北师大版八年级上册数学课件（第1章 勾股定理）

1、第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时 认识勾股定理1课堂讲解勾股定理勾股定理与图形的面积2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？A、B、C的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ABC让我们一起探索这个古老的定理吧！1知识点勾股定理知1导 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的. 弦股勾图1知1导ABCABC(图中每个小方格代

2、表一个单位面积)图2-1图2-2(1)观察图2-1 正方形A中含有 个 小方格，即A的面积 是 个单位面积.正方形B的面积是 个单位面积.正方形C的面积是 个单位面积.99918知1导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2 分“割”成若干个直角边为整数的三角形=18(单位面积)S正方形c知1导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(2)在图2-2中，正方形A，B， C中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的

3、正方形的面积.知1导ABCacbSA+SB=SC观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？a2+b2=c2知1讲a2+b2=c2acb 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦 勾股定理(毕达哥拉斯定理)知1讲定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么a2b2c2.数学表达式： 在RtABC中，C90，ABc，ACb， BCa，则a2b2c2.知1讲 例1 在RtABC中，C90，AB10 cm， BC8 cm，求AC的长 解：由题意易知，AC2BC2AB2， 所以AC2AB2BC210

4、28236. 所以AC6 cm.总 结知1讲 利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二代：代入a2b2c2；三化简知1练 1 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b， 斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是() Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2C知1练 2 (中考淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正 方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段 AB的长度为() A5 B6 C7 D25A2知识点勾股定理与图形的面积知2讲 例2 新疆如图，分别以直角三角形的三边为

5、直径 作半圆，其中两个半圆的面积S1 ， S2 2，则S3_知2讲导引：如图，由圆的面积公式得 所以c225，a216. 根据勾股定理，得 b2c2a29. 所以 总 结知2讲 与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理知2练 1 如图，字母B所代表的正方形的面积是() A12 B13 C144 D194C知2练 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的 面积分别为3和4，则b的面积为() A16

6、B12 C9 D7D第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理第2课时 勾股定理的验证与应用1课堂讲解勾股定理的验证 勾股定理的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.1知识点勾股定理的验证知1导做一做为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后得到图2、图3.图1图2图3知1导 （1）将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式 表示出来； （2） 图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？ 你们有哪些表示

7、方式？与同伴进行交流. （3）你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？知1讲常用方法：通过拼图法利用求面积来验证这种 方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段， 以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的 知1讲2用拼图法验证勾股定理的思路： (1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空 隙，面积不会改变；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形写出 图形面积的表达式找出等量关系恒等变形 推导结论知1讲议一议观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.知1讲 例1 如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a， b，斜边长为c的

8、全等的直角三角形和一个边长为 c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定 理正确性的图形 (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)说明勾股定理的正确性知1讲导引：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不 重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形解：方法一(补拼法)：(1)如图. (2)因为大正方形的面积可以表示为(ab)2， 也可以表示为c24 ab， 所以(ab)2c24 ab， a2b22abc22ab.知1讲 所以a2b2c2， 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方方法二(叠合法)：(1)如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为c2， 也可以表示为 ab4(ba)2，

9、 所以c2 ab4(ba)2，c22abb22aba2. 所以a2b2c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方总 结知1讲 勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的知1练 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如 图所示的图形，则下列结论中正确的是() Ac2a2b2 Bc2a22abb2 Cc2a22abb2 Dc2(ab)2A2知识点勾股定理的应用知2导 例2 我方侦察员小王在距

10、离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.知2导 由于小王距离公路400m，因此C是直角，这样就可以由勾 股定理来解决这个问题了.解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2， 也就是5002=BC2+4002, 所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m， 那么它1h行驶的距离为300660=108000（m）, 即它行驶的速度为108km/h.知2讲1.

11、 勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角三 角形)与数量关系(三边关系)有机结合起来；在几何及 日常生活中都有着广泛的应用2运用勾股定理进行计算分三步：第一步：注意应用的 前提，即看是不是直角三角形；第二步：分清求解的 对象，即看是求直角边长，还是斜边长或者两种均有 可能；第三步：运用勾股定理进行计算知2讲 例3 实际应用题两棵树之间的距离为8 m，两棵 树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的 树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多 少米？导引：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直 角三角形，再利用勾股定理求解知2讲解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别

12、为AB8 m，CD2 m， 两棵树之间的距离BD8 m， 过点C作CEAB，垂足为E，连接AC. 则BECD2 m，ECBD8 m， AEABBE826(m) 在RtACE中，由勾股定理，得AC2AE2EC2， 即AC26282100，所以AC10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m知2练 如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚() A0.2 m B0.4 m C2 m D4 mC知2练 2 (中考安顺)如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行() A8 m B1

