数值分析典型习题

1、01 2 3 13. 给定数据 特别声明：考试时需带计算器作辅助计算*11x* = 2015是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差 er* 1 10-3.42. l0(x),l1(x), ,ln(x)是以 x0,x1, , xn为节点的拉格朗日插值基函数，则3设 f(0)=1,f(1)= 3, f(2)= 4,f(3)= 2 ， f 0，1，2，3 = 1 .3274. 利用 Simpson 公式求 x2dx= 7 .1 n n 3 15. 设求积公式 0 f(x)dxAk f (xk),( n 1)是 Gauss型求积公式，则Akxk3.0 k=0 k 0 46. 数值微分公式 f (xi)

2、 f(xi h 2) f(xi h 2)的截断误差为 O(h2) .h117. 设A，则 A的谱半径 (A) 1 ， A的条件数 cond1(A)= 4 .0 112x33 (xn2 1)8. 用牛顿下山法求解方程 x x 0根的迭代公式是 x n 1 x n x3 3x ,3xn 3x下山条件是f(xn 1) f(xn) .9.对任意初始向量 x(0) 及任意向量 f ，线性方程组的迭代公式 x(k 1) Bx (k) f (k 0,1,2, ) ，迭代序列 x(k) 收敛于方程组的精确解 x 的充分必要条件是(B) 1 .10. 应用幂法迭代公式 x(k+1) = Ax(k)当k充分大时有

3、 x(k+2)+px(k+1)+qx(k) 0，则 A 的按模最大的p p 4q特征值 1,2 =.1,2 211. 设数据 x1, x2的绝对误差分别为 0.005和0.002，则 x1 x2的绝对误差约为( D )0.005 B. 0.002 C. 0.003 D. 0.00712. 对于多项式 Pn(x) a0 a1x a2x2anxn 在某点 x0处函数值的秦九韶算法基于如下公式：算法计算的始点为 an ，而这一算法的优点在于( C )精度高 B. 计算量小 C. 精度高，且计算量小 D. 既收敛又稳定x0 x1x2xnf (x0 )f (x1)f(x2 )f (xn )由它们所确定的

4、 Lagrange 多项式与 Newton 多项式，以下说法正确的是( C )A.从数值算法上讲，它们是不同的，不过 , 一般而言 , 后者计算结果精度会更高 B.无论从数值算法 还是从数学意义上讲，它们都是相同的 , 只是后者计算更灵活C.从数值算法讲它们不同，但数学意义上讲它们却是相同的D.无论从数值算法还是从数学意义上讲，它们都是不同的14. 利用求解方程 f (x) 0根的牛顿迭代法公式为 xn 1 xn f (xn) 。利用这一方法进行求解时，n n f (xn)迭代所用初始点的选取很关键，以下最好的说法是( B )A.对于单重根是局部二阶收敛的，初始点应选取较接近于根的值，但不一定

5、收敛它是局部二阶收敛的，初始点选用较接近于根的值即收敛对于单重根是二阶收敛的，初始值 x0 任意选取对于多重根是超线性收敛的，且初始点 x0 任意选取 15 求解方程 f (x) 0时，可将方程变形而得到迭代格式 xn 1 (xn) ，当迭代格式 xn 1 (xn) 中 函数 (x) 满足( D )条件时，这一迭代格式必收敛。A. (x) 1 B. (x) 1 C. (x) 1 D. (x) 116. 求矩阵特征值与特征向量的幂法与反幂法，分别可以用于求矩阵的( A )A. 按模最大特征值与最小特征值，及其对应特征向量所有特征值及其对应特征向量按模最大特征值及其对应特征向量按模最小特征值及其对

6、应特征向量17 求解微分方程初值问题数值解的改进的欧拉折线法，其局部截断误差的阶是( B )A. 1B. 2C.3 D. 4已知 n 对观测数据 (xk, yk),k 1,2,., n , 这 n 个点的拟合直线 y a0 x a1，a0,a1是使( D ) 最小的解nA.yk a0 a1xkk1nB.yk a0 a1xkk1n2C.(yk a0 a1xk )k1n2D.(yk a0 xk a1 )若复化梯形公式计算定积分 e xdx,要求截断误差的绝对值不超过 0.5 10 4 ，则n ( A )k1A. 41B. 42C. 43D. 40已知函数 y f (x) 的数据表x 025 1y

7、3 69 0则 y f (x)的拉格朗日插值基函数 l2 (x) ( A )x(x 2)(x 1)5(5 2)(5 1)(x 2)(x 5)(x 1)(0 2)(0 5)(0 1)x(x 5)(x 1)2(2 5)(2 1)x(x 2)(x 5)1 (1 2)(1 5)求解初值问题 y f (x,y), y(x0) y 0的近似解的梯形公式是 yn 1 ( A ) hhA. yn2hf (xn,yn)f(xn 1,yn 1)B.yn2h f (xn, yn)f (xn 1,yn 1)C. ynh2 f (xn,yn)f(xn 1,yn 1)D.ynh2 f (xn, yn)f (xn 1,yn

