暑假赛前培训(3)教师版

1、华中师范大学 史为林（）整理PAGE 愿各位同学学习进步！金榜题名！20100年暑假假华杯赛赛赛前培培训经典典例题分分析（3）姓名一、准确确填空：1.果品品公司购购进苹果果5.22万千克克，每千千克进价价是0.98元元，付运运费等开开支18840元元，预计计损耗为为1%.如果希希望全部部进货销销售后能能获利117%，问问：每千千克苹果果零售价价应当定定为元?解：全部部进货所所需费用用：0.985200001844055096601184005228000(元)能销售的的总量：520000(1-1%)522000099%5114800(千克克)设每千克克苹果零零售价应应当定为为x元，则则5280

2、00(1+17%)xx514480 x=52280001.175514880 x=1.2答：每千千克苹果果零售价价应当定定为1.2元.2.计算算：199+1999+119999+ =?解：19+1199+19999+(200-1)+(2200-1)+(20000-1)+( -1)20+2000+20000+-0-119999202221评注：像像上例那那样，加加减运算算时，常常采用凑凑整的方方法使运运算简便便，有时时，加减减运算还还可采用用其他方方法，使使运算简简便.如如：计算：(20000-11)+(19999-22)+(19998-33)+(110022-9999)+(10001-1000

3、0)?解法一：先把每每个小括括号内的的结果算算出来，所所得的差差分别是是19999、119977、19995、3、11，可按按求连续续奇数的的和，求求出算式式的结果果.原式119999+19997+19995+3+1(19999+1)高斯斯求和公公式20000100001100000000或原式19999+119977+19995+3+1 从从1开始始若干个个连续奇奇数和等等于奇数数个数的的平方100000000解法二：先把所所有的小小括号去去掉，然然后利用用加法交交换律，减减法的运运算性质质进行计计算.原式220000-1+19999-22+19998-3+10002-9999+10001-

4、10000(20000+19999+119988+10002+10001)-(1+2+33+9999+110000)(20000+10001)-(11+10000)300015000-100015000高斯斯求和的的方法(30001-10001)5000200005000100000000当然，进进行分数数加减时时，需考考虑分母母的特征征，选择择恰当的的方法进进行计算算.总之，进进行加减减计算，究究竟采用用什么办办法，需需要依据据题目的的特征，具具体问题题具体分分析.二、谨慎慎推理：3某商商贸服务务公司，为为客户出出售货物物收取33%的服服务费，代代客户购购置物品品收取22%服务务费.今今有一

5、客客户委托托该公司司出售自自产的某某种物品品并代为为购置新新设备.已知该该公司共共扣取了了客户服服务费2264元元，而客客户恰好好收支平平衡，问问：所购购置的新新设备花花费了多多少元?解：为简简洁一些些，用字字母代表表出售货货物的钱钱，用字字母代表表购置设设备的钱钱，根据据题意，该该公司共共扣取了了客户服服务费2264元元,列出出关系式式： 3%+2%2644(元).又根据题题意，“客户恰恰好收支支平衡”，即(1-3%)+2%，(11+2%)1-3%，所以(1+2%)1-33%3%+2%2644(元)，也就是(1+2%)3%+2%(1-3%)2644(1-3%)(元)，(11+2%)3%+2%

6、(1-3%)2644(1-3%)(元)因此，2644(1-3%)(1+2%)3%+2%(1-3%)264497%1.0023%+0.9972%26449733.066+1.942566085551121.6(元元)答：所购购置的新新设备花花费了551211.6元元.4一列列数，前前3个是是1，99，9，以以后每个个都是它它前面相相邻3个个数字之之和除以以3所得得的余数数，求：这列数数中的第第19999个数数是几?解：根据据题意，写写出这列列数的一一部分，1，9，99，1，11，2，11，1，11，0，22，0，22，1，00，0，11，1，22.可以看出出，除了了前3项项1，99，9，这这个数

7、列列每隔113项(1，11，2，11，1，11，0，22，0，22，1，00，0)循环一一次，所所以，这这列数中中的第119999个数是是几，关关键是看看19999个数数中除前前3个以以外，每每13个个数循环环一次，循循环若干干次后的的余数.(19999-33)13199961315337也就是说说，这列列数中的的第19999个个数，正正好是按按1，11，2，11，1，11，0，22，0，22，1，00，0这这样的顺顺序每113个数数循环一一次，总总共循环环了第1153次次后，第第1544次循环环开始的的第7个个数，正正好是00.答：这列列数中的的第19999个个数是00.三、急中中生智：图7

