数列的概念练习题(有答案) 百度文库

1、9.9.一、数列的概念选择题1历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233即ai=a2=1，当n3时，aa1+a2，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被nn_1n24整除后的余数构成一个新的数列b记数列b）的前n项和为S，则S20的值为AD3024B.26C.28数列a满足a-（-1+1a+2n1，则数列a的前48项和为（）n+1nnB.1176C.1228D.2368（neN*）,则称数列a为“凸

2、数列已知数列bnn+1nn+2n为“凸数列”，且2=1,b=-2，则数列b的前2020项和为12n5B.5C.0已知数列1八巨齐心n1,.，贝山21是这个数列的（2A3A4A.5.A.6.A.7.n1006已知数列若aa+ann+1nn+2第10项数列a满足n数列a满足n已知数列n则b10等于（）24A.8.A.Dan+1B.第11项11_a,(nC.第12项D.第21项B.-1an+1B.其中B.32在数列a中,naa1B.14,_1-4a2，1二1_an_1则a2的值为（D.C.C.D.a是方程x2bx+2n0的实数根,n+1n48D.64匚（n1），则a2019的值为（）C.5D.以上都

3、不对已知数列a满足an1eN*,n2)，且nab-cos週CenJ,则数列b的前18项和为（）nn3n17.n17.nA120B174C.204D.373T10.若数列a*满足巴=2,an+1二1，则a2020的值为(nA.2B.3C.D.11.数列a前n项和为S，若2S二a+1,A.12.n2B1已知数列a满足：a=13,n1nnC则a+S720190的值为(的是()A.B.C.D.aan+1naan+1n数列a的最小项为a和a”n34数列a的最大项为a3和n34D.(n+1)a一na-2n+1,ngN*，则下列说法正确n+1n313.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x)二f

4、(x),f(1)二3，数列(S为a的前n项和,nnngN*)，则f(a)+f(a)二56A114已知数列an85A.x2n33B满足:C.-3D.0an+1n=4a+5，则a=(B.85X2n1一33C8X4n5.33D.8X4n153315大衍数列，来源于乾坤普统文化中太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0，则此数列的第40项为()C800D8822=2则数列a的最大项为(2n中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传2，4，8，12，18，24，32，40，50，A.648B.7

5、2216.已知数列a满足a-1，a-16,naann+a2n+1A.29B.210C81C28D.211数列a满足:nan+1n项积为Tn，则JA一61B.一61C.6D618在数列a中，a_1,n12a一1n-12,ngN*)，则_()AB2D21119已知数列a满足a二ann+1+2n，且ai-33,a则f的最小值为nA.21B.1020.函数f(x)_y3sin2x-cos()13兀5兀A.B.124二、多选题n21C.21722x-爲的正数零点从小到大构成数列a，则a3_n317兀C.12D21意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，记S,n为数列a

6、n的前n项和，则下列结论正确的是3,5,，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列9称为斐波那契数列，(Aa8=34=a202222.已知数列a中，a_1,an1C.S2020=a20221D.ai+a3+a5+.+a2021n+1na，ngN*.若对于任意的tell，2,n不等式f2且F(1)_1,F(2)_1CD25-I字T”+fi_75j设数列a的前n项和为S（neN*），关于数列a，下列四个命题中正确的是nnn）若a=a（neN*），则a既是等差数列又是等比数列n+1nn若S=An2+Bn（A，b为常数，neN*），则a是等差数列nn若S=1-（-1

7、）n，则a是等比数列nn若a是等差数列，则S，S-S，S-S（neN*）也成等差数列nn2nn3n2n已知等差数列a的前n项和为S，且a0,2aa0,则（）nn1511a0的n的最大值为1249n已知等差数列a的公差不为0，其前n项和为S，且2ann则下列四个选项中正确的有（）A.2a+3a=SB.S=SC.S最小59827528.已知数列a的前n项和为S，前n项积为T，且1nABCD26AC27、S8、Dn当数列a为等差数列时，S0n2021当数列a为等差数列时，0n2021当数列a为等比数列时，T0n202129.已知无穷等差数列a的前n项和为S,nn在数列a中，a最大n1在数列a中，a3

