空间向量高考题

1、空间向量高考题1如下列图，在长方体ABCDABCD中,AB=4,AD=3,AA=2.E、F分别是线段AB、11111BC上的点，且EB=FB=1.(I求二面角C-DE-C的正切值；11求直线EC与FD所成角的余弦值.1112、.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,AB=8,AD=4西，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60.ACI求四棱锥P-ABCD的体积；II证实PA丄BD.4、如图，a丄B,aGB=l,AGa,BGB，点A在直线l上的射影为A,点B在直1线l上的射影为B,AB=2,AA=1,BB，求：111I直线AB分别与平面a,B所成的角的大小；11二面角A-AB

2、-B的11大小.证Ta丄B,aCB=l,AA丄l,BB丄l,AAA丄B,BB丄a,1111那么ZBAB,ZABA分别是AB与a和B所成的角.11RtABBA中，BB二旋，AB=2,AsinZBAB二虫月2,111ZBAB=45.M_1AsinZABA二02,AZABA=30RtAAAB中，AA=1,AB=2,故AB与平面a,B所成的角分别是45,30.（II）如图，建立坐标系，那么A0,0,0，A0,0,1，B0,1,0，B庞，1,0.11在AB上取一点Fx,y,z，那么存在teR,使得乔=t忑，即x,y,z1二t（麗丄T）,点F的坐标为（Jt,t,1t）.要使坷刃丄肿，须坷刃心兀。，即逅，t

3、,1t庞，1,1=0,2t+t（11）=0,解得t=4,.点F的坐标为（4罕4）.4启=（4罕4）.设E为AB的中点，那么点E的坐标为0,丫2.44前忑=（！厂1丄）.（屈丄一1=丄一丄一丄=q又444244AZAFE为所求二面角的平面角.乔葫又cosZAFE1I13_十_S1616目丄=丄=史二面角J3AABB的大小为arccos.115、如图，在直三棱柱血聒心中严二胆,、耀分别为昭、血的中点.证实：ED为异面直线*耳与的公垂线；11设皿1二灵旋求二面角的大小I如图，建立直角坐标系。一砂，其中原点。为/C的中点.ED=(W)网=(0,0,2c),ED*西二0?总。丄閃又加i=(-2a,0,2

4、c)购M=0,.Ed丄ac所以跖是异面直线朋1与的公垂线.1II不妨设处小那么肌型皿d出（1Q幼血=（1厂1础石=（1丄0）,両=0辺，葩石二丽巫二0即芳丄AB,BC丄吐4又貝序门孔4二卫.舵丄面厘/D又WXhDCp丄1）,C（1口0）sc=（-1Q-1）远=（-1口1）瓦dECAS=0,SCJD=0即EC丄AHEC丄風？又AEBD=E，-眈丄面CADc阳远,BC)=1即得也和衣D的夹角为6。,|EC|EC|2所以二面角为时I证实：面PAD丄面PCD；II求人。与PB所成的角；III求面AMC与面BMC所成二面角的大小.证：由于PAIAD,PA丄AB,AD丄AB，以A为坐标原点,AD长为单位长

5、度，如图建立空间直角坐标系，那么各点坐标为丄A(0,0,0),B(0,2,0),C(l,l,0),D(l,0,0),P(0,0,l),M(0,l,空).证实：因乔=(0,0,1),门口=(0,1,0),故乔门口=0,所以AP丄DC.又由题设知AD丄DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC丄面PAD.又DC在面PCD上,故面PAD丄面PCD.II解：因恥=(1,1,0),再=(0,2,1),故|血|二旋，|PEI二厉，血PB=2，所以cos疋PB=PS=T由此得AC与PB所成的角为arccos孑III解：在MC上取一点N(x,y,z),那么存在入GR,使丽=入莎，TOC o 1

6、-5 h z_丄丄NC=(lx,ly,z),二(1,0,2),.x=l入，y=l,z=2入._4要使AN丄MC只需殛莎=0,即x-空z=0,解得入二.412_可知当入=珀寸,N点坐标为(匸，1,),能使旋融=0.此时，丿M=(W,1,E),曲=(M,-1,E),有站MC=0.由MD=o,旳ZMC=0得AN丄MC,BN丄MC.所以ZANB为所求二面角的平面角._邑迺_4.|殛I=T,|兩|=T,旋.顽AN-B_22cos丿，*=占丨故所求的二面角为arccos(-3).7、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PD丄底面ABCD,AD二PD,E、F分别为CD、PB的中点.I求证：EF丄

7、平面PAB；II设AB=TBC，求AC与平面AEF所成的角的大小.直角坐标系.证：以D为坐标原点,DA的长为单位,建立如下图的(I证实:设Ea,0,0其中a0,那么C2a,0,0，A0,1,0B2a,l,0，P0,0,1，F丄丄a,m.丄丄丽二0,空，空，冋二2a,1,1，石二2a,0,0.丽西=0,EF丄PB.AB应月=O,EF丄AB又PB匸平面PAB,AB匸平面PAB,PBGAB二B.EF丄平面PAB.42(II解：由AB二旋BC,得a=2.可得M二旋，-1,0，二旋，1,-1cosC严召=|且F月|二,异面直线AC、PB所成的角为arccos6.忑11乔二，-空，刃.乔冋=0,PB丄AF

8、.又PB丄EF,EF、AF为平面AEF内两条相交直线,JT儿甌2平面扯T所成的角对二2即AC与平面AEF所成的角为arcsin6.8.如图，四棱锥PABCD,PB丄AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120.I求点P到平面ABCD的距离；II求面APB与面CPB所成二面角的大小.I解：如图，作PO丄平面ABCD,垂足为点0.连结OB、0A、0D,0B与AD交于点E,连结PE.AD丄PD,AD丄0B,PA=PD,.0A=0D,于是0B平分AD,点E为AD的中点，所以PE丄AD.由此知ZPEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，ZPEB=120-,ZPE0=60-.由可求得PE=*,若33P0=PEsin60二占X=2,即点P到平面ABCD的距离为2.II：如图建立直角坐标系，其中0为坐标原点,x轴平行于DA.333333P(0,0“)，B0,0，PB中点G的坐标为0,，心，连结AG.TOC o 1-5 h z7333羽3