13、0 m C12 m D14 mB 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理 它一般都经过以下几个步骤：拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系恒等变形导出勾股定理第一章 勾股定理1.2 一定是直角三角形吗1课堂讲解由三边关系确定直角三角形勾股数2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升问题1：在一个直角三角形中三条边满足什么样 的关系呢？答：在一个直角三角形中两直角边的平方和 等于斜边的平方.问题2：如果一个三角形中有两边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是否就是直 角三角形呢？1知识点由三边关系确定直角三角形

14、知1导做一做 下面的每组数分别是一个三角形的三边长a, b,c, 而且都满足a2+b2=c2：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25. 分别以每组数为三边长画出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流.知1讲直角三角形的判定：如果三角形的三边长a，b， c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形知1讲2利用边的关系判定直角三角形的步骤：(1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方 相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对 的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三 角形知1讲 例1 一个零件的形状如图1

15、所示，按规定这个零 件中A和DBC都应为直角.工人师傅量得 这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符 合要求吗？图2图1知1讲 解：在ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以ABD是直角三角形，A是直角. 在BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以BCD是直角三角形，DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.知1讲 例2 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (1)在ABC中，A25，C65； (2)在ABC中，AC12，AB20，BC16； (3)一个三角形的三边长a，b，c满足b2a2c2. 导引：判断一个三角形是不是直角三角形，如果条件与角 相关，

16、则考虑用定义判断，如果条件与边相关， 则考虑用边的关系判断第(1)题可以直接根据直 角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依据边的关 系判断知1讲 解：(1)在ABC中，因为ABC180， 所以B180256590. 所以ABC是直角三角形 (2)在ABC中，因为AC2BC2122162202AB2， 所以ABC是直角三角形，且C为直角 (3)因为三角形的三边长满足b2a2c2，即b2a2c2， 所以此三角形是直角三角形，且b是斜边长警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是否为直角三角形 外，还要考虑是否为等腰三角形总 结知1讲 判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定义，即如果

17、已知条件与角度有关，可借助三 角形的内角和判断；(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有 关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看 是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方知1练 (中考淮安)下列四组线段中，能组成直角三角形的 是() Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4 Ca2，b4，c5 Da3，b4，c51D知1练 3 如图，每个小正方形的边长均为1，则ABC是() A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形A2知识点勾股数知2讲1. 勾股数：满足a2b2c2的三个正整数，称为勾股数 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17； 7，24，25

18、；9，40，41；.知2讲2判断勾股数的方法： (1)确定是不是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方3易错警示：勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方知2讲 例3 下面四组数中是勾股数的一组是() A6，7，8 B5，8，13 C1.5，2，2.5 D21，28，35导引：根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正 整数a，b，c称为勾股数 A627282，不是勾股数，故错误； B5282132，不是勾股数，故错误； C1.5和2.5不是整数，所以不是勾股数，故错误； D212282352

19、，是勾股数，故正确 D 总 结知2讲 确定勾股数的方法： 首先看这三个数是不是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度知2讲例4 观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中 abc. (1)试找出它们的共同点，并说明你的结论； (2)当a21时，求b，c的值3，4，53242525，1224，25722422529，40，4192402412a，b，ca2b2c2知2讲导引：只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就 需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一

20、般的思想来解答 解： (1)各组数的共同点： 各组数均满足a2b2c2； 最小数a是奇数，其余的两个数b，c是连续的 正整数； 最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和知2讲 由以上特点可猜想并说明这样一个结论： 设x为大于1的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和， 即x2y(y1)，则x，y，y1就能构成一组勾股数 理由：因为x2y(y1)(x为大于1的奇数)， 所以x2y2y(y1)y2y22y1(y1)2. 所以x，y，y1是一组勾股数(2)运用以上结论，当a21时，212441220221. 所以b220，c221. 总 结知2讲 寻找与大于且等于3的奇数组成勾股数的一种方法： 先选一

21、个大于1的奇数，然后把这个数的平方写成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，如4522 0251 0121 013，则45，1 012，1 013就是一组勾股数，运用此法可以得到许多组勾股数.知2练 1 下列各组数中，不是勾股数的是() A5，12，13 B7，24，25 C8，12，15 D3k，4k，5k(k为正整数)C如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为 勾股数.第一章 勾股定理1.3 勾股定理的应用1课堂讲解勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的应用勾股定理及

22、直角三角形的判定的实际应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1、勾股定理的内容是什么？2、勾股定理的逆定理是什么？复习提问1知识点勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的应用知1导如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食 物， 沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到 点B沿圆柱侧面画出几条路线， 你觉得哪条路线最短呢？知1导（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点 A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧 面爬

