概率论自测题第三章补充习题

1、第三章随量及其分布一、问答题事件 X x,Y y 表示事件 X x 与 Y y 的积事件，为什么 PX x,Y y 不一定等于 PX x PY y？1 、2、二维随关系？量（X，Y）的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的3、随量的边缘分布与一维随量的分布之间联系与区别？4、两个随量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？5、两个相互独立的服从正态分布的随量 X1 与 X 2 之和仍是正态随那么它们的线性组合aX1 bX 2 呢？量，二、选择题X量 X 与 Y 相互独立，其分布律分别为 P0111Y0111 ，则以1、设随P22 ，22下结论正确的是（( A).X Y(C).P

2、X Y 12）(B).PX Y 1(D). 以上都不正确立 ， 且 PX 1 PY 1 p 0 ，2 、 随量X、 Y独X Y为偶数，要使 X 与 Z 独立，PX 0 PY 0 1 p 0 ，令Z 1X Y为奇数0则 P 值为（( A). 1）(B). 1(C). 1(D). 233、二维随（243量（X，Y）具有下述联合概率密度，X 与 Y 是相互独立的，为）xy3x 0 x 1,0 y 2其它2( A). f (x, y) 06x 2 y0 x 1,0 y 1(B). f (x, y) 0其它1/213 y x(C). f (x, y) 2其它01 e y0 x 2, y 0其它(D).

3、f (x, y) 20 11 1 4 012量 X i 1（ i=1 ， 2 ），且满足 PX1 X 2 0 1 ，则4 、设随 4PX1 X 2 ()(B). 1(C). 1( A).0(D).1245、随量 X，Y 相互独立， FX (x) 和 FY ( y) 分别是 X，Y 的分布函数，令Z min( X ,Y ) ，则随量 Z 的分布函数 FZ (z) 为（）(B).1 1 FX (z)1 FY (z)(D).FX (z)或FY (z)( A).minFX (z), FY (z)(C).FX (z)FY (z)量 X，Y 相互独立，且 X N ( , ) ，Y N ( , ) ，则Z

4、X Y 仍226、随1122具正态分布，且有（）( A).Z N ( , )(B).Z N ( , )221121212(C).Z N ( , )(D).Z N ( , )222212121212三、填空题11X10111 ，X 20112 ，则1、设随量 X1, X 2 相互独立，分布律分别为pp63233PX1 X 2 ，PX1 X 2 0 ，M maxX1 , X 2 的， N minX1, X 2的分布律为分布律为量，且 PX 0,Y 0 3 ， PX 0 PY 0 4 ，2、设 X 与Y 为两个随7， Pmin(X ,Y ) 0 7则 Pmax(X ,Y ) 0 3、设 X1, X

5、2 的联合分布律为2/21，且满足 PX1 X 2 0 1 ，则 PX1 X 2 ， PX1 0 / X 2 1 Y X011b 且 X 0 与 X Y 1 独立，则 164 、已知 X ,Y 的分布律为 03a1a ， b 3 x 20 x 2其它的密度函数为 f (x) 85、随量 X ,Y 服从同分布，X，设0A X a 与 B Y a 相互独立，且 P( A B) 3 ，则 a=46、随量 X ,Y 相互独立且服从 N（0，1）分布，Z=X+Y 的概率密度为，Z=X-Y 的概率密度为7、用二维连续型随量( X ,Y ) 的联合分布函数 F (x, y) 表示下述概率1）、 Pa X b

6、,Y c PX b,Y b 2）、3）、 P0 Y a 4）、 PX a,Y b 四、计算题1、设二维随量（X，Y）在矩形区域G( x, y) | 0 x 2,0 y 1 上服从均匀X YX YX 2YX 2Y00分布，记U ，V ，求 U、V 的联合分布律113/21X 1X 2-101P X 1 k-101p11p11p11p11p11p11p11p11p11131216P X 2 k111326Ce(3x4 y )( x 0, y 0) ( x, y) 2、设（X，Y）的概率密度为0其它求 1）、常数 C ，2）、 P(0 X 1,0 Y 2) ，3）、(X,Y)的分布函数 F( x,

7、y)(arctan x )(arctan y )1 23 、设（ X 、 Y ）的分布函数为 F (x, y) ( x, y )求：（1）X，Y 的边缘分布函数 FX ( x), ，22FY ( y)fY ( y)（2）X、Y 的边缘分布密度函数 f X ( x), 4、袋中装有一个，以为-1，1，1，2 的 4 个球，现从中无放回随机取球两次，每次取X1 , X 2分别表示第一次和第二次取到的球的号码，求( X1, X 2 ) 的联合分布律关于 X1 , 和X 2的边缘分布律，并判别 X1 , 和X 2 是否相互独立。求 Y X1 X 2 的分布律。5、盒内装有 12 个羽毛球，8 个是新的

