高数 二重积分概念

1、高数 二重积分概念第1页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例3.解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.第2页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例3.某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?无条件极值:对自变量只有定义域限制第3页，共54页，2022年，5月2

2、0日，20点45分，星期四三、条件极值条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化第4页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如,故 故有第5页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.第6页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四推广

3、拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数下的极值.在条件第7页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例5.要设计一个容量为则问题为求x , y ,令解方程组解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 第8页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为第9页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星

4、期四例6：已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示:设 C 点坐标为 (x , y),则 第10页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.第11页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四3.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面第12页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四令解此方程组得唯一

5、驻点由实际意义最小值存在 ,故第13页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组, 得故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 第14页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重 积 分 第15页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底： xoy 面上的闭区域

6、 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 二重积分的概念与性质 第一节第16页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第17页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四4)“取极限”令第18页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设

7、D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .第19页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量第20页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 第21页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四二、二重积分的定义及可积性定义

8、:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 第22页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四如果 在D上可积,与划分D的分割方法无关也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作曲顶柱体体积:平面薄板的质量:对二重积分定义的说明：第23页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四（3） 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义

9、在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第24页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四三、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 第25页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四特别, 由于则5. （比较定理）若在D上6. （估值定理）设D 的面积为 ,则有第26页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四7.(二重积分的中值定理)证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点

10、在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此第27页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例1. 比较下列积分的大小:其中解: 积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 第28页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例3. 估计下列积分之值解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2D第29页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四对称性：1 设D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 2、当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在

11、闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有第30页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四3、当区域关于 原点对称, 函数关于变量 x、y 同时有奇偶性时, 仍有类似结果.4、当区域关于y=x对称, 则第31页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的第32页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算第33页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四第二节二重积分的计算法 第九章 第

12、34页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则第35页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第36页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例1. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法1. 将D看作

13、X型区域, 则解法2. 将D看作Y型区域, 则作草图、选择类型、确定上下限-后积先定限、限内化条线第37页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解1: 及直线1第38页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解2: 为计算简便, 后对 y 积分,及直线则 第39页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例3. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行, 第40页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四说

14、明:选择积分序的原则：先积分的容易，并能为后积分创造条件；积分域的划分，块数越少越好第41页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例4. 交换下列积分顺序解: 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则第42页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例5. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,第43页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四二、利用极坐标计算二重积分则除包含边界点的小区域外,小区域的面积及射线 =常数, 分划区域D 为在极坐标系下, 用同心圆 =常数第44页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四对应有

15、在内取点即第45页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四则1、极点在边界外注意：积分域的边界曲线用极坐标表示如何确定上下限？第46页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四2、极点在边界上(1)(2)第47页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四3、极点在边界内第48页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四何时选用极坐标？积分域D形状：圆域、环域、扇域、环扇域被积函数形式：第49页，共54页，2022年，5月20日，20点45分，星期四例6. 计算其中解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角由于故坐标计算.第50页，共54页，2022年，5月20日，20点45分