【例31】每箱产品有10件其次品数从0到2是等可能的

1、PAGE PAGE 6北京领航航考研名名师铁军军20006年考考研数学学预测338题331-338【例311】每箱产产品有110件，其次品品数从00到2是是等可能能的。开开箱检验验时，从从中任取取一件，如果检检验为次次品，则则认为该该箱产品品不合格格而拒收收。由于于检验误误差，假假设一件件正品被被误判为为次品的的概率为为2%，一件次次品被漏漏查误判判为正品品的概率率为100%。求：（11）检验验一箱产产品能通通过验收收的概率率；（22）检验验10箱箱产品通通过率不不低于990%的的概率【详解】（1）设= “一箱内内有i件次品品”，i=0，1，22。则AA0,A1,A2两两不不相容，其和为为，构

2、成成一个完完备事件件组。设事件BB=“一箱产产品通过过验收”，B1=“抽到一一件正品品”。依题意，有；应用全概概公式，得又由于BB1与为对立立事件，再次应应用全概概公式有有（2）由由于各箱箱产品是是否通过过验收互互不影响响，则设设10箱箱产品中中通过验验收的箱箱数为XX，X服服从参数数为n=10，P=PP(B)=0.8922的二项项分布。【例322】设随机机变量XX的密度度函数为为求随机机变量的的分布函函数与密密度函数数。【详解】令，取非零值值的范围围为11，2。当时时，有的分布函函数 Y的密度度函数为为 注意：本本题中不不是单调调函数，不能直直接用公公式求解解。此例例表明，先考虑虑随机变变量

3、的取取非零值值的范围围，然后后在此范范围内求求分布函函数值可可以简化化运算。至于取取非零值值范围之之外的分分布函数数值，可可以由分分布函数数的性质质决定其其为0或或1。【例333】袋中有有只黑球球，每次次从中随随意取出出一球，并换入入一个白白球，如如此交换换共进行行次。已已知袋中中白球数数的数学学期望为为a，则第第n+11次从袋袋中任取取一球为为白球的的概率是是【详解】依题意意，袋中中白球数数是一个个随机变变量，XX可取00，1，2，n，且若记B=“第n+11次从袋袋中任取取一球为为白球”，=“第n次交换换后袋中中有个白白球”=XX=k。则由全概概率公式式，得【例344】设一台台机器上上有3个

4、个部件，在某一一时刻需需要对部部件进行行调整，3个部部件需要要调整的的概率分分别为且且相互独独立，任任一部件件需要调调整即为为机器需需要调整整。（1）求求机器需需要调整整的概率率；（22）记为为需要调调整的部部件数，求期望望、方差差。【详解】设事件件为机器器要调整整，记为为第个部部件需要要调整，.（1）显显然，则则（根据据事件的的独立性性知）.（2）求求期望、方差有有两种解解法：解法一：先求的分分布律，根据分分布律再再求数学学期望和和方差。根据的意意义，显显然有事事件的记记法如（1），并注意意到事件件之间的的独立性性，有 =；.所以，解法二：可以不不求的分分布律，引进新新的随机机变量，利用期期

5、望、方方差的性性质求出出期望、方差。现引进新新的随机机变量定定义如下下：因此我们们有 而服从分分布，所以，又因为，且之间间相互独独立，所以 .【评注】本题中中解法二二比解法法一简单单得多，这就是是引进新新的随机机变量的的好处，但如何何引进新新的随机机变量是是一个难难点。一一般在考考研试题题中，总总是引进进服从分布布，用独独立性和和来简化化计算。【例355】假设一一批共1100件件产品，其中一一、二、三等品品分别为为80，10，10件件。现在在从中任任抽取一一件，记记试求：（1）随随机变量量的联合合分布；（2）随机变变量的相相关系数数。【详解】引进事事件由条件，知易见见，有四四个可能能值：（0，

6、00），（0，11），（1，00），（1，11）又又；【例366】生产线线上源源源不断地地生产成成箱的零零件，假假设每箱箱平均重重50千克克，标准准差为55千克，若若用最大大载重量量为5吨的汽汽车承运运，试利利用中心心极限定定理说明明每辆车车最多可可以装多多少箱，才能保保证不超超载的概概率大于于0.9977？（）。【详解】以表示示装运的的第i箱产品品的实际际重量，n为所求求箱数。由条件件是独立立同分布布随机变变量（但但具体分分布未知知），因因而总重重量为TT=。由条件知知. 千克克。又随机机变量独独立同分分布且数数学期望望和方差差都存在在，故根根据列维维一林德德伯格中中心极限限定理，只要nn充

7、分大大，随机机变量TT就近似似服从正正态分布布N(550n,25nn)。由由题意知知，所求求n应满足足条件：当n充分分大时变变量近似似服从NN（0，1），可见，从而有. 即即最多只只能装998箱。【例377】设总体体X为连续续型随机机变量，概率密密度函数数为，从从该总体体抽取容容量为的的简单随随机样本本。试求求在曲线线下方，统计量量对应的的统计值值的右方方的（曲曲边形）面积SS的数学学期望。【详解】设为总总体X的的分布函函数，则则先求的分分布函数数G（mm）的概概率密度度g(mm)。M的分布布函数的概率密密度因此，计计算S的的数学期期望：【例388】已知某某种材料料的抗压压强度，现随机机地抽取取10个个样品进进行抗压压试验，测得数数据如下下（单位位：）：样本均均值，样样本方差差.（1）求求平均抗抗压强度度的矩估估计值；（2）求求平均抗抗压强度度的955%的置置信区间间；（3）若若已知，求的995%的的置信区区间.【详解】（1）（2）