初中数学教案-平行四边形

1、初中数学平行四边形一、【学问点汇总】1平行四边形的判定和性质：性 质判 定平行四边形对边平行；平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补；平行四边形对角线相互平分两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；aa 行四边形的面积S a hh是a边上的高两组对角分别相等的四边形；对角线相互平分的四边形 行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点留意：平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积如图1，拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图 2，平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。矩形的判定和性质判 定性 质

2、矩形具备平行四边形的性质有一个角是直角的平行四边形是矩矩形四个角都是直角 形矩形两条对角线相等有三个角是直角的四边形是矩形矩形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有对角线相等的平行四边形是矩形两条对称轴矩形面积Sab(a、b 分别表示矩形的长和宽)菱形的判定和性质判 定性 质菱形具备平行四边形的性质菱形四边都相等一组邻边相等的平行四边形是菱菱形两条对角线相互垂直且每条对角线平分一形组对角四条边都相等的四边形是菱形菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它对角线相互垂直的平行四边形是菱有两条对称轴形菱形面积 S a h1l l l 、l分别表示菱正方形的判定和性质a形两对角线的长2 1212判 定性

3、 质有一个角是直角且一组邻边相等的平 方形具备平行四边形性质行四边形是正方形正方形既具备矩形特别性质，又具备菱形特别一组邻边相等的矩形是正方形性质，即：四边都相等；四个角都是直角；两条 个角是直角的菱形是正方形对角线相互垂直平分且相等，每条对角线平分一1 / 19 角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形梯形的判定和性质类别判 定组对角；既是中心对称图形，又是轴对称图形， 它有 4 条对称轴面积Sa2 a 表示正方形的边长性 质梯形一组对边平行而另一组对边不平行梯形中位线平行于两底且等于两底和梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形的一半1梯形面积S abh mha、b2是梯形的上下底，

4、h 是高，m 是中位线等腰梯形具有一般梯形的性质两腰相等的梯形是等腰梯形等腰梯形两腰相等等腰梯同一底上两角相等的梯形是等腰 等腰梯形同一底上两角相等形梯形 腰梯形对角线相等对角线相等的梯形是等腰梯形 腰梯形是轴对称图形直角梯有一个角是直角的梯形是直角梯 角梯形具有一般梯形的性质形形直角梯形的一腰垂直于底边 6梯形中的常用关心线：7. 平行线等分线段定理1假设一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等2经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边3经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰 8三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

5、梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半2 / 19初二考法平行四边形【题型一】边长，面积，周长1、如图， E 、 F 分别是ABCD的边 AB 、CD 上的点， AF 与 DE 相交于点 P ， BF 与CE 相交于AEB点Q ，假设 SAPD15 cm 2 ， Scm 2 ，BQCPQ那么阴影局部的面积为。答案：40DFC第 1 题图2、如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O ，点 E 是CD 的中点，ABD 的周长为 16cm，那么DOE 的周长是cmADOE答案 8BC第 2 题图3如图，ABCD 的对角线 BD=4cm， 将 ABCD 绕其对称中心 O 旋转

6、 180，那么点D 所转过的 路径长为.AD答案：2 cmOBC第 3 题图【题型二】证明三角形全等，证明平行四边形，证明线段的大小关系，证明线 段间的位置关系如图，点E、F、G 分别 是ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点求证：BEFDGH证明：四边形ABCD 是平行四边形AB=CD，AD=BC，B=D又E、F、G、H 是 AB、BC、CD、DA 中点HD=BF，BE=CGBEFDAHD EGBFC，如图， AB 、CD 相交于点O ， AC DB ， AO = BO ，E 、F 分别是OC 、3 / 194 / 19OD 中点。求证：四边形 AFBE是平行四边形。答案：ACBD C=

