(完整版)高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总

1、第 页共71页第 页共71页:星生学和籍学除开被将者考人他代或考代人他请道知还，性重严的弊作、纪违试考道知，律纪场考守遵格严将我：诺承闭卷（V）的:0在X=0处连续，则“=一_得分评阅人年题号二三五总分123456712分值10157777777998阅卷人（全名）考生注意事项：1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题（每题2分，共10分）得分评阅人高等数学上册试题答案及复习要点汇总（完整版）TOC o 1-5 h z2、设/=3则lim了一了(1一2x)=6xxt0i3、函数f(x)=x3-9x+2在0,3上满足罗

2、尔定理的g=_324、设f(x)在-11上为偶函数，贝叮1xx+f(x)d=3-15、微分方程y”=cosx的通解为-y=-cosx+C_x+C2二、选择题(每题3分，共15分)1、lim(xsin-+Sin2x)=(C)xxA.4B3C.2D.13、不定积分fxsinx2dx=(D)1Acosx2+CB.-cosx2+CC计sx2+CD.-2cosx2+C4由曲线x=J、直线y=1及y轴围成图形绕y轴旋转一周所得立体体积为（B）TOC o 1-5 h z兀兀12A.B.C.1D.25233f0e-12dt5、极限lim=(c)xXT0A.1B0C.一1D.一2得分评阅人三、解答题(每题7分，

3、共49分)1、设lim(2x2x一ax一b)=6求a、bx一1xT8解Urn(芝严-a-b)xT8iim(2a)x2+(1+ab)x+b=imx-16a=01+ab=6a=2b=-3久求极限iime-吐亍xt0解原式=limxt0ln(x+1)xxln(x+1)得分评阅人=limxt0ln(x+1)+靑=limxt0(x+1)211+x+1(x+1)2第 页共71页第 页共71页得分评阅人得分评阅人3、设y=(cosx卜加x,求&y解两边取对数得lny=sinxlncosx1-sinxy=cosxlncosx+sinxycosxy，=(cosx)sinx(cosxlncosx-sinxtanx

4、)dy=ydx=(cosx)sinx(cosxlncosx-sinxtanx)dx4、求不定积分J耳二4dx.x解令x=2sect,则dx=2secttantdt原式=j2tant2secttantdt2sect=2ftan2tdt=2f(sec21-1)dt=2(tantt)+C=x2-4-2arccos2+C5、求定积分fex2Inxdx.1得分评阅人得分评阅人解原式=1felnxdx1=3+1ln223i=j(x3lnx)=e3fex2dxTOC o 1-5 h z31 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 11=-e3x339=2e3+1=9

5、6、求曲线y=弓2jlnx在区间12上的长度.,x1解y=2茲s=f-1+yf2dx1=f2扣+-d1211=2(2x2+lnx)得分评阅人7、求微分方程y=In满足y|=e啲特解.xXx=1解令u=X11贝ydu=dxu(lnu-)xJ(l)du=fdxu(lnu-1)xln(lnu-1)=lnx+lnC通解y=xeCx+1由y|=e2得C=1x=1特解y=xex+1四、综合题(每题9分，共18分)得分评阅人1、求函数f(x)=xe么的极值及该函数图形的拐点.解f(x)=e-2x-2xe-2x1令f(x)=0得x=当xv2时，f，(x)0当x1时，f(x)1时，f”(x)0拐点为(1e-2)

6、第 页共71页10.第 页共71页2、求微分方程y”-6y+8y=(x-1)e4x的通解.解特征方程为尸2-6r+8=0nr=2,r=412y6y+8y=0的通解Y=Ce2x+Ce4x12九=4为r2-6r+8=0的单根得分评阅人可设y*=x(ax+b)e4x把y*代入原方程得4ax+2a+2b=x-14a=12a+2b=-11-3a=，b=4413y*=x(4x-4)e4x13通解y=x(+x-斗)e4x+Ce2x441五、证明题（8分）得分评阅人1、设f(x)在01上连续，证明:J需J丹J2f(sinx)dx=J2f(cosx)dx00证令x=-1，贝Udr=-dt20时,，1+x-1与2