8、或a最大n34S=S310当n8时，a0n已知数列a为等差数列，则下列说法正确的是（na=a+d（d为常数）n+1nABCDABCD30AS9成等差数列,SS8，则（）B数列an是等差数列11C.数列一,是等差数列an31.等差数列昭的首项a0n1A.d0b.d0，则a是递增数列nn111若ab，c成等差数列，则一可能成等差数列abc若数列a是等差数列，则数列a+2a，也是等差数列TOC o 1-5 h znnn+1设公差不为0的等差数列a的前n项和为S，若S=S，则下列各式的值为0nn1718的是（）A.aB.SC.a-aD.S-S173517191916设等差数列a的前n项和为S，公差为d

9、，且满足a0，S=S，则对S描nn11118n述正确的有（）A.S14是唯一最小值B.S15是最小值C.S29二0D.S15是最大值参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题1.B解析：B【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解.【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列方n此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，则其周期为6,其中1+1+2+3+1+0=8,则S=S+b+b=S+b+b=3x8+1+1=26，201819201812故选：B.2B解析：B【分析】根据题意，可知a(l)n+ia=2n1，分别

10、列出各项，再整理得出a+a=2,n+1n13a+a=8，a+a=2，a+a=24，a+a=2，a+a=184，可知，24576845474648相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组求和法，即可求出a的前48项和.n【详解】解：由题可知，a=(1)n+1a+2n1，TOC o 1-5 h zn+1n即：a(1)n+1a=2n1，则有：n+1naa=1，a+a=3，aa=5，a+a=7，21324354aa=9,a+a=11,aa=13,a+a=15,65768798a+a=91，aa=93.，47464847所以，a+a=2，a+a=8，a+a=2，a

11、+a=24，-13245768a+a=2，a+a=184，45474648可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16设数列an的前48项和为S48，则S=a+a+a+a+a+a+a+a+a+a，4812345645464748=(a+a+a+a+a+a)+(a+a+a+a+a+a)1357454724684648=12x2+12x8+12x11x16=1176,2所以数列a的前48项和为：1176.n故选：B.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.3B解析：B分析】根据数列的递推关系可求得数松的周期为6，即可求得

12、数列(b的前2020项和.nn【详解】.b=bb(neN*),且b=1,b=-2,TOC o 1-5 h zn+2n+1n12:.b=3,b=1,b=2,b=3,b=1,34567-是以6为周期的周期数列，且S=0，n6S=S=b+b+b+b=5，2020336x6+41234故选：B.【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.4B解析：B【分析】根据题中所给的通项公式，令2n1=21，求得n=11，得到结果.【详解】令2n1=21,解得n=11，故込1是这个数列的第11项.故选：B.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知

13、识点有判断数列的项，属于基础题目.5B解析：B【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项.【详解】因为n+11=2，所以12故选：B.点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.6B解析：B分析】先通过列举找到数列的周期，再求0口.2018【详解】11n=1时，a=12=1,a=1(1)=2,a=1=,a=12=1,23422543所以数列的周期是3所以a20i8二纭672+2广2=T-故选：B【点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7D解析：D【分析】a根据题意，得到a+a二b,aa=2”，求得a=2，推出f1二2，进而可求出

14、nn+1nnn+12n-1a10，a11，从而可求出结果.【详解】因为a，a是方程x2bx+2n0的实数根，nn+1n所以a+ab，aa2n，nn+1nnn+1又a11，所以a22；aaa当n2时，aa2n-1，所以2，n1naaan-1n-1n因此aa-2432，aa-2532102111所以ba+a32+3264101011故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.8A解析：A分析】根据递推式可得a为一个周期为3的数列，求a中一个周期内的项，利用周期性即可nn求a的值2019【详解】由a-丄，a1(n1)知14nan-1a152a1a13a21-丄故数列a是