8、，4 个是旧的，每次从中随机地抽取 2 个球，用完弃之，下次再从盒中随机地抽取 2 个球，记为 Xi表示第 i次取出 2 个球中的新球数目，i 1 ,2 验，并求条件分布 PX X (i j).1 26 、 设 二 维 连 续 型 随 机 向 量用随机向量( X1, X 2 )描述 2 次取球试（ X ， Y ） 的 联 合 概 率 密 度 为f (x, y) xy0 x y 1其它，试确定常数 值，判断 X 与 Y 是否独立，0求 P( X Y 1)7、与相互独立,P(Y 0.5 X 0.5)及其概率分布如下二表所示求(,)的联合分布, P(+=1), P(+0).X 1； 08、设随量 X

9、 服从（0，4）上的均匀分布，令随量Y1X 114/21P-1/21/211/431/4P-21/4-11/301/121/21/3 2，求(Y ,Y ) 的联合分布律，Y 和Y 的分布律，并判断Y 和Y 0XY2X 21212121是否相互独立f (x, y) A(1 x) y0 y x,0 x 1，9、设二维随量( X ,Y ) 的联合密度为0其它求：1）、常数 A；2）、 X 与Y 的边缘密度；3）、 P( X 1 ) (Y 1 )22n 相互独立，且都服从于0, 上的均匀分布，试求：1）、10、设Y1 max X i 的密度函数；2）、Y2 min X i 的密度函数1in 1in 1

10、1、从数集1，2，3，4，5，6中任意取一个整数设为 X，Y 为能整除 X 的正整数的个数，试求：1）、Y 的分布律2）、X 与 Y 的联合分布律12、一个商店每四进货, 以备五,六,日 3 天销售, 根据多周统计, 这 3 天销售件数1,2,3 彼此独立, 且有如下表所示分布:3问三天销售总量 i 这个随量可以取哪些值?如果进货 45 件, 不够i1卖的概率是多少? 如果进货 40 件, 够卖的概率是多少?13、已知 P=k=a/k, P=-k=b/k2(k=1,2,3), 与独立, 确定 a,b 的值; 求出(,)的联合分布律以及+的分布律.14、设 X、Y 相互独立，且都服从参数为的指数

11、分布，求：Z=X-Y 的分布10 x 1,0 y 2其它15、设二维随量( X ,Y ) f (x, y) 20Z 2 X Y， 求 ： 1 ）、的密度函数；2）、 PX 1 / X Y 125/213P170.1180.8190.12P130.3140.6150.11P100.2110.7120.1第三章随量及其分布一、问答题1、答：如同仅当事件 A、B 相互独立时，才有 P( AB) P( A) P(B) 一样，这里PX x,Y y 依乘法原理有PX x,Y y PX x PY y | X x，只有事件X x与Y y相互独立时，才有 PX x,Y y PX x PY y2、答：由边缘分布与

12、条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布。反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布。但由 f (x, y) f X (x) fY | X ( y | x) 知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布。但是，如果 X ， Y 相互独立，则PX x,Y y PX x PY y，即 F (x, y) FX (x) FY ( y) 。说明当X，Y 相互独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布。3、答：从某种意义上讲，可以说随量的边缘分布是一维随量的分布。如二维正态分布 ( X ,Y ) N ( , , , ) 的边缘分布 22

13、1212X N ( , ) ， Y N ( , ) 也具有一维分布的性质。但是从严格的整221122体意义上讲，随量的边缘分布是定义在空间上的，而一维分布是定义在平面域上的。例如二维随量（X，Y）关于 X 的边缘分布函数 FX (x) 表示（X，Y）落在区域 X x, Y 上的概率，而一维随量 X 的分布函数 F (x) 表示 X 落在区间(, x 上的概率，两者是有区别的。4、答：两个随量 X 与 Y 相互独立，是指组成二维随量（X，Y）的两个分量 X ， Y 中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响， 满足PX x,Y y PX x PY y 。而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另

14、一个事件发生的影响，故有 P( AB) P( A) P(B) 。两者可以说不是一个问题。但是，知道，组成二维随量（X，Y）的两量，而 A，B个分量 X，Y 是同一试验 E 的样本空间上的两个一维随也是一个试验 E1 的样本空间上的两个事件。因此，若 把 X x,Y y看做两个事件，那么两者的意义亦近一致，从而独立性的定义几乎是相同的。5、答：有限个正态分布的随量之和是正态随量，而且具有参数可加性。即若 X N ( , ) ，X N ( , ) ，则 X X N ( , ) ，22221112221212126/21又 X N ( , )则 aX N (a , a ) ， X N ( , ) ，

