新冀教版九年级下册数学课件（第30章 二次函数）

1、第三十章 二次函数第1节 二次函数1课堂讲解二次函数的定义二次函数的一般形式及函数值 利用二次函数的表达式表示实际问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？回顾旧知一次函数 ykxb(k0)正比例函数 ykx (k0)反比例函数一条直线双曲线导入新知正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y6x2. 这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数1知识点二次函数的定义知1导1

2、.如图所示，用规格相同的正方形瓷 砖铺成矩形地 面，其中，横向瓷砖比纵向瓷砖每排多 5块，矩 形地面最外面一圈 为灰色瓷砖，其余 部分全 为白色瓷砖. 设纵向每排有n块瓷 砖.知1导(1)设灰色瓷砖的总数为y块.用含n的代数式表示y；， 则y=_.y与n具有怎样的函数关系？设白色瓷砖的总数为z块.用含n的代数式表z，则z =_. z是n的函数吗？说说理由.n2 n64n6知1导2.某企业今年第一季度的产值为80万元，预计产值 的季平均增长率为x.(1)设第二季度的产值为y万元，则y=_. 设第三季度的产值为z万元，则z=_.(2) y, z都是x的函数吗？它们的表达式有什么不同？80 x808

3、0 x2160 x80知1导思考：函数z=n2 n6，z80 x2160 x80有 什么共同点？1、函数解析式是整式；2、化简后自变量的最高次数是2；3、二次项系数不为0.可以发现一般地，形如yax2bxc(a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 知1讲定义下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)y7x1； (2)y5x2；(3)y3a32a2； (4)yx2x；(5)y3(x2)(x5)； (6)yx2 .知1讲例1知1讲解：(1)y7x1； (2)y5x2； (3)y

4、3a32a2； 自变量的最高次数是1自变量的最高次数是2自变量的最高次数是3 (4)yx2x；x2不是整式(5)y3(x2)(x5)；整理得到y3x221x30，是二次函数 (6)yx2不是整式知1讲 解： 二次项系数二次项系数一次项系数常数项(2) y5x2 所以y5x2的二次项系数为5，一次项系 数为0，常数项为0.(5)化为一般式，得到y3x221x30， 所以y3(x2)(x5)的二次项系数为3， 一次项系数为21，常数项为30.1 (中考兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是() Ay3x1 Byax2bxc Cs2t22t1 Dyx22 下列各式中，y是x的二次函数的是() A

5、y Byx2 1 Cy2x21 Dy3 下列各式中，y是x的二次函数的是() Ayax2bxc Bx2y20 Cy2ax2 Dx2y210知1练 CCB4 若函数y(m2)x24x5(m是常数)是二次函数， 则() Am2 Bm2 Cm3 Dm35 若y(m1)x m21是二次函数，则m的值是() A1 B1 C1或1 D2知1练 BB6 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 () Aymx23x1 By(m1)x2 Cy(m1)2x2 Dy(m21)x2知1练 D2知识点二次函数的一般形式及函数值知2导 一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能化成如下形式：y=ax+bx+c0 (a0

6、) 这种形式叫做二次函数的一般形式 .为什么规定a0，b，c可以为0吗？知2讲二次函数的项和各项系数y=a x+b x+ c二次项系数一次项系数a0二次项一次项常数项指出方程各项的系数时要带上前面的符号.知2讲函数值：确定一个x的值，代入二次函数表达式中 所得的y值为函数值.例2 当已知函数y2x23x2. (1)当x 时，函数值为多少？ (2)当x为多少时，函数值为0.知2讲(1)当x 时， y2 3 2 (2)当y0时，2x23x20， 解得x12，x2 解： 求函数值及自变量的值，只要把对应的自变量x的值及函数值y代入函数表达式即可总 结知3讲 指出下列二次函数中相应的a，b，c的值：知