15、周期为3的数列，而2019可被3整除n4a=a=201935故选：A【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题9B解析：B【分析】a将题干中的等式化简变形得=a(kgN*)，进而可得出数列松的前18项和.利用累乘法可求得数列T的通项公式由此计算出b3k-2+b3kJb3k【详解】aaa(12(22(n-1a2-=1xxxx1aaaV2丿V3丿Vn丿n2n-121由累乘法得an)agN*,n2丿，将此等式变形得=an-1172n兀ab=cosnn32gN*),12n兀b=n2cosn3b+b+b=(3k2)2cos(42k兀兀+(3k-1)2cos(25-还3k-2

16、3k-13kV3丿V3丿+9k2cos2k兀n=9k-1因此，数列b的前18项和为9x(1+2+3+4+5+6)-6x=9x2115=174.n2故选：B.【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出b+b+b是解3k-23k-13k答的关键，考查计算能力，属于中等题.10D解析：D【分析】分别求出aaa,a,a，得到数列q是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果.23456n【详解】1+2c131由题意知，a2-市一3，a3-苗一21+-=21-131+23a=一3，612因此数列a是周期为4的周期数列,n1a=a=a=2020505x443故选D.【点睛】本题主要考

17、查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.11A解析：A【分析】根据2S二a+1，求出a,ac，aQnn123【详解】，寻找规律，即可求得答案.2S=a+1nn2a1二a1+1，解得：2a+2a=a+1,1222a+2a+2a=a2132a+2a+2a+2a4a=12+1，解得：解得：a3=1=a+1,14解得：a4=T当n奇数时，a二1n当n偶数时，a=一1n:.a=1，S=172019故a+S=272019故选：A.【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12C解析：C分析】二2n+1运用累加法得b二n2+12n从

18、而可得令b二na，由已知得bbnnn+1n12(n-3)(n+4)a=n+，作差得aa=()，从而可得aaa=aaa，nnn+1nnn+1i234_由此可得选项.【详解】令b=na，nn-，bbnn1则bb=2n+1，又a=13，所以b=13,bb=3,112121n+1n=2n1，(n1)(3+2n1)b所以累加得b=13+=n2+12，所以a=n2nnn(n3)(n+4)n(n+1)-，bb=5,32n2+12所以an+1-ann+1n=(n+1)+-n+12(12)-n+kn丿12=n+,n所以当na，n+1na3时,n+1nn+1n34-Vaaa=a123故选：C.【点睛】本题考查构造

19、新数列,运用累加法求数列的通项,以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性,属于中档题.13C解析：C【分析】判断出f(x)的周期，求得a的通项公式，由此求得f(a)+f(a).n56详解】(3(3Yz3、(3Yx=fx=fx+k2k2丿丿k2丿k2丿所以f(x+3)=f3依题意定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f-x)=f(x),一f2(x)j=f(x)=f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数.2an一1得S=2a一n,nnn当n=1时，a=1，当n2时，S=2a(n1)，TOC o 1-5 h zn1n1-得a=2a2a1,a=2a+1(n2)，nnn1nn1所以a=2a+1=3

20、,a=2a+1=7,a=2a+1=15,a=2a+1=31，21324354a=2a+1=63.65所以f(a)+f(a)二56f(31)+f(63)=f(3xlO+1)+f(3x21)=f(1)+f(0)=-f(-1)=-3故选：C【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于x=a(aH)对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a.14D解析：D【分析】取特殊值即可求解.【详解】当n=1时，a=1，显然AC不正确，当n=2时，a=4a+5=9，显然B不符合，D符合21故选：D15C解析：C【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.,可得偶数项的通项公式：a=2n2，即可得2n

21、出【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50.，可得偶数项的通项公式：a=2n22n则此数列第40项为2x202=800.故选：C16B解析：B【分析】TOC o 1-5 h za1aia.本题先根据递推公式进行转化得到F=JF.然后令b=十，可得出数列b是等a2anann+1nn比数列.即九=321Y.然后用累乘法可求出数列a的通项公式，根据通项公式及二a12丿nn次函数的知识可得数列a的最大项.n【详解】解：由题意，可知：TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document a1a HYPERLINK l book