23、行的最短路程是多少？知1讲求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法： 先将圆柱的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可知1讲 例1 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面 周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁到蜂蜜的最短路 线长为_15 cm知1讲 导引： 化曲为直，即将圆柱侧面适当展开成平面图形， 再结合轴对称的知识求解具体过程如下： 如图，作CDFA于D，作A关于EF的对称点A， 连接AC，与EF交于B，则ABC为最短路线 由题意知DC

24、9 cm，FD8 cm，FA4 cm， 在RtADC中， AC2AD2DC2(FAFD)2 DC2(48)292225152， 故AC15 cm. 因为ABBCABBCAC， 所以最短路线长为15 cm.2知识点勾股定理及直角三角形的判定的实际应用知2讲1.求长方体(或正方体)表面上两点间的最短路线长的方法： 先将长方体(或正方体)的表面展成平面图形，展开时一 般要考虑各种可能的情况在各种可能的情况中，分别 确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求 其长度，长度最短的路线为最短路线知2讲 例2 探究题如图，长方体的高为3 cm，底面是 正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从A处出 发

25、，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最 短路线的长为() A4 cmB5 cm C6 cm D7 cmB知2讲导引： 考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情 况，分类讨论求解如图，连接AC.在图中， AC2(22)23225；在图中，AC222(3 2)229.因为2925，所以蚂蚁爬行的最短路线 的长为5 cm.知2练 如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁沿正方体的 表面从一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是() A2 B3 C4 D5D知2导做一做 李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别 垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务

26、吗？（2）李叔叔量得边AD长是30cm， 边AB长是40cm,点B,D之间的距 离是50cm,边AD垂直于边AB吗?（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验 边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？1. 在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首 先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把 实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角 三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解2. 在日常生活中，判断一个角是否为直角时，除了用三 角板、量角器等测量角度的工具外，还可以通过测量 长度，结合计算来判断知2讲知2讲 例3 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，

27、则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm, AE的长度为（x1）m, 在RtACE中，AEC=90， 由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x1)2+32=x2, 解得x=5.故滑道AC的长度为5m.知2讲 例4 实际应用题假期中，小明和同学们到某海岛上 去探宝旅游，按照探宝图，他们在点A登陆后先 往东走8 km到达C处，又往北走了2 km，遇到障 碍后又往西走了3 km，再往北 走了6 km后往东拐，仅走了1 km就找到了藏宝点B，如图， 登陆点A到藏宝点B的距离 是_知2讲10km 知2讲导引：如图，过

28、点B作BDAC，垂足为D，连接AB， 则看图可以得出AD，BD的长度，在直角三角 形ABD中，AB为斜边，根据勾股定理计算出 AB的长即可知2练 (中考厦门)已知A，B，C三地位置如图所示， C90，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的_方向15 km正北知2练 如图，甲货船以16 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3 h时两船相距()A35 n mile B50 n mileC60 n mile D40 n mile2C

29、1解决实际问题的方法是建立数学模型求解2在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化， 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题全章热门考点整合应用第一章 勾股定理1如图，在RtABC中，C90，点D是BC上一点，ADBD.若AB8，BD5，求CD的长1考点一个定理勾股定理设CDx，在RtABC中，有AC2(CDBD)2AB2，整理，得AC2AB2(CDBD)264(x5)2.，在RtADC中，有AC2CD2AD2，整理，得AC2AD2CD225x2.由两式，得64(x5)225x2，解得x1.4，即CD的长是1.4.返回解：2如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC90，D为AC边的中点，过D点作DEDF

30、，交AB于E，交BC于F.若AE4，FC3，求EF的长解：如图，连接BD.在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，ADCD.又ABCB，BDBD，ABDCBD.ADBCDB90，ABDCBD45.又易知C45，ABDCBDC.过点D作DMBC于点M，则BDMCDM，BDCD.DEDF，BDAC，FDCBDFEDBBDF.FDCEDB.在EDB与FDC中， EDB C BD CD FDCEDBEDBFDC(ASA)BEFC3.AB7，则BC7，BF4.在RtEBF中，EF2BE2BF2324225，EF5.返回3张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：2考点一个判定直角三角形的判定

31、n2345a221321421521b46810c221321421521(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n1)的式子表示：a_，b_，c_；(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并说明理由n212n2n21是直角三角形理由如下：因为a2b2(n21)2(2n)2n42n21，c2(n21)2n42n21，所以a2b2c2.所以以a，b，c为边长的三角形是直角三角形返回解：4阅读理解并解答问题如果a，b，c为正整数，且满足a2b2c2，那么a，b，c叫做一组勾股数(1)请你根据勾股数的定义，说明为什么3，4，5是一组勾股数；3考点一个概念勾股数(2)写出