7、等价.2证lim讥+x-1xt0J2f(sinx)dx=-J0f(cost)(-dt)0:=limxT01+x+1=J2f(cosx)dx0=1故话-1与x等价大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)TOC o 1-5 h z1设于(x)=cosx(x+|sinx|),则在x=0处有()(A)f(0)=2(B)f()=1(C)f(0)=0(D)f(x)不可导.设a(x)=-_x,卩(x)=3-3冬x,则当xt1时()1+x.(A)a(x)与0(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)a(x)与0(x)是等价无穷小；(C)a(x)是比0(x)高阶的无穷小；(

8、D)0(x)是比a(x)高阶的无穷小.若F(x)=:(2一坊了皿，其中f(x)在区间上(-1,1)二阶可导且f(x)0，则().函数F(x)必在x=0处取得极大值；函数F(x)必在x=0处取得极小值；函数F(x)在x=0处没有极值，但点(，F()为曲线y=F(x)的拐点；函数F(x)在x=处没有极值，点(，F()也不是曲线y=F(x)的拐点。4设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2J1f(t)dt,则f(x)=()0巴兰+2(A)2(B)2(C)x-1(D)x+2.二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)25.6.7.8.三、lim(1+3x)sinx=TOC o 1-5 h zx

9、t0.已知叱是f(x)的一个原函数，则f(x)叱dx=xx兀/兀2kn1、lim一(cos2一+cos2+L+cos2k)=n=nnnn1x2arcsinx+1Jdx=1x1-x2解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.设函数丁=y(x)由方程科+sins)=1确定，求丁(x)以及y(0)求J1-x7dx.x(1+x7)xe-x,、J2x-x2,0vx1f(x)g(x)=Jf(xt)dt设函数f(x)连续，o并讨论在x=0处的连续性.设f(x)=qJf（x）dx00.r1Jf（x）dx=0Jf（x）cosxdx=0设函数f（x）在-上连续，且0,0证明:在G翅）内至少存在两个不同的点

10、勺，5，使f（）=f（%）=0（提示：设F(x)=Jf(x)dx）解答一、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）62（叱）2+c上15.e6.6.2x.7.2.8.3三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导第1页共71页第 页共71页ex+y(1+y)+cos(xy)(xy+y)=0y,(x)=-ex+y+ycos(xy)ex+y+xcos(xy)x=0,y=0，y(0)=-1解：u=x77x6dx=du原式=1fdu=1f(i-2-)du7u(1+u)7uu+11=7(lnlu

11、I-2lnIu+11)+c12=-lnlx71一lnI1+x71+C77f1f(x)dx=f0 xe-xdx+f-2x一兀2dx解：-3-3000+f0cos20dO(令x-1=sin0)-3-H2=f0 xd(-e-x)+f1J1-(x-1)2dx-3=-2e3-1412.解：由f(0)=0，知g(0)=0。1ff(u)dug(x)=Jf(xt)dtxt=uJ0 xf(x)-ff(u)dug(x)=0 x2ff(u)dug(0)=lim-0=limxtOx2xt0(x丰0)(x工0)=xe-xe-xf(x)=AX2XT02X2xf(x)-ff(u)duAAlimg(x)=limo=A-=“x

12、0 xt0 x222,g(x)在x=0处连续。d+2y=inx13.解：dxxy=eA(fefAinxdx+C)11=一xinxx+Cx-239111y(i)=-9,c=y=3x|nx-9x四、解答题(本大题10分)14.解：由已知且y=21：ydX+y,将此方程关于x求导得y”=2y+y特征方程：r2-r-2=解出特征根：r1=-1,r2=2.其通解为y=C1e-x+C2e2xTOC o 1-5 h z21C=-,C=-代入初始条件y()=y()=1，得132321y=e-x+e2x故所求曲线方程为：33五、解答题(本大题1分)y-lnx=丄(x-x)15.解：(1)根据题意，先设切点为(x