8、-75.将119这这九个数数字填入入图7-7的99个圆圈圈中，使使每个三三角形和和每条直直线上的的3个数数字之和和相等(写出一一个答案案即可).解答：根根据题意意，将119这这九个数数字填入入9个圆圆圈中，正正好将119这这九个数数字的和和平均分分成三组组，因此此可以求求得每个个三角形形和每条条直线上上的3个个数字之之和：(1+22+3+8+9)34453115按题目要要求，图图7-77共有六六祖数，用用了188个数字字，每个个数字使使用了22次。相相当于图7-7a将199这九个个数字分分为3组组，每组组数字和和是155，有两两种不同同的分法法。现在分配配如下：第一种：（1，66，8），（22

9、，4，99），（33，5, 7）第二种：（1，55，9），(2, 6, 7), (33, 44, 88) 图7-7b将第一种种分法的的三组数数放在三三条线段段上，第第二种的的三组数数自然就就被确定定在三个个三角形形上（见见图7-7a）.类似似，将第第二种分分法的三三组数放放在三条条线段上上，第一一种的三三组数自自然就被被确定在在三个三三角形上上（见图图7-77b）所以，如如果不计计较三个个三角形形和三条条直线的的相互位位置，那那么图77-7aa和图77-7bb则是仅仅有的两两种填法法.评注：解解答填数数问题，除除了首先先找出平平均数外外，有时时还需要要在不止止一个的的答案中中，选择择符合题题目

10、要求求的答案案.如:图7-8在一个由由六个圆圆圈组成成的三角角形里，把把10到到15这这6个数数分别填填入图77-8的的圆圈中中，要求求三角形形的每条条边上的的三个数数的和SS都相等等，那么么S的最最大值是是多少？.解答：根根据题意意，100到155这6个个数的和和是755，而其其中有三三个数被被加了两两次，为为使三角角形的每每条边上上的三个个数的和和S不仅仅相等，且且S的值值最大，那那么被加加了两次次的3个个数应是是13、14、15，所所以，三三角形的的每条边边上的三三个数的的和是：图7-8a(75+13+14+15)311173339这就是说说，三个个较大的的数(被被加了两两次的数数)应分

11、分别填入入三角形形的三个个顶点上上(图77-8aa).6.如图图7-99，在一一个正方方体的两两对侧面面的中心心各打通通一个长长方体的的洞，在在上下侧侧面的中中心打通通一个圆圆柱形的的洞.已已知正方方体棱长长为100厘米，侧侧面上的的洞口是是边长为为4厘米米的正方方形，上上下侧面面的洞口口是直径径为4厘厘米的圆圆，求图图示立体体的表面面积和体体积.(取3.14)图7-9解：根据据题意，所所求图形形的表面面积和体体积，都都和被挖挖去的部部分有关关。根据题意意，所求求图形表表面积由由两部分分组成：外侧表表面积和和内侧表表面积.外侧表面面积，实实际上是是原来大大正方体体的表面面积，除除去四个个边长为

12、为4厘米米的正方方形的面面积，再再除去两两个直径径为4厘厘米的圆圆的面积积(见图图7-99).即即 图7-9a101106-4444-26000-644-255.1225100.888(平方方厘米)而内侧表表面积是是被挖去去部分的的表面积积，除去去两个直直径为44厘米的的圆面积积，再除除去四个个边长为为4厘米米的正方方形面积积(见图图7-99a).即1922+6.88+75.362744.244(平方方厘米)因此，所所求图形形的表面面积：2274.24+5100.8887885.112(平平方厘米米)结合图示示，所求求图形的的体积等等于原来来大正方方体的体体积减去去被挖去去部分的的体积.原正方

