常见-“恒成立问题”-的解决办法

1、常见“恒成立问题”的解决办法在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用因此也成为历年高考的一个热点下面本人就高考中常出现的恒成立问题谈一谈自己的解法一变量分离法变量分离法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、mf(x)在x,D上恒成立omf(x)max思路2、mf(x)在x,D上恒成立om0,m(221+1)t,1,2,(221+1),17,5故m的取值范围是5,+8)例2.设f(x)二lg1x+2x+

2、3x+(n1)x+nxa其中a为实数，n为任意给定的自然数，且n2,如果f(x)当xw(-8，1时有意义，求a的取值范围.解：本题即为对于x,(8，1，有1x+2x+(n1)x+nxa0恒成立.这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得a(1)x+(2)x+(-bx(n2)，对于x,(8,1恒成立.TOC o 1-5 h znnn12n1构造函数g(x)=()x+()x()x,则问题转化为求函数g(x)在 HYPERLINK l bookmark39nnnkx,(8,1上的值域，由于函数u(x)=一(一)x(k=1,2，,n1)在x,(8,1上n是单

3、调增函数，则g(x)在(8,1上为单调增函数.于是有g(x)的最大值为g(1)=1(n1),从而可得a*(n1).如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(X)的最值.二赋值法利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例3由等式X4+aX3+aX2+aX+a=(X+1)4+b(X+1)3+b(X+1)2+b(X+1)+b定义映射f：12341234TOC o 1-5 h z

4、(a,a,a,a)fb+b+b+b,则f：(4,3,2,1)f()12341234A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a=1+b+b+b+b,又a=1，所以b+b+b+b=0，故选D4123441234例4.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线乂=-对称，那么a=().8A.1B.-1C.2D.-2.略解：取口及-习，则f(0)=f(-4)，即a=-1,故选氏此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.三构造函数法1、一次函数型若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷.给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0)，若y=f(x)在m,n

5、内恒有f(x)O,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于j-f(m),0f(m)0f(n)，0同理，若在m,n内恒有f(x)0，则有f(n)0即F-4x+30解得：$誓1f(2),x2-1,0 x,1或x3.即XW(8,1)U(3,+s)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.2、二次函数型若二次函数y=ax2+bx+c(aZ0)大于0恒成立，则有a,0且A0；若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解.2例6.若函数f(x)0恒成立,a,11所以当a2-10即当：,10,时，a1，2此时(

6、a2一1)x2,(a一1)x,10,.a1.a,1a2一10,当a2-10时，即当2时,A=(a-1)2-4(a2-1)0a,1有a2-10a,90,10恒成立，求a的取值范围.分析：要使x-2,2时，f(x)0恒成立，只需f(x)的最小值g(a)0即可.解：f(x)扌-a+3，令f(x)在-2,2上的最小值为g(a).a7卡一a+30.6a2当一4时，g(a)f(2)7一3a0/.a又(2)当一2-2，即-4a4时，g(a)2又-4a4.-4a2又a2，即a0/.a7.一7a-4综上所述,，7aax恒成立，求a的取值范围.解：若设y1x(4-x)，则(x一2)2+y24(y10)为上半圆.设

7、yax,为过原点，a为斜率的直线.在同一坐标系内作出函数图象，依2题意，半圆恒在直线上方时，只有a0时成立，即a的取值范围为a0恒成立, HYPERLINK l bookmark692a2a,124a2求a的取值范围.2a2a解：因为log的值随着参数a的变化而变化，若设tlog一2a+12a+1则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3-1)x2,2tx-210恒成立”这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组3-t02a.解得t0，即有log0，易得0a1.A(2t)2+8t(3-1)02a+1通过换元引参，把把问题变成熟悉的二次函数问题，使问题迎刃而解六变更主元法例10.若对于0JmJ1，方程x2+mx2m10都有实根，求实根的范围.解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主