7、2练 1解：(1)a5，b3，c1.(2)y(x1)21x22x， a1，b2，c0.(3)a1，b0，c6.已知二次函数y13x5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是()Aa1，b3，c5 Ba1，b3，c5Ca5，b3，c1 Da5，b3，c1知2练 2D关于函数y(50010 x)(40 x)，下列说法不正确的是()Ay是x的二次函数 B二次项系数是10C一次项是100 D常数项是20 000知2练 3C已知x是实数，且满足(x2)(x3) 0，则相应的函数yx2x1的值为()A13或3 B7或3C3 D13或7或3知2练 4C3知识点利用二次函数的表达式表示实际问题知

8、3讲根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历 以下几个步骤： (1)确定自变量与函数代表的实际意义； (2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等 量关系列出方程或等式 (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式 中考咸宁某网店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖300件为了促销，该网店决定降价销售. 市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件已知该款童装每件成本价为40元，设该款童装每件售价为x元，每星期的销售量为y件(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取 值范围；(2)设每星期的销售利润为W，求W与x之间的函数 关系式知3讲例3 知3讲(1)销售量基本部分降价后多卖的

9、件数；(2)利用销售利润等于每件的利润乘销售量列 出利润与售价之间的关系， 导引：(1)y30030(60 x)30 x2 100(0 x40)(2)依题意，得W(x40)( 30 x2 100) 30 x23 300 x84 000.解： 在实际问题中建立二次函数关系时，关键要扣住两个变量之间的等量关系，如本题的等量关系就是销售利润单个利润 销售量这与一元二次方程中的等量关系是一致的总 结知3讲 一块长方形草地，它的长比宽多2 m. 设它的长为x m，面积为 y m2，请写出用x表示y的函数表达式. y是x的二次函数吗？若是，请指出相应的a，b，c的值.知3练 1yx(x2)x22x.y是x

10、的二次函数a1，b2，c0.解：2 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为() Ay60(1x)2 By60(1x) Cy60 x2 Dy60(1x)2知3练 A如图，在RtAOB中，ABOB，且ABOB3，设直线xt(0t3)截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为()ASt BS t2CSt2 DS t21知3练 3B1.关于二次函数的定义要理解三点：(1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实 数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实 际意义(2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要 把函数表达

11、式化为一般式(3)二次项系数不为0.1知识小结2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下 几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关 系列出方程或等式(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式当a_时，函数y(a2)x 2ax1是二次函数易错点：利用二次函数的定义求字母的值时，易忽略二次项系数不为0这一条件而导致错误2易错小结2根据题意，得a222，a20.由，得a2.由，得a2.所以a2.所以当a2时，函数y(a2)x 2ax1是二次函数第三十章 二次函数30.3 由不共线三点的坐 标确定二次函数1课堂讲解用一般式(三点式)确

12、定二次函数解析式用顶点式确定二次函数解析式用交点式确定二次函数解析式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容. 1知识点用一般式（三点式）确定二次函数的解析式知1讲已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下四步：第一步：设一般式 yax2bxc；第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一 个三元一次方程组；第三步：解方程组即可求出 a，b，c的值；第四步：写出函数解析式.例1 已知三点A(0，0)，B(1，0

13、)，C(2，3)，求由这 三点所确定的二次函数的表达式.知1讲解：设所求二次函数的解析式为yax2bxc. 将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数 表达式中，得所求二次函数解析式为y2x23x1.解得1.设一般式2.点代入一般式3.解得方程组4.写出解析式 对上面的抛物线形水流问题，请以地平线ACF为 横轴，以F为原点建立直角坐标系，并解决相应的 问题.知1练 设所求二次函数表达式为yax2bxc. 将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数表达式中，得 解得所求二次函数表达式为yx22x8.解：2 (中考宁波)如图，已知二次函数yax2bxc的图 象过A(2，0)，B(0，1)和C(4，5)三点

14、 (1)求二次函数的表达式； (2)设二次函数的图象与x轴的另一 个交点为D，求点D的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线yx 1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于 二次函数的值 知1练知1练(1)二次函数yax2bxc的图象过A(2，0)， B(0，1)和C(4，5)三点， a ，b ，c1. 二次函数的表达式为y x2 x1.(2)当y0时， 得 x2 x10， 解得x12，x21， 点D的坐标为(1，0)解： 知1练(3)如图 当1x4时，一次函数的值大于二次函数的值 【中考黑龙江】如图，RtAOB的直角边OA在x轴上,OAB90，OA2，AB1，将RtAOB绕点O逆时针旋转9