13、o，lnx。)，切线方程：xo1由于切线过原点，解出x=e，从而切线方程为:A=f(ey-ey)dy=-e-1则平面图形面积2y=xe1V=ne2(2)三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为，则13曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2V=fn(e-ey)2dy2nV=V一V=-(5e2一12e+3)D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积126六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分)ff(x)dx-qff(x)dx=ff(x)dx-q(ff(x)dx+ff(x)dx)16.证明：=(1-q)ff(x)dx-qff(x)dxq坐日q，1q(1

14、-q)f忆)-q(1-q)f忆)f(歹(2)故有：12ff(x)dxqff(x)dx00证毕。17.F(x)=ff(t)dt,0 xn证：构造辅助函数：o。其满足在，冗上连续，在(皿)上可导。F(x)=f(x)，且F(0)=F(tt)=00=ff(x)cosxdx=fcosxdF(x)=F(x)cosxb+fsinx-F(x)dx由题设，有0000，fF（x）sinxdx=0有0，由积分中值定理，存在淞（0,兀），使F忆）sinE=0即FG）=0综上可知F（0）=F忆）=F（冗）=0，淞（0,兀）在区间I，匡，冗吐分别应用罗尔定理，知存在勺e（0,g）和qe（g，兀），使F=0及F农2）=0，

15、即f（勺）=f（g2）=0.高等数学（上）试题及答案、单项选择题（每小题3分，本题共15分）x1、若函数f（X）=，则limf（x）=（）XxtOA、0B、1C、1D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（）C.cosx(xT0)A.In1（xT0+）B.Inx（xT1）x3、满足方程f（x）=0的x是函数y=f（x）的（）.c.驻点D.间断点t1c、严dxf1D、dx0 xoxA.极大值点B.极小值点4、下列无穷积分收敛的是（）A、sinxdxB、f+we-2xdx005、设空间三点的坐标分别为M(1,1,1)、A(2,2,1)、B(2,1,2)。则ZAMB=5、设空间三点的坐标分别为M(1

16、,1,1)、A(2,2,1)、B(2,1,2)。则ZAMB=第 页共71页第 页共71页A、B、C、填空题(每小题3分,本题共15分)21、lim(1+3x)x=xtOIexx02、当k时，f(x)=0dx3、=x+lnx侧=dy4、曲线y=ex-x在点(0,1)处的切线方程是5、若Jf(x)dx=sin2x+C,C为常数，则f(x)=三、计算题(每小题7分，本题共56分)1、求极限2、求极限limxt0 x：4+x2sin2xlim(-)xt0 xex1cosxJet2dt3、求极限lim亠xt0 x24、设y=e5+ln(x+x2)，求y5、设f=y(x)由已知x=ln(1+t2)y=ar

17、ctantd2ydx26、求不定积分Jsin(2+3)dx第 页共71页第 页共71页7、求不定积分Jexcosxdx8、1+ex1求J2f(x1)dx0、1+x四、应用题(本题7分)求曲线y二x2与x二y2所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。五、证明题(本题7分)若f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(2)=1，证明：在(0,1)内至少有一点E，使)=1。参考答案一。填空题(每小题3分，本题共15分)1、e62、k=13、4、y=15、f(x)=2cos2x单项选择题(每小题3分，本题共15分)1、D2、B3、C4、B5、A三计算题(本

18、题共56分，每小题7分)1.解：lim_2二lim=2limxtosin2xxtosin2x(&4+x+2)2x-osin_1in2x(.4+x+2)82x7分7分11ex1xex1解:lim(_)二lim二lim二limxtoxex1xtox(ex1)xtoex1+xexxtoex+ex+xex23、解：cosxJet2dtlim-xt0 x2sinxecos2x=limxt02x2e7分第i4页共7i页第i4页共7i页x2xxx4分7分4分）7分）7分）7、解：Jexcosxdx=Jcosxdex=excosx+Jexsinxdx2分=excosx+Jsinxdex3分=excosx+ex

