随机变量的数字特征课件

1、随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 数 学 期 望 4.1.1 数学期望的概念 定义 (1)设离散型随机变量X的分布列为 若级数 绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望(也称期望或均值)，记为EX。 (2)设连续型随机变量的概率密度函数为f(x)积分 绝对收敛，则定义的X数学期望EX为 2022/9/102概率论与数理统计4.1 数 学 期 望 4.1.1 数学期望的概念 204.1.1 数学期望的概念例 设随机变量X服从两点分布，且 求EX。 解： 2022/9/103概率论与数理统计4.1.1 数学期望的概念例 设随机变量X服从两点分布4.1.1 数学期望的概念例 设X在区间

2、a,b上服从均匀分布，其概率密度为 求EX解： 2022/9/104概率论与数理统计4.1.1 数学期望的概念例 设X在区间a,b上服4.1.1 数学期望的概念例 设X服从参数为 的指数分布，求 EX。解：因为 所以 2022/9/105概率论与数理统计4.1.1 数学期望的概念例 设X服从参数为 的指数4.1.1 数学期望的概念例 设随机变量X的概率密度为 求EX。 解: = 2022/9/106概率论与数理统计4.1.1 数学期望的概念例 设随机变量X的概率密度为4.1.2 随机变量函数的数学期望 设随机变量Y为随机变量X的函数，即 。从上节的讨论可知，要求出Y的数学期望，只要求出Y的概率

3、密度即可，但这个过程往往比较麻烦。我们有如下的定理，不用求出Y的概率密度，直接可求出。 2022/9/107概率论与数理统计4.1.2 随机变量函数的数学期望 设随机变量Y为随机变量4.1.2 随机变量函数的数学期望定理1 设Y为随机变量X的函数 ，g(x)这里为连续的实值函数，(1) 若X为离散型随机变量，其概率分布为： 则 (2) 若X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)，则 2022/9/108概率论与数理统计4.1.2 随机变量函数的数学期望定理1 设Y为随机变量4.1.2 随机变量函数的数学期望例 设随机变量X的概率密度为 求解：这里 ，于是 2022/9/109概率论与数理统计4

4、.1.2 随机变量函数的数学期望例 设随机变量X的概率4.1.2 随机变量函数的数学期望定理2 设Z为二维随机向量(X,Y)的函数 ，这里 为二元连续实函数，则(1) 若为（X,Y）离散型，其联合分布律为 那么(2) 若(X,Y)为连续型，其联合概率密度为f(x,y)，那么2022/9/1010概率论与数理统计4.1.2 随机变量函数的数学期望定理2 设Z为二维随机4.1.3 数学期望的性质在下列性质中，假设随机变量的数学期望总存在。性质1 EX=C, C为常数。性质2 E(CX)=CEX，C为常数。性质3 E(X+Y)=EX+EY 。性质4 设X,Y相互独立，则EXY=EXEY。 2022/

5、9/1011概率论与数理统计4.1.3 数学期望的性质在下列性质中，假设随机变量的数学 4.1.3 数学期望的性质例 两台相同的电话交换机,每台无故障的工作时间服从参数为5的指数分布。先起用一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启。试求这两台交换机无故障工作总时间T的数学期望。解：设第一，第二台交换机的无故障工作时间分别为 ，则 。2022/9/1012概率论与数理统计 4.1.3 数学期望的性质例 两台相同的电话交换机,4.1.3 数学期望的性质所以 2/5 2022/9/1013概率论与数理统计4.1.3 数学期望的性质所以2022/9/415概率论与4.2 方 差在第4章4.1节中讨论的

6、数学期望的概念能反映随机变量的平均值，在一些实际问题中有时仅知道平均值是不够的。本节将引入方差的概念来反映随机变量对数学期望的离散程度。定义 设X为一随机变量，若 存在，则称这个值为X的方差，记为DX，即 。又称 为的X标准差或均方差。 2022/9/1014概率论与数理统计4.2 方 差在第4章4.1节中讨论的数学期望的概念4.2 方 差例 设X服从0-1分布,求DX。解 所以2022/9/1015概率论与数理统计4.2 方 差例 设X服从0-1分布,求DX。24.2 方 差例 设X服从a,b上的均匀分布，求DX。解：因为 ， ， 所以 2022/9/1016概率论与数理统计4.2 方 差例

7、 设X服从a,b上的均匀分布4.2 方 差例 设X服从参数为 指数分布，求DX。 解：因为 ， ， 所以2022/9/1017概率论与数理统计4.2 方 差例 设X服从参数为 指数分布，4.2.2 方差的性质 在下列性质中，假设随机变量的方差总存在。性质1 设C为常数，则D(C)。 性质2 设C为常数，则 。 证明 性质3 设X,Y相互独立，则D(X+Y)=DX+DY。 2022/9/1018概率论与数理统计4.2.2 方差的性质 在下列性质中，假设随机变量的方差总4.3 矩、协方差和相关系数 4.3.1 矩矩也是随机变量的重要数字特征，在数理统计中将要用到这个概念。定义 设X为一随机变量，若

8、 存在，称它为X的K阶原点矩，记为 ；若 存在，称它为X的K阶中心矩，记为 2022/9/1019概率论与数理统计4.3 矩、协方差和相关系数 4.3.1 矩2022/94.3.2 协方差和相关系数 在本节中，将讨论二维随机向量(X,Y)中X和Y的相互关系的数字特征。定义 设(X,Y)为二维随机向量，若 存存在，称它为的协方差，记为 称 为随机变量X,Y的相关系数。2022/9/1020概率论与数理统计4.3.2 协方差和相关系数 在本节中，将讨论二维随机向量协方差的性质协方差有如下性质：(证明略)性质1 = 。性质2 =ab ， ab为常数。性质3 = + 。性质4 。性质5 = 。 202

9、2/9/1021概率论与数理统计协方差的性质协方差有如下性质：(证明略)2022/9/423相关系数的性质相关系数有如下性质：性质1 。性质2 若X,Y相互独立，则 。性质3 的充要条件是X与Y依概率1线性相关，即存在两个常数a,b且 ，使得 。 2022/9/1022概率论与数理统计相关系数的性质相关系数有如下性质：2022/9/424概率论4.3.2 协方差和相关系数例 设(X,Y)服从区域 上的均匀分布，求 及 。解 (X,Y)的联合密度函数为 于是 2022/9/1023概率论与数理统计4.3.2 协方差和相关系数例 设(X,Y)服从区域4.3.2 协方差和相关系数再由协方差的性质5，有=又 ，而 ，故有 。同理 ，所以 = 。 2022/9/1024概率论与数理统计4.3.2 协方差和相关系数再由协方差的性质5，有20224.3.2 协方差和相关系数例 设(X,Y)的联合密度为 问(1) X,Y是否相关？(2) X,Y是否独立？解：(1)X,Y是否相关要看 是否为0。因为同理 ，所以 =0 从而X,Y