15、0得到RtCOD，抛物线y x2bxc经过B，D两点(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，点P是抛物线上一点， 直线OP把BOD的周长分成 相等的两部分，求点P的坐标 知1练3知1练(1)RtAOB绕点O逆时针旋转90得到 RtCOD， CDAB1，OAOC2， 则点B(2，1)，D(1，2)，代入表达式， 得： 解得 二次函数的表达式为y x2 x ；解： 知1练(2)如图，设OP与BD交于点Q. 直线OP把BOD的周长分 成相等的两部分， 且OBOD， DQBQ，即点Q为BD的中点， 点Q的坐标为 设直线OP对应的函数表达式为ykx， 将点Q的坐标代入，得 k ，解： 知1练解得k3，

16、直线OP对应的函数表达式为y3x， 代入y x2 x ， 得 x2 x 3x， 解得x1或x4(舍去) 当x1时，y3，点P的坐标为(1，3) 2知识点用顶点式确定二次函数表达式知2讲 二次函数 yax2bxc可化成：ya(x-h)2k ，顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.例2 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)求这条抛物线的解析式.解：依题意设ya(x-h)2k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3) 代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ， 这条抛物线的解析 式为：y= (x-4)2-1.知2讲总

17、结 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式ya(x-h)2k (a0).知2讲1 已知A(1，0)，B(0，1)，C(1，2)，D(2，1)， E(4，2)五个点，抛物线ya(x1)2k(a0)经过其 中三个点 (1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线ya(x1)2 k(a0)上 (2)点A在抛物线ya(x1)2k(a0)上吗？为什么？ (3)求a和k的值 知2练知2练(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x1. 若点C(1，2)在抛物线上， 则点C关于直线x1的对称点(3，2)也在这条抛 物线上 C，E两点不可能同时在抛物线 ya(x1)2k(a0)上证明： 知2练(2)点A不

18、在抛物线上 理由：若点A(1，0)在抛物线ya(x1)2k (a0)上，则k0. ya(x1)2(a0) 易知B(0，1)，D(2，1)都不在抛物线上 由(1)知C，E两点不可能同时在抛物线上 与抛物线经过其中三个点矛盾 点A不在抛物线上 解：知2练由(2)可知点A不在抛物线上结合(1)的结论易知B，D一定在抛物线ya(x1)2k(a0)上若点C(1，2)在此抛物线上， 则 解得若点E(4，2)在此抛物线上， 则 解得 综上可知， 或解： 知3讲3知识点用交点式确定二次函数解析式例3 如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于 点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，3) (1)求抛物线的解

19、析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物 线的顶点落在直线yx上，并写出平移 后抛物线的解析式导引：(1)利用交点式得出ya(x1)(x3)，进而求出a的 值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加 右减得出抛物线的解析式为yx2，进而得出答案 知3讲 (1)抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， 可设抛物线解析式为ya(x1)(x3)， 把(0，3)代入得：3a3，解得：a1， 故抛物线的解析式为y(x1)(x3)， 即yx24x3， yx24x3(x2)21， 顶点坐标为(2，1) (2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到 的抛物线的解析式为yx

20、2， 平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线yx上解：总 结知3讲（1）本题第（2）问是一个开放性题，平移 方法不唯一，只需将原顶点平移成横纵 坐标互为相反数即可.（2）已知图象与x轴的交点坐标，通常选择 交点式.【中考杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数 y1(xa)(xa1)，其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1，2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2axb的图象与y1的图象经过x轴上同 一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m n，求x0的取值范围知3练 1知3练(1)由函数y1的图象经过点(1，2)， 得(a1)

21、(a)2，解得a12，a21. 当a2时，函数y1的表达式为 y(x2)(x21)， 即yx2x2； 当a1时，函数y1的表达式为y(x1)(x2)， 即yx2x2. 综上所述，函数y1的表达式为yx2x2.解： 知3练(2)当y10时，(xa)(xa1)0， 解得xa或xa1， 所以y1的图象与x轴的交点是 (a，0)，(a1，0) 当y2axb的图象经过(a，0)时， a2b0，即ba2； 当y2axb的图象经过(a1，0)时， a2ab0，即ba2a. 知3练(3)由题易知y1的图象的对称轴为直线x . 当P在对称轴的左侧(含顶点)时， y随x的增大而减小， 因为(1，n)与(0，n)关