19、sinx-Jexcosxdx5分=ex(sinx+cosx)+C7分8、解:(x一1)dx=Jlf(x)dx=Jof(x)dx+Jlf(x)dx.0-1-10=Jodx+Jidx-11+ex01+x.2分.3分第一章函数与极限第 页共71页第 页共71页=f(1-)dx+ln(l+x)15分TOC o 1-5 h z_i1+exo二1ln(1+ex)|0+ln2.6分1=1+ln(1+e1)=ln(1+e)7分四应用题(本题7分)解：曲线y二x2与x二y2的交点为(1,1),1分于是曲线y二x2与x二y2所围成图形的面积A为4分A=f(任x2)dx=2x21x21=133o3A绕y轴旋转所产生

20、的旋转体的体积为:V=Kjk：y)2y4dy=n013=兀1007分五、证明题(本题7分)2分证明：设F(x)=f(x)一x，显然f(x)在_2，1上连续，在(，1)内可导，且F(2)=20，F(1)=10.由零点定理知存在x1e2,1，使F(x1)=04分由F(0)=0，在0,x1上应用罗尔定理知，至少存在一点ge(0,x1)u(0,1)，使F崔)=f(g)1=0，即代)=17分函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。1、函数一、集合、常量与变量集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C等来表，组成集合的各

21、个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aeM(读a于M)；若事物a不是集合M的一个元素，就记a电M或aeM(读a不属于M)；集合有时也称为集。1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。2：集合的表示方法：(i)、若集合为有限集，就可用列举出其全体元素的方法来表示，如：A=1,2,3,AA,10,B=一只猫，一只狗，一只鸡；、对无限集，若知道其元素的规律，也可类似写出，如：A=1,2,3,AA为全体自然数集，B=2,4,6,AA为全体偶数集；、列不出全体元素或找不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质，那么该集合可表示为：A=x|x所具有的某种性质，即：有此性质

22、的必在A中，且A中的元素必须有此性质。如：A=x|x3+5x2+7x+3=0；B=x|x为我校的学生；C=(x,y)|点(x,y)在。中等。全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。4：集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xeA，必有xeB，就A为B的子集，记为AuB，或B二A(读B包含A)。显然：NuZuQuR.若AuB,同时BuA,就称A、B相等,记为A=B。5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：1,2,2,3=1,2,3。6：不含任何元素的集称为空集，记为，如:xx2+1

23、=0,xeR=,x:2x=-1=，空集是何集合的子集，即uA。7:区间：所有大于a、小于b(aVb)的实数组成一个集合，称之为开区间，记为(a,b),即,b)=x|a兀x兀b同理：a,b=x|axb为闭区间，la,b)=x|ax兀b和(a,b!=x|a兀xb分别称为左右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。对无穷区间有：(一卩b】=xxb,(a,+s)=xa兀x,(g,+g)=x|s兀x兀+s=R,在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。8邻域：设a和6为两个实数，且00.集合x|x-兀称为点a的6邻域，记为U(a,6),a该邻域的中

24、心，6为该邻域的半径，事实上，U(a,6)=x|a-6兀x兀a+6=(a-6,a+6)。同理：我们称UG,6)=x|0兀|x-a|兀6为a的去心6邻域，或a的空心6邻域。9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均变量。注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如

25、在一或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。2：常量一般用a,b,c等字母表示，变量用x,y,u,t等字母表示，常量a为一定值，在轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：xe(a,b)示x可代表(a,b)中的任一个数。二、函数的概念例】正方形的边长x与面积S之间的关系为：S=x2，显然当x确定了，S也就确定了。就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、互约束着。义：设x和y为两个变量,，D为一个给定的数集，如果对每一个xeD

26、，按照一定的法则f变量y总有确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为y=f(x).数集D称为该函数的定例8】符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。第 页共71页例8】符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。第 #页共71页例5】书上的几个例子。(同学们自己看)第 页共71页义域，x叫做自变量，y叫做因变量。当X取数值xGD时，依法则f的对应值称为函数y=f(x)在x二x时的函数值。所有函数组成的集合W=y|y=f(x),xgD称为函数y=f(x)的值域。1：函数通常还可用y=g(x),y=F(x),s=u(t)等表示。2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切