8、)下面( D )不是数值计算应注意的问题A. 注意简化计算步骤，减少运算次数B. 要避免相近两数相减C. 要防止大数吃掉小数D. 要尽量消灭误差23. 对矩阵特征值满足 1 2n 情况，幂法收敛速度由比值 r2 确定，1r 越小收敛速度A)A. 越快 B. 越慢 C. 不变 D. 不确定24. 令 x0 0 ， x1 1，写出 y(x) e x的一次插值多项式 L1(x) ，并估计插值余项 解：由 y0 y(x0) e 0 1， y1 y(x1) e 1 可知，L1(x)x x1y0 x0 x1y1x x0 x1 x0(x 1) e 1x 1 (e 1 1)x余项为 R1(x)0,1 ，f 2

9、(! ) (x x0 )(x x1) e2 x(x 1),2! 21故 R1(x) 2m0 ax1 em0 axx1 x(x25. 已知函数 y f (x) 的相关数据1 3 9 271由牛顿插值公式求三次插值多项式 P3（x） ，并计算 3 P（1） 的值近似值。（注：要求给出差商表）2解：差商表0012113264/3229683327由牛顿插值公式：26. 给出计算 x 2 2 2 的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性 , 并证明 x 2 。解：由题意可得出其迭代格式为xk 12 xk . 且 0 xk 2当 0 x 2时，(x)1, 所以迭代格式是收敛的 .由 lkim xk 1 x 可得

10、，x 2 x . (x )2 2 x ,(x )2 x 2 0. 解得： x11,x2 2. 其中x1 1 0 舍去。可得x 2. 即解得 x 2.27. 应用紧凑格式的 Doolitte 分解（即 LU 分解）法求解方程组：1020 x150101x231243x3170103x47解：由紧凑格式的 Doolitte 分解（略）得：1102001101L及U，于是 求解1 2 1210101221 #21 1y15y1 51 0 2 0 x1501y23可得y2 3 ，求解101x23可得121y317y3 621x360101y47y4 42x44x2x3x4x1 11 。225x1 2x

11、2 x3 1228. 设方程组 x1 4x2 2x3 20 ，2x1 3x2 10 x3 3(1)考察用雅可比迭代法，高斯 - 赛德尔迭代法解此方程组的收敛性；(2)写出雅可比迭代法及高斯 - 赛德尔迭代法解此方程组的迭代格式。5 2 1解： (1) 由系数矩阵 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，2 3 10使用雅可比、高斯 - 赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。 精确解为 x1 4,x2 3,x3 2(2) 使用雅可比迭代法：x(k 1)1 (k) 1 D 1(LU)x(k)D 1b101051211204413110512 x(k)0250310(k)1255310使用高斯 -赛德尔迭代法

12、：写出求解线性代数方程组的 Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。解：方程组的 Gauss-Seidel 迭代格式为其迭代矩阵为其特征方程为解之得谱半径 (BG )26 1 ，故迭代发散 .29. 已知 x0 14,x1 21,x2 43, 推导以这三点为求积节点在 0,1 上的插值型求积公式 TOC o 1-5 h z 11130 f(x)dx A0 f(1) A1f(1) A2f(3) ； 042412指明求积公式所具有的代数精度； (3)用所求公式计算 01x2dx。解： (1)所求插值型的求积公式形如：11113故 0 f (x)dx 2 f ( ) f ( ) 2

13、f( ) 。03424(2)所求的求积公式是插值型， 故至少具有 2次代数精度，再将 f(x) x3,x1(x), 1(x)xi2 21，而i1代入上述公式， 可得 故代数精度是 3 次。11 1 1 31由 2)可得：0 x2dx132( 14)2(21)22(43)213。见教材 P67 例 4.1.1 。用 Romberg方法计算 1 xdx,写出计算过程并将结果填入下表 (* 号处不填 ).0122.793062.797342.7974032.79634单原子波函数的形式为 y ae bx ，试按照最小二乘法决定参数 a和 b ，已知数据如下：X0124y2.0101.2100.7400.450解：对 y ae bx 两边取对数得 ln y ln a bx ，令 Y ln y ， A lna ，则拟合函数变为 Y A bx ， 所给数据转化为X0124y0.69810.1906-0.3011-0.7985取 0 (x) 1， 1(x) x，则40(x), 0(x)1 4 ，i140(x), 1(x)1(x), 0(x) xi 7 ，