22、于直线x 对称， 所以由mn，得0 x0 ； 当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， 由mn，得 x01. 综上所述，x0的取值范围为0 x01. 设列解答步骤类型一般式（三点式）顶点式交点式待定系数法求二次函数解析式1知识小结第三十章 二次函数30.4 二次函数的应用第1课时 建立坐标系解“抛 物线”型问题1课堂讲解建立坐标系解抛物线形运动的最值问题建立坐标系解抛物线型建筑问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.知1讲1知识点建立坐标系解抛

23、物线形运动的最值问题前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题,下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题.知1讲例1 一题多解如图，某灌溉设备的喷 头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线 型水流在与喷头底部A的距离为1 m 处达到距离地面最大高度2.25 m，试 建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应 的二次函数关系式导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把 实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定 系数法求二次函数关系式知1讲解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物 线的顶点为O(0，0)，且经过点B(1，1)于是 设所求二次函数关系式为yax2， 则有1

24、a(1)2，得a1. 抛物线型水流对应的二次函数关系式为yx2.知1讲方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(1，1.25)于是设所求二次函数关系式为yax22.25，则有1.25a(1)22.25，解得a1.抛物线型水流对应的二次函数关系式为yx22.25.知1讲方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)于是设所求二次函数关系式为ya(x1)22.25，则有1.25a(1)22.25，解得a1.抛物线型水流对应的二次函数关系式为y(x1)22.25. 总 结知1讲 解决抛物线型问题，

25、其一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用 二次函数的性质解题在解题过程中要充分利用抛 物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用1 【中考天门】飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数表达式是s60t t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为_知1练 20 s2 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平 地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系， 水在空中划出的曲线是抛物线yx24x(单位：m) 的一部分，则水喷出的最大高度是() A4 m B5 m C6

26、 m D7 m知1练 A3 向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与 高度之间的关系为yax2bx.若此炮弹在第7 s与第 14 s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最 高的() A第9.5 s B第10 s C第10.5 s D第11 s知1练 C【中考临沂】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：知1练 4t01234567h08141820201814下列结论：足球距离地面的最大高度为20 m；足球飞行路线的对称轴是直线t ；足球被踢

27、出9 s时落地；足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4知1练 B2知识点建立坐标系解抛物线型建筑问题知2讲 1. 运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号知2讲 2利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题导引：由题意可知拱桥为抛物线型，因此可建立以O为坐标原 点，AB所

28、在直线为x轴，OC所在直线为y轴的直角坐标 系，利用二次函数yax2c 解决问题例2 乌鲁木齐如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的 跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立 柱间的水平距离均为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距 A点10 m处的立柱FE的高度为3.6 m. (1)求正中间的立柱OC的高度 (2)是否存在一根立柱，其高度恰 好是OC的一半？请说明理由知2讲知2讲 (1)根据题意可得正中间立柱OC经过AB的中点O，如图， 以O点为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则B点的坐标为(50，0) OFOAFA40 m，E点的坐标为(40，

29、3.6) 由题意可设抛物线对应的函数表达式为yax2c， y x210. 当x0时，y10， 即正中间的立柱OC的高度是10 m.解：知2讲 (2)不存在 理由：假设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这 根立柱的高度是5 m，则有5 x210， 解得x25 .由题意知相邻立柱间的水平距离均 为10 m，正中间的立柱OC在y轴上， 每根立柱上的点的横坐标均为10的整数倍 x25 与题意不符 不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半总 结知2讲 本题运用待定系数法求二次函数yax2c的表达式.1 (中考铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛 物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数 表达式为