27、实数值的全体。例1】y=sinx的定义域为(-卩+)，值域为-1,1。例2】y=订1+x的定义域为-1,+s)，值域为0,+Q。x20兀x1例3】y=*x=0的定义域为-1,1，值域为0,2。1-x-1x兀0 x例4】f(x)三1的定义域为(-8,+8)，h(x)=的定义域为(-8,02(0,+8)，从而显然x(x)丰h(x)。3、若对每一个xgD，只有唯一的一个y与之对应，就称函数y=f(x)为单值函数；若有不一个y与之对应，就称为多值函数。如：x2+y2=1,x2-y2=1等。以后若不特别声明，只讨单值函数。4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式

28、来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x在(0,1上取值，其函数值x2；当x取0时，f(x)=丄；当x在-1,0)上取值时，其函数值为1-x。(这种函数称为分段2数，在以后经常遇见，希望注意！)尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！5、对D中任一固定的x，依照法则有一个数y与之对应，以x为横坐标，y为纵坐标在坐标面上就确定了一个点。当x取遍D中的每一数时，便得到一个点集C=(x,y)|y=f(x),xgD，们称之为函数y=f(x)的图形。换言之，当x在D中变动时，点(x,y)的轨迹就是y=f(x)的图。例6】例3的图形如下图三、函数的几种特性函数的有界性：设y=

29、f(x)在D上有定义，若对VxeD,3M0，使得：|f(x)|M,就称f(x)D上有界，否则称为无界。:1、若对VxeD,3M，使得f(x)M)，就称f(x)在D上有上(下)界。f(x)在D有界of(x)在D上同时有上界和下界。2、f(x)在D上无界也可这样说：对VM0，总3x0eD，使得|f(x。)M。例7】上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。函数的单调性：设函数f(x)在区间I上有定义，若对Vx、xeI,当x兀x时总有：1212f(x)f(x)，就称f(x)在I上单调递减，特别当严格不等式f(x)f(x)成立时，1212称f(x)在I上严格单调递减。：1、此处

30、的定义与书上有区别，希望注意！2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。第 页共71页第 页共71页例9】y=1在(0,+s)上是严格单减函数。x例10】例3中的函数在定义域-1,1上不是单调的，但在-1,0)上是严格单减的，在(0,1上严格单增的。函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D为对称于原点的数集，即若xeD，有-xeD,)若对VxeD，有f(-x)=f(x)恒成立，就称f(x)为偶函数。)若对VxeD，有f(-x)=-f(x)恒成立，就称f(x)为奇函数。例11】y=x2，y二cosx,y=|x|，是偶函数，y=x3，y=sinx，

31、y二sgnx，是奇函数。y=x2+x3，y=cosx+sinx是非奇非偶函数。例11】*y=ln(x+J1+x2)是奇函数。：1、偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。2、若f(x)是奇函数，且0eD，则必有f(0)=0。3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也偶函数；一奇一偶的积为奇函数。4、周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果31丰0，使得对VxeD，有x土leD，且(x+1)=f(x)恒成立，就称f(x)为周期函数，1称为f(x)的周期。例12】y=sinx,y=cosx,y=tgx分别为周期为2兀,2兀,兀的周期函数，y

32、=x-x为周期为1函数。1：若1为f(x)的周期，由定义知21,31,41AA也都是f(x)的周期，故周期函数有无穷多个周期,通常说的周期是指最小正周期(基本周期)，然而最小正周期未必都存在(为什么？)例如：y=sin2x+cos2x三1，设有最小正周期。2：周期函数在一每个周期(a+k1,a+(k+1)1)(a为任意数，k为任意常数)上，有相同的形状。四、反函数设f(x)的定义域为D，值域为W,因此，对VyeW，必3xeD，使得f(x)=y，这样的x可不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x=申(y)，称为函数y=f(x)的反函数，而f(x)叫做直接函数。1：