7、DCAO=DBOAO=BO AOCBOD CO=DO E、F11分别是 OC、OD 的中点 OF=边形。OD= OC=OE 。由 AO=BO、EO=FO 四边表 AFBE 是公平四22矩形【题型一】边长，面积，周长1、 如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，那么图中五个小矩形的周长之和为DC第 5 题图【答案】282、在矩形 ABCD ， AB 6 , BC 8 ，将矩形折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF ，在开放，求折痕 EF 的长OE解： AB 6 , BC 8 由勾股定理可得 AC 10AD依据题意有 AF CF ，设 AF CF x ， BF 8 x由勾股定理 A

8、B2 BF 2 AF 2 ，即62 (8 x)2 x2FC 25x 25解得4BCF4AFCEAFCES CF AB 25 6 75S42 ， 1 AC EF2EF 152提示：对角线相互垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半那么四边形EFGH 的面积是 3、如图，四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，E、F、G、H 分别是各边的中点，假设 AC=8，BD=6，答案:中位线定理,12【题型二】证明三角形全等，证明矩形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1如图，点E、F、G 分别 是ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点求证：BEFDGH证明：四边形ABCD 是平行四边形AB=CD，

9、AD=BC，B=D又E、F、G、H 是 AB、BC、CD、DA 中点HD=BF，BE=CGBEFDDAHEGBFC14、矩形ABCD 和点P，当点P 在BC 上任一位置如图1所示时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P 分别在图2、图3中的位置时，PA2、PB2、PC2 和 PD2 又有怎样的数量关系请你写出对上述两种状况的探究结论，并利用图2证明你的结论答：对图2的探究结论为对图3的探究结论为 ；答案：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2图 2 2 分，图 3 1 分证明：如图 2 过点P 作 MNAD 于点M，交BC 于点 N，由于 ADBC，MNAD，所以MNB

10、C 在 RtAMP 中，PA2=PM2+MA2在 RtBNP 中，PB2=PN2+BN2 在 RtDMP 中，PD2=DM2+PM2 在 RtCNP 中，PC2=PN2+NC2所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2 PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2由于 MNAD，MNNC，DCBC，所以四边形MNCD 是矩形所以 MD=NC，同理AM = BN，所以 PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2 即 PA2+PC2=PB2+PD23.如图，平行四边形 ABCD 中，AF 平分DAB 交CD 于 N ，交 BC 的延长线于 F ，DE AF ， 交 A

11、B 于 M ，交CB 延长线于 E ，垂足为O ，试证明： BE CFAMOND5 / 19EBCF6 / 19证明： 四边形 ABCD 为平行四边形 ADBC ， ABCD ， AB CD DAF F ， ADE E ， EDC AMD DE AF ， AOM AOD 90AF 平分DAB ， DAF BAF OA OA AOM AOD ASA ADM AMD ， BAF F ， EDC E AB BF ， CD CE BF CE BE CF10 如图，点 M ，N 分别在平行四边形 ABCD 的边 BC ，AD 上，且 BM DN ，ME BD ，NF BD ，垂足分别为 E ， F ，求

12、证： MN 与 EF 相互平分证明：连接 EN ， MF四边形 ABCD 是平行四边形 BCAD ， CBD ADB MEF NFE 90， MEB NFD 90 MENF BM DN BME DNF ( AAS) ME NF四边形 EMFN 是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 MN 与 EF 相互平分ANEFNAEFDDBMCBMC菱形题型一【边长，边长上的高，面积，周长，坐标】1、如图，两条笔直的大路l 、l相交于点O，村庄 C 的村民在大路的旁边建三个加工厂 AB、12D，ABBCCDDA5 公里，村庄C 到大路l 的距离为 4 公里，那么村庄C 到大路l 的12l2l1

13、距离是A3 公里 B4 公里C5 公里 D6 公里【答案】B如图,菱形 ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且AC8，BD6，过点O 作 OHAB，垂足为 H，那么点O 到边AB 的距离OH12【答案】：5菱形 ABCD 中， DAB 120 ，假设它的一条对角线长为12 cm ，求菱形 ABCD 的边长解：DDCACAO假设对角线 AC 12 cm ，BB如 图四 边 形 ABCD 为菱形 ， 且 DAB 120 DAC BAC 60 那么ADC 为等边三角形菱形 ABCD 的边长为12 cm假设对角线 BD 12 cm ，如图 四边形 ABCD 为菱形，且DAB 120 DAC BAC