30、y x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB为() A20 m B10 m C20 m D10 m知2练 C2 (中考金华)图是图中拱形大桥的示意图，桥拱 与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB 为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成 抛物线y (x80)216，桥拱与桥墩AC的交 点C恰好在水面，有ACx轴，若OA10 m，则桥面 离水面的高度AC为() A16 m B. m C16 m D. m知2练 B例3 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如 图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函 数表达式为y x2c且过点C(0，5).(

31、长度单位：m) (1)直接写出c的值； (2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的 台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地 毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元； (3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H， G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形 EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角GEF的度 数(精确到0.1)知2讲导引：(1)将点C的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设 地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得 所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱 数；(3)求出点G的坐标，在RtEFG中，利用三角 函数求GEF的度数 解：(1)

32、c5. (2)由(1)知OC5.令y0，即 x250， 解得x110，x210. 地毯的总长度为AB2OC202530(m) 301.520900(元) 购买地毯需要900元知2讲(3)可设G的坐标为 其中a0， 则EF2a m，GF 由已知得2(EFGF)27.5 m，即2 解得a15，a235(不合题意，舍去)当a5时， 5 5253.75，点G的坐标是(5，3.75) EF10 m，GF3.75 m.在RtEFG中，tan GEF 0.375，GEF20.6.知2讲 总 结知2讲 本题实际上是一道函数与几何的综合题主要考查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思想等来解决问题，是中等

33、难度的试题3 (中考绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时， 桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为 坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y (x 6)24，则选取点B为坐标原点时抛物线对应的函数 表达式是_知2练 1知识小结1.运动问题： (1)运动中的距离、时间、速度问题； 这类问题多根 据运动规律中的公式求解 (2)物 体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想 方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立直 角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求出运动 轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数 的性质去 分析、解决问题2

34、.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑 物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等解决这类 问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立 直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式， 然后利用函数解析式解决问题第三十章 二次函数30.4 二次函数的应用第2课时 求二次函数解几何最值问题1课堂讲解二次函数的最值几何面积的最值2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究1知识点二次函数的最值1当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处 取得最值即当x 时，y最值 . 当a0时，在顶点处取得最小值，此时

35、不存在最大 值；当a0时，在顶点处取得最大值，此时不存在 最小值知1讲知1讲2. 当自变量的取值范围是x1xx2时，(1)若在自变量的取值范 围x1xx2内，最大值与最小值同时存在，如图，当a0时， 最小值在x 处取得，最大值为函数在xx1，xx2时的 较大的函数值；当a0时， 最大值在x 处取得， 最小值为函数在xx1， xx2时的较小的函数值；知1讲 (2)若 不在自变量的取值范围x1xx2内，最大值和 最小值同时存在，且函数 在xx1，xx2时的函数值 中，较大的为最大值，较 小的为最小值，如图.导引：先求出抛物线yx22x3的顶点坐标，然后 看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值 范

36、围内，根据不同情况求解，也可画出图象， 利用图象求解例1 分别在下列范围内求函数yx22x3的最值： (1)0 x2；(2)2x3.知1讲解：yx22x3(x1)24， 图象的顶点坐标为(1，4) (1)x1在0 x2范围内，且a10， 当x1时，y有最小值，y最小值4. x1是0 x2范围的中点，在直线x1两侧的 图象左右对称，端点处取不到， 不存在最大值知1讲知1讲 (2)x1不在2x3范围内(如图)， 而函数yx22x3(2x3)的图象是抛物线 yx22x3的一部分，且当2x3时， y随x的增大而增大， 当x3时， y最大值322330； 当x2时， y最小值222233.总 结知1讲

37、求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解1 二次函数yx24xc的最小值为0，则c的值 为() A2 B4 C4 D16已知0 x ，那么函数y2x28x6的最 大值是() A6 B2.5 C2 D不能确定知1练 BB3 已知yx(x3a)1是关于x的二次函数，当x 的取值范围在1x5时，若y在x1时取得最大值， 则实数a的取值情况是() Aa9 Ba5 Ca9 Da54 二次函数y2x26x1，当0 x5时，y的取值范 围是_知1练 D5 若二次函数yx2ax5的图象关于直线x2 对称，且当mx0时，y有最大值5，最小值1， 则m