22、mark22 o Current Document a2an+1n210b1a=n十1an则b=恳b-n+12n数列bn是以16为首项,2为公比的等比数列.=32an+1an=32-a“r=32a2aan-1(1n-1=32一12丿各项相乘，可得：a-na1=(32)n-1(2丿1V2丿(一)n-1V2丿=(25)n-1n(n1)12(1、-5(n-1)一n2-一n22(12丿(1、十(n2-11n+10)=V2丿令f(n)=n2-11n+10,则，根据二次函数的知识，可知：当n=5或n=6时，f(n)取得最小值.f(5)=52-11x5+10=-20，f(6)=62-11x6+10=-20，

23、/(n)的最小值为-20.r一、；(n2-11n+10)r一2x(-20)r一V2丿V2丿v2丿-10数列a的最大项为210.n故选：B.【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用以及利用二次函数思想求最值；17A解析：A【分析】根据递推公式推导出a=an+4n(ngN*)且有aaaa=12341，再利用数列的周期性可计算出T2018的值.【详解】an+111a=41+12aaaa=2x(3)x1234CgN*)1an1+1a=3=51132丿=竺=_3,a21-21-31r=31+322,a=a(ngN*),且.an+4I2018=4X504+2因此

24、T2018=J+2=1504xaa=1x2x(3)=6.12故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.18C解析：C【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得a3的值.【详解】a=2C2,ngN*)a=1.an2a1，1，n1-=222a1，122a=32a13-2故选：C.【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题19.C解析：C分析】由累加法求出a=33+n2-n，所以3n1，设f(n)二+n-1，由此能导出nnnnn=5或6时f(n)有最小值，借此能得到a的最小值.n详解】解：an(aa)+(aa)+.+nn

25、-1n-1n-2a1)+a121+2+.+(n1)+3333+n2n所以n=至+n1nn33设f(n)+n-1，由对勾函数的性质可知，(n)在)上单调递减，在n)+8丿上单调递减,又因为neN+，所以当n5或6时f(n)可能取到最小值.a53a63又因为芋丁，盜石212aa21所以石的最小值为g-飞-故选：C.【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.20B解析：B【分析】.(兀、先将函数化简为f(x)=2sin2x-6丿，再解函数零点得x=晋+刼或5兀x=+兀，keZ，再求a3即可.123【详解】解：f(x)sin2xcos2x兀

26、、2sin2xI6丿-、3令f(x)=0得：2x-=+2k兀或2x-=还+2k兀，keZ,TOC o 1-5 h z63635:x=+k或x=+k，keZ，41255正数零点从小到大构成数列为：a1=4,a2=1Ta3=T故选：B.点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.二、多选题21BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A错误；对于B,故B正确；对于C,可解析：BCD【分析】由题意可得数列%满足递推关系a1,a1,aa+an12nn-2n-1项，即可

27、得正确答案.【详解】对于A,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A错误;对于B，对于C,则a+aS1+1+2+3+5+8+13+2154,故B正确；8可得aa一a(n2),TOC o 1-5 h znn+1n-1+a+a+aa+(a-a)+(a-a)+(a-a)+(a-a)34n1314253n+1n-1即Sa+a+aa1,Sa1，故c正确；n2nn+1n+220202022对于D,由aa一ann+1n-1a+a+a+aa+(a135202124故选：BCD.【点睛】(n2)可得,a)+(aa)+(aa)a,故d正确.264202220202022本题以“斐波那契数列”为背

28、景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，a1,a1,aa+a（n3）,能根据数列性质利用累加法求解.12nn-2n-122AB【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.详解】则，上述式子累加可得：，对于任意的恒成立解析：AB【分析】TOC o 1-5 h zaa11a1由题意可得f气f=-，利用裂项相相消法求和求出f=2_2对于任意的te1,2恒成立，转化为2t-(a-l)(t+a)0对于任意的te11,2恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.详解】1an+1na_1_11naa11贝yfnnn1

