决策分析芸da2015春

1、第三章 多指标决策3.1 概述3.2 多指标决策基本概念3.3 指标值的标准化处理3.4 无信息的决策原则3.5 线性加权和法3.6 加权系数的确定方法3.1概述1、单指标：实数大小比较，多指标：多维向量比较2、例图3.1 五个方案的比较3.1概述(续）从图3.1可知，方案1、2和3可以被方案4和5淘汰。但是，方案4和5无法判断其优劣。此时，决策者有三个选择1）认为方案4和5都是好方案，从中任选一个方案进行实施2）认为方案4和5都是好方案，然后把它们再综合出一个新的好方案进行实施；3）根据某种意义的最优原则，继续从方案4和5中选择一个满意的方案进行实施。 方案1、2和3称为劣解， 方案4和5称

2、为非劣解（有效解）， 决策者最后选择的那个实施方案称为满意解。3.1概述(续）3、多指标决策基本步骤1）从可行解中淘汰劣解；2）从非劣解集合中选取一个满意解。4、多指标决策的发展简史3.2 多指标决策基本概念一、实例考虑一个购买战斗机问题。现有4种飞机可供选择，决策者根据战斗机的性能和费用，考虑了6项评价指标。如表3.1所示。 表3.1 购买战斗机问题决策矩阵显然，这是一个多指标多方案的决策问题，决策者必须根据自己的偏爱，在综合考虑每个方案的各种指标后进行决策。3.2 多指标决策基本概念（续）二、多指标决策和多目标规划1、多指标决策：具有多指标多方案的决策问题2、多目标规划：具有多个目标和约束

3、条件的数学规划。3、多指标决策和多目标规划的差别：见表3.2所示。多指标决策其主要特征是具有有限个离散的方案。它在决策论、经济学、统计学、心理学、管理学科中有广泛的应用。3.2 多指标决策基本概念（续）三、多指标决策三个构成要素1、有n个评价指标fj ，（ 1 j n）2、有m个决策方案Ai，（1 i m）3、有一个决策矩阵D= (xi, j)m n ，（1 i m ，1 j n）四、解的意义定义1 单指标排序下的最大值和最小值（假定多指标都是求max）3.2 多指标决策基本概念（续）定义2 理想点F*和最优解A*令F*=(f1*,f2*, . . ., f n*)，称 F*为多指标决策的理想

4、点。如果在m个备选方案中，方案A*的n个指标恰好等于fj*，则A*就是最优解.定义3 优势原则和劣解 如果2个备选方案As和At有关系式 则称方案As优于At，记为AsAt。这时方案At就是劣解，可将其淘汰。定义4 非劣解 对于某一方案Ak，如果不存在其他方案Ai优于它(i=1,2, . . . , m, ik)，则称Ak为非劣解，或称有效解3.2 多指标决策基本概念（续）定义5 满意解 根据决策者的偏好信息，从非劣解中选择出来的最优非劣解。推论1 如果m个方案只有一个非劣解，则其它m-1个方案一定是劣解推论2 如果m个方案只有r个非劣解，则其它m-r个方案一定是劣解（1 r m）五、非劣解的

5、平均个数表 3.3 非劣解的平均数N与方案个m和指标数n统计关系表3.3 指标值的标准化处理一、标准化处理方法 假定原决策矩阵为D=(xi j ) mn，经过标准化处理后得到的矩阵为R=(r i j )mn 1、向量归一化优点：1）0 r i j 1,（1 i m ，1 j n） 2）对于每一个指标fj，矩阵R中列向量的模为13.3 指标值的标准化处理（续）2、线性比例变换优点 1）0 r i j 1,（1 i m ，1 j n） 2）计算方便 3）保留了相对排序关系3、极差变换优点 1）0 r i j 1,（1 i m ，1 j n） 2）对于每一个指标总是有最优值为1和最劣值为03.3 指

6、标值的标准化处理（续）二、模糊指标的量化1、效益指标2、成本指标图3.2 模糊效益指标的量化图3.3 模糊成本指标的量化3.3 指标值的标准化处理（续）三、计算实例考虑一个购买战斗机为题，有4种飞机，选择评价指标有6个。如3.1节中表3.1所示。试对这些指标进行标准化处理。 表3.1 购买战斗机问题决策矩阵3.3 指标值的标准化处理（续）1、定性指标量化 首先将第5个指标（可靠性）和第6个指标（灵敏度）进行定量化处理。这两个都是效益指标。根据图3.2可知，它们的量化值如表3.4。 表3.4 可靠性和灵敏度指标的量化 购买战斗机问题决策矩阵3.3 指标值的标准化处理（续）1）采用向量归一化处理公