32、一组不同于3，4，5的勾股数；(3)如果m表示大于1的整数，且a2m，bm21，cm21，请你根据勾股数的定义，说明a，b，c为勾股数(1)因为3，4，5是正整数，且324252，所以3，4，5是一组勾股数(2)因为122162202，且12，16，20都是正整数，所以一组勾股数可以是12，16，20. (3)因为m表示大于1的整数，所以由a2m，bm21，cm21可知解：a，b，c都为正整数又因为a2b2(2m)2(m21)2m42m21，而c2(m21)2m42m21，所以a2b2c2.所以a，b，c为勾股数返回5如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用

33、一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达（方法一 化曲(折)为直法）4考点四种方法点B，那么所用细线最短时其长度的平方是多少？解：将长方体的侧面展开，如图所示AA13138(cm)，AB6 cm，AB2AA2AB28262102.AB10 cm.所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短，需要10 cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方为(8n)26264n236(cm2)返回6如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC10 km，BD30

34、 km，且CD30 km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.请你在河岸上（方法二 对称找点法）4考点四种方法选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少解：如图，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，交CD于点M，点M即为所求连接AM，则MAMB最小作AEBD交BD的延长线于点E.在RtABE中，AE30 km，BEBDDEBDAC40 km，由勾股定理得AB2AE2BE2302402502，AB50 km.MAMBAMBMAB50 km.铺设水管的最少费用为503150(万元)返回7如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，B

35、E，CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置若AE1，BE2，CE3，求BEC的度数（方法三 旋转法）4考点四种方法解：如图，连接EE.由题意可知ABECBE，ECAE1，BEBE2，ABECBE.又ABEEBC90，CBEEBC90，即EBE90.在EEC中，EE2CE2BE2BE2CE29，EC29，EE2CE2EC2.EEC为直角三角形，且EEC90.又BEBE，EBE90，BEE 45.BECBEEEEC4590135.返回8已知等腰三角形ABC的底边长BC20 cm，D是AC上的一点，且BD16 cm，CD12 cm.(1)试说明：BDAC；(2)求ABC的面积（方法四 化斜

36、为直法）4考点四种方法(1)122162202，CD2BD2BC2 ，BDC是直角三角形，且BDC90.BDAC.(2)设ADx cm，则AC(x12)cm.ABAC， AB(x12)cm.解：返回在RtABD中，AB2AD2BD2，所以(x12)2162x2.解得x .所以AC 12 (cm)所以ABC的面积 ACBD 16 (cm2)9如图，有一块直角三角形绿地，量得两直角边BC，AC的长分别为6 m，8 m现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的面积5考点两个应用（应用1勾股定理的应用）在RtABC中，ACB90，AC8 m，BC6

37、 m，由勾股定理得AB2AC2BC28262100，所以AB10 m.扩充部分为RtACD，扩充成等腰三角形ABD，应分以下三种情况讨论：解：(1)如图，当ABAD10 m时，因为ACBC，所以CDCB6 m.所以SABD BDAC 12848(m2)(3)如图，当AB为底边时，设ADBDx m，则CD(x6) m在RtACD中，有AC2CD2AD2，即82(x6)2x2.解得x .(2)如图，当ABBD10 m时，SABD BDAC 10840(m2)所以SABD BDAC 8 (m2)综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的面积为48 m2或40 m2或 m2.返回10如图，某工厂C前面有一条笔

38、直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC600 m，BC800 m，AB1 000 m，现需要修建一条路，使工厂C到公路（应用2判定直角三角形的应用）5考点两个应用的距离最短请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长解：过点C作公路AB的垂线，垂足为D，则线段CD即为新建的路因为AC2BC2600280021 0002，AB21 0002，所以AC2BC2AB2.返回所以ABC为直角三角形，且ACB90.由三角形的面积公式知 ABCD ACBC，所以 1 000CD 600800.所以CD480 m，即新建的路的长为480 m.11育英中学有两个课外小组的同学

39、同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，30 min后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角；(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？(1)因为30 min后，第一组行走的路程为3030900(m)，第二组行走的路程为40301200(m)，90021200215002，而此时两组同学相距1500 m，所以两组同学行走的方向成直角(2)设x min后两组同学相遇根据题意，得30 x40 x1500.解：返回解这个方程，得x .即这两组同学若以原来的速度相向而行， min后能相遇12如图，将长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处已知AB6，