14、 60 那么ADC 为等边三角形又 OD OB OD OB 6 cm设OA x ， AD 2x ，由勾股定理可得(2x)2 x2 62 ，解得 x 23 ， AD 43 cm综上所述：菱形 ABCD 的边长为12 cm 或4 3 cm【题型二】证明三角形全等，证明菱形 ，证明线段的大小关系， 证明线段间的位置关系1、如以下图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC 交 AB 于点 E，DFAB 交 AC 于点F，求证：ADEF【对角线相互平分】7 / 19 8 / 19证明：DEAC，DFAB，四边形AEDF 为平行四边形 又1=2，而2=3，1=3，AE=DE AEDF 为菱形ADEF2、如图

15、 4，AC 是菱形ABCD的对角线，点E、F 分别在边AB、AD 上，且AE=AF 求证：ACEACF对角线平分对角AFDEBC图 4【答案】四边形 ABCD 为菱形BAC=DAC 又AE=AF，AC=ACAB, DEACEACFSAS3.如图，ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，过点 A 作 AEBC ，过点 D 作 DE与 AC、AE 分别交于点O 、点 E ，连接 EC 求证： AD EC ;当BAC Rt 时，求证：四边形 ADCE 是菱形；【重点；三种判定】在2的条件下，假设 AB AO ，求tan OAD 的值.AEOBDC第 22 题【答案】.证明：(1)解法 1：由于DE/

16、AB,AE/BC,所以四边形ABDE 是平行四边形，所以 AE/BD 且AE=B D，又由于 AD 是边 BC 上的中线，所以 BD=CD，所以 AE 平行且等于CD，所以四边形ADCE 是平行四边形，所以AD=EC.解法 2： DE / / AB, AE / / BC,四边形ABDE是平行四边形， B EDC AB DE又 AD是边BC上的中线 ABD EDC (SAS ) BD CD AD ED(2)解法 1：证明 BAC Rt, AD 是斜边 BC 上的中线 AD BD CD又 四边形 ADCE 是平行四边形四边形 ADCE 是菱形解法 2证明： DE / / AB, BAC Rt DE

17、 AC又 四边形 ADCE 是平行四边形四边形 ADCE 是菱形解法 3证明： BAC Rt，AD是斜边BC上的中线 AD BD CDAE BD AD EC四边形 ABDE是平行四边形CD又 AD CD CE AE 四边形 ADCE 是菱形正方形题型一【边长，面积，周长】5、如图，正方形 ABCD中，AB6，点 E 在边CD 上，且 CD3DE将ADE 沿 AE 对折至AFE， 延长 EF 交边BC 于点G，连结 AG、CF以下结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；S FGC其中正确结论的个数是( )A1B2C3D4【答案】C6、如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O 、O是其中两个

18、正方形的中心，那么阴12影局部的面积是.O2O1【答案】27、正方形 ABCD的边长为 4，M、N 分别是BC、CD 上的两个动点，且始终保持 AMMN当 BM= 时，四边形ABCN的面积最大【答案】2;8、如图，边长为 1 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转 45 度后得到正方形 AB”C” D” ，边 B”C”与 DC 交于点O，那么四边形 AB”OD 的周长是 A 22B 3C 2D12答案: A【题型二】证明三角形全等，证明菱形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为O，E 是 OB 上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 FO

19、E=OF 肯定成立吗肯定成立不成立证明： 四边形ABCD 是正方形，AOE=DOF=90，AO=DO正方形的对角线垂直平分且相等 又DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90EAO=FDOAEO DFOOE=OF答案：A12、四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG1求证：AE=CG；2观看图形，猜测 AE 与 CG 之间的位置关系，并证明你的猜测1证明：如图，AD=CD，DE=DG，ADC=GDE=90， 又CDG=90+ADG=ADE，ADECDGSASAE=CG2猜测：AECG证明：如图，设AE 与 CG 交点为M，AD 与 CG 交点为NADECDG，DAE=DC