7、式，可得3.3 指标值的标准化处理（续）2）采用线性比例变换公式，可得3.3 指标值的标准化处理（续）3）采用极差变换公式，可得3.4 无信息的决策原则一、最大最小原则（Max Min）如购买战斗机问题的标准化决策矩阵为按最大最小原则得到所以最优方案A*=A33.4 无信息的决策原则（续）二、最大最大原则（Max Max）如根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得所以，最优方案A*=A1或A*=A2 或A*=A33.4 无信息的决策原则（续）三、折中系数法如取=0.6，则根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得所以最优方案A*=A3。3.5 线性加权和法线性加权和法是在标准化决策矩阵R=(r i

8、j )mn基础上进行的，先对n个标准化的指标构造如下线性加权和评价函数然后按如下原则选择满意方案A*：例：购买战斗机问题中，分别取6个指标的重要性权系数为w1=0.2，w2=0.1，w3=0.1，w4=0.1，w5=0.2，w6=0.3，则，则根据其标准化决策矩阵可得U(A1)=0.835 U(A2)=0.709 U(A3)=0.852 U(A4)=0.738Max U(A1)，U(A2)，U(A3)，U(A4)= U(A3)=0.852 所以最优方案A*=A3。3.6加权系数的确定方法主观赋权方法客观赋权方法3.6.1 主观赋权方法一、专家法1、分别填表并计算有关参数表3.5 指标权系数计算

9、表2、开会讨论 让那些有最大偏差的专家发表意见，通过充分讨论以达到对各指标重要性的比较一致的认识。二、相对比较法如果决策者比较容易确定两两指标之间相对重要性程度，则可采用相对比较法确定各指标的权系数。例如将指标f1和f2进行比较，如果决策认为指标f1的重要性程度是指标f2的四倍，则取w12=0.8，w21=0.2。其余类推。并令wjj=0，j=1,2, . . .,n。这样，各指标的权系数可按如下公式确定。例：4种电报设备选择假设某工厂要新投产一电报设备，选定4个评价指标为造价、功耗、速率和可靠性。共制作了4种样机。现要决定其中一种进行批量生产。4种样机的各项指标如表3.7.表3.7 4种样机

10、的各项指标表解、1）指标值的标准化 先利用线性比例变换将上表的各方案指标值变换成标准化决策矩阵，如表3.8所示。其中，造价和功耗为成本指标，速率和可靠性为效益指标。表3.8 4种样机的各项指标的标准化值表2）确定各指标的权系数假设各指标的两两相对重要性程度如表3.9所示表3.9 各指标的两两相对重要性程度表根据表3.9的各指标的两两相对重要性程度，可得w1=(0.6+0.7+0.8)/6=0.350, w2=(0.4+0.6+0.7)/6=0.283, w3=(0.3+0.4+0.6)/6=0.217, w4=(0.2+0.3+0.4)/6=0.1503）求各方案的综合评价值（利用线性加权和公

11、式）U(A1)=0.756 U(A2)=0.7332 U(A3)=0.645 U(A4)=0.580Max U(A1)，U(A2)，U(A3)，U(A4)=Max 0.756,0.7332,0.645,0.580=0.756 所以最优方案A*=A1。3.6.2 客观赋权方法一、二项系数加权法假设已知n个指标重要性的优先序。按对称的方式将给定的优先序重新调整，使得中间位置的指标最重要，同时重要性分别向两边递减。 当n=2k时，排序为当n=2k+1，时排序为 令二项展开式的各项系数作为着n个指标的权系数二 熵技术法熵技术是确定多指标决策问题中各指标权系数的一种方法。它是利用决策矩阵和各指标的输出熵来确定各指标的权系数。考虑m个方案，n各指标的多指标决策问题的决策矩阵D则利用熵技术确定各指标的权系数步骤如下：1、由标准化决策矩阵R=(ri j ) mn求Pi j2、求指标fj输出的熵 3、求偏差度 dj=1-Ej j=1,2,n4、求各指标的权系数wj， 当决策者没有明显偏好时，权系数为当决策者对指标fj已有一偏好的权系数j，则可利用wj进一步修正权重j，得到较准确的估计例 购买战斗机问题的标准化决策矩阵为1）求Pi j2)分别计算每个指标fj的熵Ej、偏离