高等数学第九章第一节多元函数的概念

1、高等数学第九章第一节多元函数的概念第1页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四（1）邻域一、平面区域的概念第2页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四（2）区域例如，即为开集内点：设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点如果存在点 P 的某一邻域则称为的内点的内点属于如果点集的点都是内点，则称为开集第3页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四边界点：外点：如果存在 U( P ) , 使得则称点P 为 E 的外点连通集：连通的开集称为开区域，简称区域第4页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四例如，例如，第5页，共7

2、2页，2022年，5月20日，17点36分，星期四有界闭区域；无界开区域例如，第6页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四（3）聚点I： 内点一定是聚点；说明：如果对于任意的 0 , 点 P 的去心邻域内总有 E 中的点，则称点 P 是点集 E 的聚点。II： 在 内，总有 E 的无穷多个点；III： 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0,0) 是聚点但不属于E第7页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四 E中任何一点都是 E 的边界点，又如, E 中的任何一点都是 E 的聚点。思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否一定是边界点？第8页，共

3、72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四二、 n 维空间的概念当 n = 3 时，( x , y , z ) 表示空间中的一个点或向量表示空间中的全体点或全体向量。因此，我们也称为中的一个点或一个 n 维向量。第9页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四因此，我们也称为中的一个点或一个 n 维向量。定义线性运算如下：这样定义了线性运算的向量集合称为 n 维空间第10页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四称 ( x, y ) 为空间两点 x 和 y 之间的距离设中两点间的距离公式第11页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四类似

4、地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义中邻域、区域等概念则称 中的点集为 中点 a 的 邻域。第12页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四三、二元函数的概念 f 称为对应规则或函数，f ( x , y ) 称为 f 在点 ( x , y )处的函数值。函数值的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作函数与选用的记号无关，如则称 f 是 D 上的二元函数, 记为 第13页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四类似地可定义三元及三元以上函数 n 元函数通常记为或简记为第14页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四一元函数与多元函数的概念

5、比较 一 元函数 y = f (x): 二元函数 y = f (x, y): n 元函数第15页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四例1 求 的定义域解所求定义域为第16页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四二元函数 的几何意义（如下页图）当 P ( x, y ) 取遍 D 上一切点时, 得到空间点集第17页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四二元函数的图形通常是一张曲面。第18页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四例如,单值分支:第19页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四四、二元函数的极限一

6、元函数极限回顾：如果在 的过程中， f (x) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x) 当 时的极限，记为二元函数的极限：如果在 的过程中 f (x, y ) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x, y ) 当 时的极限，记为第20页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四都有第21页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（1）定义中 的方式比 的方式复杂的多第22页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四例2 求证 证当 时，原结论成立

7、第23页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四例3 求极限 解其中第24页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四证例4 证明 不存在 （2）取此时，仍不能确定极限是否存在（1） P ( x , y ) 沿 x 轴趋于 ( 0 , 0 )，此时 y = 0 , x 0第25页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四例4 证明 不存在 证（3）取极限值随 k 的不同而变化，故极限不存在第26页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第27页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第28页，共

8、72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第29页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第30页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第31页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第32页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第33页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第34页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第35页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第3

9、6页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第37页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第38页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第39页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第40页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四确定极限不存在的常用方法：第41页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四求二元函数的极限常用的方法：（1）用定义验证其存在或不存在；（2）利用变量代换转化为一元函数的极限，再用一元函数中已有的方法；（3）消去分子分母中

10、极限为 0 的因子；（4）利用极限运算性质（与一元函数相似）；（5）利用函数的连续性；第42页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四解：例5：求极限第43页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四解：例6：求极限第44页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四解：例7：求极限第45页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四第46页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四五、二元函数的连续性一元函数连续性回顾：二元函数的连续性第47页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四 如果函数 f ( x,

11、y ) 在 D 的每一点都连续， 二元函数连续的三个要素则称函数 f ( x, y ) 在 D 上连续，或者称 f ( x, y ) 是 D 上的连续函数。第48页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四 二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多因为当 f ( x , y ) 无定义，所以在整个圆周 f ( x , y ) 间断。第49页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四例8 证明函数在(0,0)处连续解取故函数在(0,0)处连续.第50页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四例9 讨论函数在(0,0)的连续性解取其值随k的不同而变化，极限

12、不存在故函数在(0,0)处不连续第51页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四定义3 如果函数 f ( P ) 在 D 的每一点都连续，则称函数 f ( P ) 在 D 上连续，或者称 f ( P ) 是 D 上的连续函数。 n 元函数的连续性第52页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四（2）多元初等函数：由常数及不同自变量表达的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的多元函数叫多元初等函数（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域关于二元函数连续性的几点说明（1）一切一元基本初等函

13、数，作为一个二元或二元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。 不同自变量表达的一元基本初等函数第53页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四（4）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点处的极限。例解第54页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在两点（1）存在正数 M ，使得对于任意的点 P D ，均有第55页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四（二）介值定理 在有界闭区域 D 上连

14、续的多元函数 f ( P ) ，必取得介于最小值 m 和最大值 M 之间的任何值。即对任意的 c , m c M ,至少存在一点 P D ,使得：第56页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义第57页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四作 业习题 9 - 14(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(3) 7(1), 8第58页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四思考题第59页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四思考题解答不能.例取但是 不存在.因为若取第60页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四不存在.观察第61页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四观察不存在.第62页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四观察不存在.第63页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四观察不存在.第64页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四观察不存在.第65页，共72页，2022年，5月20日，17点36分，星期四观察不存在.第66页，共72页，2022年，5月20日，17点