29、n1naa11n1n2n1n2n2n1a22nn(n+1)nn+1a1a1上述式子累加可得：一a=1,二=2一2对于任意的teh，2恒成立,整理得2t(a1)(t+a)0对于任意的teh,2恒成立，对人，当a4时，不等式(2t+5)(t4)0，解集1,4，包含1,2，故a正确;3对B,当a2时，不等式(2t+3)(t2)0，解集-，2，包含h,2,故B正确;1对C,当a0时，不等式(2t+1)t0，解集一2,0，不包含11,2，故C错误；1对D,当a2时，不等式(2t1)(t+2)2时,a=S-Snnn-1n+2n+1a一a3n3n-1a化为：n-1n1二1+丄,n-1n-1由于数列|ni单调

30、递减,可得：n二2时，二取得最大值2.n-1a丁的最大值为3.Ct-n-1故选：BD.【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24.BC【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,显然，所以且，即B满足条件；由,所以所以数列解析：BC【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,显然F(1)=1,F(2)=1,F(3)=F(1)+F(2)=2,F(4)=F(2)+F(3)=3,F(n+1)=F(n)+F(

31、n一1),n2，所以F(n+1)=F(n)+F(n一1),n2且F(1)=1,F(2)=1,由F(n+1)=F(n)+F(n-1),n2,所以F(n+1)1一F(n)=F(n)-1一5F(n1)222所以数列;F(n+1)-耳5F(n)是以呼为首项,券为公比的等比数列,所以F(n+1)号5F(n)=(1+后所以F(n+1)(15(21一*5丁F(n)一2+1n11+打(1+*5)令，则bv53n+1所以bn+15+51053I-(bn2)，当n=1时也成立，nnn-1na=2x(1)n1是等比数列，故对；n选项D:a是等差数列，由等差数列性质得S，S-S，SS(neN*)是等差数nn2nn3n

32、2n列，故对；故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n项和公式是解题关键.26ACD【分析】由题可得,求出可判断A；利用二次函数的性质可判断B；求出可判断C；令，解出即可判断D.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，且，对于A，故A正确；对于B，的对称解析：ACD【分析】TOC o 1-5 h zd13d由题可得a=6d，d0，S=n2n，求出a=d0，解出即可判断D.【详解】设等差数列a的公差为d，则2a+a=2(a+4d)+a+10d=0，解得a=6d,n511111n(n1)d13d.a0，.d0，且S=na+d=n2n，1n122222对于A，a-a+7d=-6d+7d8

33、1=d0，解得0n00对于A选项,对于B选项，2a+3a=3x4d=12d,59(229x2)dS二=7d，2(828x9)dS二=4d，A选项错误;82(729x7)dS二=7d，B选项正确;7对于C选项，.s二d(n22d81若d0，则S或S最小；若d0，则S或S最大.C选项错误；4545对于D选项，化=0，D选项正确.故选：BD.【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为巧和d等基本量，通过建立方程(组)获得解，另外在求解等差数列前n项和S的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的n单调性来求解.28AC【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质

34、即可判断正确选项【详解】由，可得，令，所以是奇函数，且在上单调递减，所以，所以当数列为等差数列时，；解析：AC【分析】111111将+0，再结合等差数列与等比数列性质ex+1232019即可判断正确选项【详解】11+ea3+1ea2019+1111+ea3+12ea2019+1120；2所以当数列a为等差数列时，Sn2021a2019同号，所以a3，ai011，a2019均大于零,当数列a为等比数列时，且a,an31011故T=(a)20210.20211011故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题29AD【分析】利用等差数列的通项公式

35、可以求，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求a70，a80，即可求公差d0，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为S0，67767因为S7S8，所以S8-S7二a80，所以等差数列a公差d=a-a0，103456789107所以S丰%，故选项C不正确；当n8时，aa0，即a0所以a9=0,d是以首项为1，公差为a对选项A，因为an+1=矿+1，n12a+11所以=_=2+，Iaaan+1nn1所以1一是以首项为1,公差为2的等差数列,a=1，1112即一一=2aan+1n故A正确.对选项B，由A知：丄二1*2n-1二2n-1an故B正确.n(1+2n-1)的冃Un项和S=n2，n对选项C，1】1因为=2n-1，所以a=，故C错误.an2n一1n对选项D，因为铁=吕，所以数