38、的取值范围是_知1练 2知识点几何面积的最值知2导利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：(1)引入自变量；(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相 关的量；(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且 用函数表示这个面积；(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值知2讲用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD，AB平行. 设AB=x m，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少平方米?例2 知2讲1.当矩形的宽AB=x m时，如何用包含x的代数式表示矩 形的长BC? 2.矩形的面积S与矩形的宽x之间的

39、等量关系是什么? 3.你能写出矩形的面积S与矩形的宽x之间的函数表达式 吗? 4.请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式. 5.该二次函数有没有最大值?最大值是多少?此时x的值 是多少?思考： 知2讲 当x=3时，S有最大值，且S最大12m2 答：当x=3时，矩形框架ABCD的面积S最大， 最大面积为12 m2. 解：知2讲例3 如图，已知ABC的面积为2 400 cm2，底边BC长为80 cm.若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四 边形BDEF为平行四边形，设BD x(cm)，SBDEFy(cm2)，求： (1)y与x之间的函数关系式 (2)自变量x的取值范围 (3)当

40、x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？导引：(1)可分别设出DCE的边CD上的高和ABC的边BC 上的高，根据条件求出ABC的边BC上的高，再利用 相似找出其他等量关系，然后设法用x表示BDEF的边 BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据 x的取值范围及求最值的方法解题知2讲解：(1)设DCE的边CD上的高为h cm，ABC的边BC上的 高为b cm，则有SBDEFxh(cm2) SABC BCb， 2 400 80b.b60. 四边形BDEF为平行四边形， DEAB.EDCABC. yx x260 x，即y x260 x. 知2讲 (2)自变量x的取值范围是0 x80

41、. (3)由(1)可得y (x40)21 200. a 0，0 x80， 当x40时，y取得最大值，最大值是1 200. 总 结知2讲 本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积如图，已知AB2，点C在线段AB上，四边 形ACDE和四边形CBFG都是正方形. 设BC=x. (1) AC_.知2练 12x(2)设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积 为S， 用x表示S的函数表达式为S_.(3)总面积S有最大值还是最小值？这个最大值或 最小值是多少

42、?(4)当总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的 什么位置？知2练 (3)S2x24x42(x1)22. a20，S有最小值，S最小值2.(4)当S2时，2(x1)222，解得x1. AB2，AC2x1，点C在AB的中点处2x24x42 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则 这个直角三角形的最大面积为() A25 cm2 B50 cm2 C100 cm2 D不确定3 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长 方形，a的值不可能为() A20 B40 C100 D120知2练 BD4 如图，在矩形ABCD中，AD1，AB2，从较短 边AD上找一点E，过这点剪下两个正方

43、形，它们 的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面 积之和最小时，点E应选在() AAD的中点 BAEED( 1)2 CAEED 1 DAEED( 1)2 知2练 A【中考宿迁】如图，在RtABC中，C90，AC6 cm，BC2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时, 另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是()A20 cm B18 cm C2 cm D3 cm知2练 5C【中考金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，ABBC10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在

44、B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)(1)如图，若BC4 m， 则S_；知2练 688m2(2)如图，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以 CD为边拓展一等边三角形CDE区域，使之变成落 地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在 BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长 为_知2练 【中考绍兴】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)(1)如图，问当饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图，现要求在图中所示位 置留2 m宽的门

45、，且仍使饲养室 的占地面积最大，小敏说：“只 要饲养室长比(1)中的长多2 m就 行了”请你通过计算，判断小 敏的说法是否正确知2练 7知2练 (1)yx (x25)2 ， 当x25时，占地面积y最大， 即当饲养室长为25 m时，占地面积最大(2)yx (x26)2338， 当x26时，占地面积y最大， 即当饲养室长为26 m时，占地面积最大 262512， 小敏的说法不正确解： 利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题1知识小结第三十章 二次函数3

46、0.4 二次函数的应用第3课时 求二次函数表达式 解实际应用问题1课堂讲解用二次函数表示实际问题用二次函数的最值解实际问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.1知识点用二次函数表示实际问题知1讲 根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下 几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系 列出方程或等式(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式