20、G10 / 19 11 / 19又ANM=CND，AMNCDNAMN=ADC=90AECG梯形题型一【边长，面积，周长，角度】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，假设B=60，ACAB，那么DAC=答案：30如图，梯形ABCD中，ABCD，点 E、F、G 分别是BD、AC、DC 的中点.两底差是 6，两腰和是 12，那么EFG 的周长是A.8B.9C.10D.12【答案】B【题型二】证明三角形全等，证明梯形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系GAFDABC中，点D、E、F 分别是线段AC、BC、AD 的中点，连FE、ED，BF 的延长线交ED 的延长线于点G，联结GC。求证：四边形CE

21、FG为梯形。BEC答案：证明：(1)点D、E 分别是线段AC、BC 的中点，DE/AB，1分A=FDG，ABF=FGDF 是线段AD 的中点，AF=FDABFDGF，BF=FGBF FG 1BEE 为BC 中点，BC=EC， 1ECBEBF EC FGEF/CG而GF 与CE 交于点A，四边形CEFG 为梯形如图，梯形 ABCD 中，AB/CD，AD=BC，延长 AB 到E，使 BE=DC，连结 AC、CE.求证 AC=CE.答案：证明:由于AB/CD,BE=DC,且BE 在AB 的延长线上,所以CD/BE,CD=BE,所以四边形DBEC 是平行四边形,所以CE=DB,由于 AD=BC,所以梯

22、形ABCD 是等腰梯形,所以 AC=BD, 所以 AC= C E.)8. 如图，四边形ABCD 是梯形，ADBC，A=90，BC=BD，CEBD，垂足为E.1求证：ABDECB；2假设DBC=50，求DCE 的度数.答案：证明：1ADBC，ADB=EBC. 又CEBD，A=90，A=CEB.在ABD 和ECB 中，A CEBADB EBCBD CBABDECB.2解法一：DBC=50，BC=BD，EDC=65. 又CEBD，CED=90.DCE=90-EDC=25.解法二：DBC=50，BC=BD，BCD=65. 又BEC=90，BCE=40.DCE=BCD-BCE=25.初三考法题型一【一次

23、函数和四边形结合的问题】1、如图，在平面直角坐标系中，直线 L2:y=-1/2x+6 与 L1:y=1/2x 交于点 A，分别与 x 轴、y 轴交于点 B、C。1分别求出点 A、B、C 的坐标；2假设 D 是线段 OA 上的点，且COD 的面积为 12，求直线 CD 的函数表达式；3在2的条件下，设 P 是射线 DC 上的点，在平面是否存在点 Q，使以 O、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形？假设存在，直接写出点 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由。2、点 A(x,y)在第一象限，且 x+y=10，点 B(4,0)时OAB 的面积为 S (1)求 S 与 x 的函数关系式，直接写出 x 的取值围

24、，并画出函数的图象； (2)OAB 的面积为 6 时，求 A 点的坐标；题型二【二次函数和四边形结合的问题】例 1.(义乌市) 如图，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交A、B 两点A 点在B 点左侧， 直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为 21求A、B 两点的坐标与直线AC 的函数表达式；2P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；3点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出全部满足条件的 F 点坐标；假设不存A在，请说明理由例 1.