33、反函数x=申(y)的定义域为W，值域为D；2：由上讨论知，即使y=f(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作究；3:在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x=申(y)中的x与y对换一下，=f(x)的反函数就变成y=申(x)，事实上函数y=申(x)与x=申(y)是表示同一函数的，因为，示函数关系的字母冷没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说:若y=f(x)反函数为x=申(y)，那么y=(x)也是y=f(x)的反函数，且后者较常用；4：反函数y=申(x)的图形与直接函数y=f(x)的图形是对称于y二x(证明很简单，大家自看书)；5：有些书上，对反函数的

34、定义与此不同，希加与之区别。例13】函数y=ax+b,y=x2,y=x3的反函数分别为：x=-_b,x二土,jy,x=y3或分别为a_x_b_亠厂_丄,yyx,yx3。a1、2初等函数一、幂函数如yx卩(卩为常数)的函数叫做幂函数。定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：当卩为非负整数时，定义域为(-8,+8)；当卩为负整数时，定义域为(_8,0)U(0,+8)；当卩为其它有理数时，要视情况而定。【例1】y=x3的定义域为（-+8）；丄3y=x2,y=x4的定义域为0,+s）；y=x2的定义域为（0,+s）。4）当卩为无理数时，规定其定义域为（0,+），其图形也很复杂，但不论卩取何值，图形总过（1

35、,1）点，当卩0时，还过（0，0）点。二、指数函数与对数函数指数函数：形如y二ax（a0,a丰1）的函数称为指数函数，其定义域为（-卩+），其图形总在轴上方，且过（0，1）点，1）当a1时，y=ax是单调增加的；2）当0a0,a丰1）,称为对数函数，a定义域为（0,+s），由前面反函数的概念知：y=ax的图形和y=logx的图形是关于y二x对称a，从此，不难得y=logx的图形，ay=logx的图形总在y轴右方，且过（1，0）点a1）当a1时，y=logx单调递增，且在（0，1）为负，（1,+s）上为正；a2）当0a1时，y二logx单调递减，且在（0，1）为正，（1,+）上为负；a别当a取e

36、时，函数记为y=Inx，称为自然对数函数。三、三角函数与反三角函数三角函数三角函数主要是：正弦函数：y=sinxxe(s,+g)余弦函数：y=cosx正切函数：y=tanx余切函数：y=cotxxe(一也+8)兀x丰n兀+n=0,l,2,AA2x丰n兀n=0,1,2,AA正弦函数和余弦函数均为周期为2兀的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为兀的周期数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割=secx=一1一和余割y=cscx=-，其图形在此不做讨论了。cosxsinx反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数：y=Arcsinxxe

37、-1,1反余弦函数：y=Arccosxxe-1,1反正切函数：y=Arctanxxe（一也+）反余切函数：y=Arccotxxe（一卩+）然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：y=Arcsinx限制在-一，一上，得一单值函数，记为y=arcsinx，它就是所取主值函数,22,叫做主值区间，显然-上arcsinx，2222理：将y=Arccosx限制在0,兀上，得y=arccosx得y=arctanx兀兀将y=Arctanx限制在-齐上,将y=Arccotx限制在0,兀上，得y=arccotx.图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的，arcco

38、sx和arccotx是单调递减的。第 页共71页第 页共71页2第 页共71页四、复合函数和初等函数y=f(u),定义域为D,u=申(x),定义域为D,值域为W,且WuD,这样对于VxeD,122212u=(x)可算出函数值ueWuD，所以ueD，由y=f(u)又可算出其函数值y，因此对于211xeD，有确定的值y与之对应，从而得一个以x为自变量，y为因变量的函数，我们称之为y=f(u)为外函数，u=申(x)为内函数复合成的复合函数，记为y=f(p(x)，其中u为中间变例1】y=sin2x就是y=u2和u二sinx复合而成；y=cosx2就是y二cosu和u=x2复合而成。1：并非任何两函数都

39、可以复合的，例如：y=arcsinu和u=2+x2不能复合；y=、：u和u=-1-x2也不能复合。2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如：y=tan(lnx)2就是y=tanu,u=v2,v=lnx复合成的。3：在函数复合中，未必都有y=f(u)、u=申(x)的形式，一般为y=f(x)和y=g(x)，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有y=f(x)和y=g(x)之分。初等函数我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称初等函数。例2】y=V1+x,y=1一2