47、如图，已知边长为1的正方形ABCD，在BC边上有一动点E，连接AE，作EF AE，交CD边于点F.(1)CF的长可能等于 吗？(2)点E在什么位置时， CF的长为 ？知1讲 例1 知1讲 设BEx，CFy.BAECEF，RtABE RtECF.yx2x(x )2 .解：知1讲 y最大 ， CF的长不可能等于 .(2)设x2x 即16x216x30. 解得x1 ，x2 当BE的长为 或 时，均有CF的长为 .当路况良好时，在干燥的路面上，某 种汽车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系如下表：知1练 1v(km/h)406080100120s(m)24.27.21115.6(1)在平面

48、直角坐标系中描出每对(v，s)所对应的点， 并用平滑的曲线顺次连接各点.知1练 解：(1)如图(2)利用图像验证刹车距离众s(m)与车速v(km/h)是 否具有如下关系：知1练 解：分别令v40 km/h，60 km/h，80 km/h，100 km/h， 120 km/h，由 分别可得s2 m，4.2 m，7.2 m，11 m，15.6 m. 刹车距离s(m)与车速v(km/h) 具有 的关系(3)求s9 m时的车速v.知1练 解：令s9 m，则 解得v1100(km/h)(舍去)，v290(km/h) 当s9 m时，车速v90 km/h.【中考扬州】某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，

49、售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a0)未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为_知1练 20a63 在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形油画的四周镶一条 金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要 使整幅挂图的面积是 y cm2，设金色纸边的宽度为 x cm，那么y关于x的函数表达式是() Ay(602x)(402x) By(60 x)(40

50、 x) Cy(602x)(40 x) Dy(60 x)(402x)知1练 A4 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念 的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提 出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31， 则y与x满足的二次函数表达式为() Ay(x13)259.9 By0.1x22.6x31 Cy0.1x22.6x76.8 Dy0.1x22.6x43知1练 D2知识点利用二次函数的最值解实际问题知2导 利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运 用“总利润每件商品所获利润销售件数”或“总利 润总售价总成本

51、”建立利润与销售单价之间的二 次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值知2讲 例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时， 每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日 租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间 不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高 到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总 收入是多少？知2讲设每间客房的日租金提高10 x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为 y元，则 y = (160+10 x) (120-6x)= -60 (x-2)2+ 19 440. x0,且120-6x0，0 x 20.当x=2时，y最大= 19 440.这时

52、每间客房的日租金为160 +102=180 (元).因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人最高，最高收入为 19 440 元. 解：知2讲例3 沈阳一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件， 出厂价为12元/件，年销售量为2万件今年计划通过适当 增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩 具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩 具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则 预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(0 x1) (1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本 为_元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_元； (2)求今年这种玩

53、具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式； (3)设今年这种玩具的年销售利润为W万元，求当x为何值 时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少 万元？知2讲 由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(10.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (10.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1x)倍解：(1)(107x)；(126x) (2)y(126x)(107x)2x， 即y与x的函数关系式为y2x. (3)W2(1x)(2x)2x22x42(x-5)24.5， 0 x1，当x0.5时，W有最大值 W最大值4.5. 答：当x0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为

54、4.5万元 导引：总 结知2讲 本题利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润每件商品所获利润销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值1 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益 y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式yx2100 x 28 400，要使收益最大，则此旅行团应有() A30人 B40人 C50人 D55人知2练 C2 (中考咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星 期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售市场 调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件已知该款

55、童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星 期的销售量为y件 (1)求y与x之间的函数表达式 (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大， 最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每 星期至少要销售该款童装多少件？知2练 知2练 (1)y30030(60 x)30 x2 100.(2)设每星期的销售利润为W元， 则W(x40)(30 x2 100) 30(x55)26 750. 当x55时，W取最大值为6 750. 每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大， 最大利润为6 750元解：知2练 (3)由题意得(x40)(30 x2 100)6 480， 解得52x58. 当x52时，销售量为300308540(件)， 当x58时，销售量为300302360(件)， 该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润， 每星期至少要销售该款童装360件 利润问题的基本关系式：总利润单件利润销售总量若销售单价每提高m元，销售量相应减少n件，设提高x元，则现销售量原销售量 1知识小结【中考云南】草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图