25、解：1令 y=0，解得 x1 1或 x2 3 A-1，0B3，0；将 C 点的横坐标x=2 代入 y x2 2x 3 得 y=-3，C2，-3直线 AC 的函数解析式是y=-x-12设P 点的横坐标为x-1x2那么P、E 的坐标分别为：Px，-x-1，E(x, x2 2x 3)P 点在E 点的上方，PE= (x 1) (x2 2x 3) x2 x 219当 x 时，PE 的最大值=243存在 4 个这样的点F，分别是 F (1,0), F(3,0), F (4 7，0), F(4 7,0)1234练习 1.(省试验区) 23如图，对称轴为直线x 72A6，0和B0，41求抛物线解析式与顶点坐标

26、；的抛物线经过点y7x 22设点E x ， y 是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系B(0,4)式，并写出自变量 x 的取值围；当平行四边形OEAF 的面积为 24 时，请推断平行四边形OEAF 是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？假设存在，求出点E 的坐标；假设不存在，请说明理由OEFxA(6,0)解：1令 y=0，解得 x1 1或 x2 3 A-1，0B3，0；将 C 点的横坐标x=2 代入 y x2 2x 3 得 y=-3，C2，-3直线 AC 的函数解析式是y=-

27、x-12设P 点的横坐标为x-1x2那么P、E 的坐标分别为：Px，-x-1，E(x, x2 2x 3)P 点在E 点的上方，PE= (x 1) (x2 2x 3) x2 x 214 / 19 19 / 19当 x 19时，PE 的最大值=243存在 4 个这样的点F，分别是 F (1,0), F(3,0), F (4 7，0), F(4 7,0)771234练习 1.解：1由抛物线的对称轴是x 代入上式，得，可设解析式为y a(x )2 k 把A、B 两点坐标227a(6 2)2 k 0,2257a(0 )2 k 4.2解之，得a , k .362725725故抛物线解析式为 y (x )2

28、 ，顶点为(, ).326262点 E(x, y) 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合2725y(x)2，326y0,y 表示点E 到 OA 的距离OA 是 OEAF 的对角线，17 S 2S 2 OA y 6 y 4()2 25 OAE22由于抛物线与 x轴的两个交点是1，0的6，0，所以，自变量 x的取值围是 1 x67依据题意，当S = 24 时，即4(x )2 25 24 271化简，得(x )22.解之，得 x41 3, x2 4.故所求的点E 有两个，分别为E 3，4，E 4，412点 E 3，4满足OE = AE，所以 OEAF是菱形；1点 E 4，4不满足OE = AE，所以

29、 OEAF 不是菱形2当 OAEF，且 OA = EF 时， OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是3，3而坐标为3，3的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使 OEAF 为正方形题型三【动点和四边形结合的问题】如图，在直角梯形ABCD 中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从A 开场沿AD 边向D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q 从点C 开场沿CB 边向B 以 3cm/s 的速度运动P、Q 分别从点A、C 同时动身，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停顿运动，设运动时间为 ts1当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？2当 t

30、 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？3当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？分析：1四边形PQCD 为平行四边形时PD=CQ2四边形 PQCD 为等腰梯形时QC-PD=2CE3四边形PQCD 为直角梯形时QC-PD=EC全部的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解：1四边形 PQCD 平行为四边形PD=CQ24-t=3t 解得：t=6 即当t=6 时，四边形 PQCD平行为四边形2过D 作DEBC 于E 那么四边形ABED 为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四边形PQCD 为等腰梯形QC-PD=2CE 即 3t-24-t=4 解得：t=7

31、s即当 t=7s时，四边形 PQCD 为等腰梯形3由题意知：QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t-24-t=2 解得： t=6.5s即当t=6.5s时，四边形PQCD 为直角梯形如图，ABC 中，点O 为 AC 边上的一个动点，过点O 作直线MNBC，设MN 交BCA 的外角平分线CF 于点F，交ACB 角平分线CE 于 E1试说明EO=FO；2当点O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论；3假设 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜测ABC 的外形并证明你的结论分析：1依据 CE 平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再依据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO2利用矩形的判定解答，即有一个角是直角的平行四边形是矩形3利用条件与正方形的性质解答解答：解：1CE 平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF2当点 O 运动到AC 中点处时，四边形 AECF 是矩形如图 AO=CO，EO=FO，四边形 AECF 为平行四边形，CE 平分ACB，ACE= ACB，同理，ACF= ACG，ECF=ACE+ACF= ACB+ACG