15、 则2222，111111222bX N (b, b ) ，所以 aX bX N (a b, a b ) ，即两222222222121212个相互独立的服从正态分布的随量 X1 与 X 2 的线性组合aX1 bX 2 仍是正态随量。二、选择题1、2、3、4、5、6、（C）（B）（B）、（A）（B）（D）D）三、填空题11X 10111 ，X 20112 ，1、解：设随量 X1, X 2 相互独立，分布律分别为pp63233则 1 1P X X，12931 1 1 2 5189699PX X 0 ，127/21( X 1 , X 2 )(1,0)(1,1)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1

16、)M N DpX1X2-101018293M maxX1, X 2 的分布律为， N minX1, X 2的分布1566111律为6232、解：Pmax( X ,Y ) 0 PX 0 Y 0 PX 0 PY 0 PX 0,Y 0 4 4 3 57777Pmin( X ,Y ) 0 1 Pmin( X ,Y ) 0 1 PX 0,Y 0 1 3 4773、解： X1, X 2 的联合分布律为，且满足 PX1 X 2 0 1， p p 0 ， p 1 ， p 1 ，则 p p p p p 1 ， p p122232212311133133123236所以 p 1 1 1 0 ，222368/21X

17、 1X 2-101P X 1 k-1010130131216p21p22p230160P X 2 k113612X 1X 2-101P X 1 k-1010p120131216p21p22p230p320P X 2 k131216N 101pM01pPX1 X 2 0则，1PX 1 0, X 2 1 6PX 0 / X 1 112PX 112 6： a 1 , b 14、36： a 5、34z 2z 24116、：e，e42222： 1）、 Pa X b,Y c 2）、 PX b,Y b F (b, c) F (a, c)7、F (b, b)3）、 P0 Y a F (, a) F (,0)4

18、）、 PX a,Y b 1 F (a, b) F (a,) F (, b)四、计算题10 x 2,0 y 1其它1、解： f (x, y) 209/21X 1X 2-101P X 1 k-1010130101360160131216P X 2 k113612PU 0,V 0 PX Y , X 2Y 1 dxdy2D 1 D的面积2 1 1 1122 14PU 0,V 1 PX Y , X 2Y 0PU 1,V 0 PX Y , X 2Y 1 dxdy2D112 ydydx2120y1 11ydy 2 20 1410/21PU 1,V 1 PX Y , X 2Y 1 dxdy2D 1 D的面积2

19、 1 1 2 122 12 f ( x, y)dxdy 12、解： 1）、由得C=12122）、 P(0 X 1,0 Y 2) dx12e3x4 ydy (1 e3 )(1 e8 )00(1 e3x )(1 e4 y )( x 0, y 0)其它3）、 F ( x, y) P( X x,Y y) 03、解：1）、 F ( x) F ( x,) 1 arctan x 1 x X2( y) F (, y) 1 arctan y 1 y 同理 FY(x) 21 1( x )2）、 f(1 x2 )1ddy1 f ( y) F ( y) ( y )同理YY (1 y 2 )4、解：（1）、显然 X1,

20、 X 2所有可能取值为-1，1，211/21UV01011144102由 P( X1 i, X 2 j) P( X1 i)P( X 2 j X1 i)P( X1 1, X 2 1) P( X1 1)P( X 2 1 X1 1) 0知：P( X 1, X 1) P( X 1)P( X 1 X 1) 1 2 1121214 36同理得到P( X1 1, X 2 1) P( X1 1) P( X 2 1)不是相互独立。X1 , X 2 11 11X 11121 ，X 21121（2）、PP424424Y X 1 X 2（3）、P32iC j C 2 j4 8i42i 5、解：由C 21210列表12

21、/21X1X 2012P ( X 1 i )0495454951495112240495228495112495112495210495P( X 2 j)454952404952104951X 2X1-112P( X 2 j)-1016121211216014P( X1 i)1412141j) P( X1 i, X 2 j)P(i 同理可求P( X j)X1 X 22列表得： f ( x, y)dxdy 11 1 xydxdy 1 86、解：80 x4 1f X ( x) f ( x, y)dy 0其它0 y 1其它4 y3fY ( y) f ( x, y)dx 同理0f (x, y) f X

22、 (x) fY ( y)X ,Y 不独立1y156 4 (2 y 2 y)dy X Y 1121 y12P(Y 0.5 X 0.5) 177、解: 因与相互独立, 因此有 pij=pi(1)pj(2),算得联合分布律如下表所示根据此联合分布律可算出1141P( 1) P( 2, 3) P( 0, 1) 16484812P( 0) 1 P( 0) 1 P( 1, 1) P( 1/ 2, 1/ 2) 1 1 19 312612413/21-1/213-2-101/21/81/61/241/61/161/121/481/121/161/121/481/12X012PX X (i 0)1 214516

