平均指标来反映现象的平均水平，要根据占有统计资料的性质、特点及研究目的来确定。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标与标志变异指标的应用4.34.3.1平均指标测度方法评价1）算术平均数、调和平均数、几何平均数之间的关系如果单纯从数量关系上考察算术平均数、调和平均数和几何平均数，我们会发现，若根据同一资料计算三种平均数，其计算结果会有以下关系：调和平均数几何平均数算术平均数只有在资料中所有的变量值都相等时，即当x1=x2=xn时，所计算的三种平均数才有相等关系，即：调和平均数=几何平均数=算术平均数而在实际生活中，所有变量值都