13、体体的体积积是100101010000(立立方厘米米)，被挖去部部分的体体积（见见图7-9b）： (4433)44+4444+(110-44)2221922+644+755.366 图7-9b3311.366(立方方厘米).因此，所所求图形形的体积积： 10000-3331.366688.644(立方方厘米).答：所求求立体的的表面积积是7885.112平方方厘米，体体积是6668.64立立方厘米米.四、规律律探求：7是自自然数，且且，求的最最小值.解答：问问题相当当于求最最小的，使使能被117整除除。由于于9与117是互互质的，问问题又转转化为相相当于求求最小的的，使得得 能被被17整整除。

14、大家知道道：一个个小数被被10乘乘过之后后，就等等于将原原小数的的小数点点向右移移一位.将上面面那个循循环小数数记作，于于是，其其中将中的小小数点向向右移nn位.由由此可见见，如果果b是正整整数，必必须而且且只须nn是的循循环节中中所含数数字的个个数的倍倍数，即即n116k，kk1，22，.当kk1时时，有最最小的nn166，因此此，,于是.8对一一个自然然数作如如下操作作：如果果是偶数数则除以以2；如如果是奇奇数则加加1，如如此进行行直到为为1，操操作停止止.求经经过9次次操作变变为1的的数有多多少个?解：设给给出一个个自然数数，按照照题目中中指定的的操作，可可以经过过9次操操作，作作出以下

15、下10个个自然数数：.已知，有有多少个个自然数数按题目目的操作作得到11？只能能是2；，这时时有多少少个自然然数按题题目的操操作得到到2，显显然，两两种可能能和1；再倒推推一次，有三种可能：2，3，8，依次计算，画出树形图（图7-12）。做过第kk步之后后，设是是为的偶偶数的个个数，是是奇数的的个数(0，11，2，9)，如由图712所示，：由操作方法可知：对于偶数，有和依照题目操作可以得到这个偶数；对于奇数，就仅有一个数依照题目操作可以得到这个奇数。所以：依上述规规律，列列出下表表：偶数个数数0112358132134奇数个数数101123581321答：经过过9次操操作后变变为1的的数有55

16、5个.五、小试试牛刀：9.已知知为自然然数，是1000的倍倍数，求求的最小小值.解：因为为1000整除，1100425， .，否则，就不能被25整除，可见。这时候，若有最小的使被25整除，则有最小的使是100的倍数。可以取尽可能的小，所以，.为表达简简洁一些些，下面面的式子子评注： 表示22被5除除的余数数是2； 表示被被5除的的余数是是4； 表示被被5除的的余数是是3； 表示被被5除的的余数是是1；这时候若若 并且且； 并且且时，则则有被55整除余余1，应应当被55整除。所以可可以计算算：（注注意）当 并且且时，当，550，不不是255的倍数数；当，665，不不是255的倍数数；当，1102

17、55，是225的倍倍数；此此时其余的情情况， 并且时时，155，不是是25的的倍数；其余的情情况，.答：使得得1000整除的的最小的的的值是是13.评注：解解题过程程应用了了同余的性性质，请请参考“华罗庚庚金杯”少年数数学邀请请赛培训训教材中中第三篇篇。10.若若19998个小小朋友围围成一圈圈，从某某人开始始，逆时时针方向向报数，从从1报到到64，再再依次从从1报到到64，一一直报下下去，直直到每个个报过110次为为止，问问：(1)有有没有报报过5，又又报过110的人人?有多多少?说说明理由由；(2)有有没有报报过5，又又报过111的人人?有多多少?说说明理由由.解答：做带余除除法：，余余数

18、是114。这这个余数数表明，如如果某个个小朋友友在第轮轮报数中中报的数数是，那那么，在在第轮中中报的数数是则或或者（如如果），和有相同同的奇偶偶性，说说明同某某个小朋朋友所报报的数或或者都是是偶数，或或者都是是奇数。所以没没有一个个小朋友友既报过过5，又又报过110；某个小朋朋友第一一次报55后，经经过第轮轮所报的的数是：被644除的余余数。例例如：第第2次报报数时，这这名小朋朋友报的的数是，不不难计算算出，当当时，这这名小朋朋友报的的数是111；前面第说明第第1轮报报数为55，则在在第6轮轮报111，, 第第5轮报报数为55则在第第10轮轮报111。所以以在100轮报数数中只有有前5轮轮报5的的小朋友友，才有有机会报报数111。所以以：，上式说明明在前55轮报数数中共有有1577名小朋朋友报55,即在在10