23、452845PX X (i 1)1 2115715715PX X (i 2)1 22158155158、解：PY1 0,Y2 0 PX 1, X 2 PX 1 14PY1 0,Y2 1 PX 1, X 2 0PY1 1,Y2 0 PX 1, X 2 P1 X 2 14PY1 1,Y2 1 PX 1, X 2 PX 2 2 142所以Y1011Y20111 ，并判断Y1 和Y2 是否相互独立，Y1 和Y2 的分布律， p3 ， pkk4422因为 PY1 0,Y2 1 0 PY1 0PY2 1 ，所以Y1 和Y2 不相互独立9、解：1）、因为1x dx f (x, y)dy dxA(1 x) y

24、dy0011 A(1 x)x 2dx x xA 11Ax1 x0 1243422 340所以 A=242）、 X 与Y 的边缘密度；当0 x 1时14/21Y1Y201041344xf (x) f (x, y)dy 24(1 x) ydy 24(1 2 (1 x)X0故 f (x) 12 1其它X0当0 y 1 时1f ( y) f (x, y)dx 24(1 x) ydx 24 y(x x12x1) | 12 y(1 y)2x yY2y12 y(1 y)20 y 1其它fY ( y) 故03）、P( X 1 ) (Y 1 ) 1 P( X 1 ) (Y 1 ) 1 PX 1,Y 122222

25、2 5 111616x1 1 24(1 x) ydy 1 22n 相互独立，且都服从于0, 上的均匀分布，因此10 、解： 0 x 00 x ，试x 1 10 x ，F (x) xX , X , X 的分布均为 f (x) 12n 0 1其它Y1 max X i求：1）、的密度函数；1in y PX 1 y, X 2 y,., X n yF ( y)PYyPmax XY1i11in PX 1 yPX 2 y.PX n y F ( y)nn1所以 fY ( y) nF ( y) f ( y)1ny n1n ( y )n1 10 y 其它0 y 其它f ( y) n0Y102）、Y2 min X

26、i 的密度函数1in15/21FY ( y) PY2 y PmX i y21 1 PX1 y, X 2 y,., X n y 1 PX1 yPX 2 y.PX n y 1 1 F ( y)nn1所以 fY ( y) n1 F ( y) f ( y)2 n( y)n1n (1 y )n1 10 y 其它0 y 其它fY ( y) n02011、解：1）、X 可能取值：1，2，3，4，5，6pkX66Y 的取值情况Y122324Y所以 Y 的分布律为 pk62）、12、解: 因的取值为1,2,3 三个随量可能取值之和,因此可能的取值即为从 10+13+17=40 到 12+15+19=46 之间的

27、每一个整数值,40,41,42,43,44,45,46.因此, 如进货 45 件, 不够卖的概率在取值为 46 时出现,即P=46=P1=12P2=15P3=19=0.10.10.1=0.001如进货 40 件, 够卖的概率发生在取值为 40 时出现, 即P=40=P1=10P2=13P3=17=0.20.30.1=0.00613、解: 由概率分布的性质有3k 1 1 1 , 解得 a 16k 1P 0.5455a13 112111 2316/21XY1234564100610000063P k 1 1 1, 解得 b 1 36 0.7347k 1b19 114491 49因此有 P=1=0.

28、5455, P=2=0.5455/2=0.2727, P=3=0.1818 P=-1=0.7347, P=-2=0.1837, P=-3=0.0816因与独立, 则有p11=P=1,=-1=P=1P=-1=0.54550.7347=0.4008 p12=P=1,=-2=P=1P=-2=0.54550.1837=0.1002 p13=P=1,=-3=P=1P=-3=0.54550.0816=0.0445 p21=P=2,=-1=P=2P=-1=0.27270.7347=0.2004 p22=P=2,=-2=P=2P=-2=0.27270.1837=0.0501 p23=P=2,=-3=P=2P=

29、-3=0.27270.0816=0.0223 p31=P=3,=-1=P=3P=-1=0.18180.7347=0.1336 p32=P=3,=-2=P=3P=-2=0.18180.1837=0.0333 p33=P=3,=-3=P=3P=-3=0.18180.0816=0.0148即联合分布表如下表所示:计算+的概率分布:P+=-2=p13=0.0445P+=-1=p12+p23=0.1002+0.0223=0.1225 P+=0=p11+p22+p33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657 P+=1=p21+p32=0.2004+0.0333=0.2337 P+=2=p31=0.1336即+的概率分布率如下表所示exeyx 0其它y 0其它14、解： X f X (x) Y fY ( y) 0017/21+P-20.0445-10.122500.465710.233720.1336-1-2-31230.40080.20040.13360.10020.05010.03330.04450