40、x,y=sin2x,y=tan(lnx)2,y=arctan+血x等都是初等函数。1一sinx本教材讨论的主要都是初等函数。五、双曲函数和反双曲函数双曲正弦：ex-e-xy=shx=xe(-8,+g)双曲余弦：y=chx=+w*xe(一也+)双曲正切：y=thx=xe(一也+)chxwx+e-x反双曲正弦：y=arshx=ln(x+x2+1)xe(g,+g)反双曲余弦：y=archx=ln(x+x21)xe1,+s)(多值函数y=ln(x+px21)取“+”号为主值)反双曲正切：y=arthx=ln1+xxe(1,1)21x于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。1、

41、3数列的极限所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列(排)。在数学中，我们可用这样的话定义：义：数列是定义在自然数集上的函数，记为x=f(n),n=1,2,3AA，由于全体自然数可以n从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：x,x,AAxAA，这就是最常12n见的数列表现形式了，有时也简记为仁或数列x。数列中的每一数称为数列的项，第nnn项x称为一般项或通项。n多边形的面积数列)例1】书上用圆内接正6x2n-1边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列A,A,AAA,AA12n例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列丄,丄，丄,AA丄,AA

42、，通项为丄。222232n2n例3】1丄丄,AA1AA;1,1,AA,(1)n-1,AA;23n2,4,6,AA,2n,AA;2,-,4,AA,AA;23n都是数列，其通项分别为1,(-1)n-i,2n,n1。nn注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将x依次在数轴上描出点的位置，我们n能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，仕打是无限接近于0的；皿是无限增大的；1)n-j的项是在1与-1两点跳动的，不接近于某一常数；匕1无限接近常数1。对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，就是常说的数列的极限问题。我们来观察|山!的情况。从图中不难发现上1随着n

43、的增大，无限制地接近1,亦即n充nJn大时，与1可以任意地接近，即n匕1-1可以任意地小，换言之，当n充分大时n1二1100,n100n+11/1同理若取-1由n+11丄JO1上王?丿仁1丄七人匕?口Q1n10010000n.，当n100时，有11Vn10000nn10000，以小于预先给定的无论多么小的正数。例如，取一硕，由字J从第101项开始，以后的项x101=晋，x102=晋AA都满足不等式1100，或者山从第10001项开始，以后的项x10001=1000|,仏=続小都满足不等式广110000时，有11。一般地，不论给定的正数多么小,10000存在一个正整数N，当nN时，有山-10（不

44、论8多么小），总3自然数N0，使得当nN时都有|x-a成立，n这是就称常数a是数列x的极限，或称数列x收敛于a，记为limx=a，或xTannnnnTg（nTa）如果数列没有极限，就说数列是发散的。例4】证明数列2扌4,罟，AA收敛于1。明：对v80，要使得只须n18当nN时，有1N时，有|x-a0，因为118，因为na2a2-n(、n2+a2+n)n（此处不妨设a丰0，若a0，显然有lin2+a21）nTan所以要使得n2+a2只须吐a2.所以取N-聖，当nN时，因为有伫888n所以En2+a2二1。nT83：有时找N比较困难，这时我们可把|x-a|适当地变形、放大（千万不可缩小）若放大后n

45、小于，那么必有|x-a。n例3】设1，证明1,q,q2,AA,qn-1,AA的极限为0，即limqn-1=0。ns明：若q=0，结论是显然的，现设0|q|0，（因为越小越好，不妨设1）,要使得qn-1-0，即|q|n-1，只须两边放对数后，（n-1）ln|q|In成立就行了。因为0q1，所以in|qlnlnqnn1+屹lnq取N=1+lnlnq所以当nN时，有|qn-1-00，必分别3自然数N,N，当nN时，有|x-a|N时，有|xb|N时，（1）,（2）同时成立。2n122现考虑：|ab=|(xb)(xa)W|x+|xa|+nnnn由于a,b均为常数na=b，所以x的极限只能有一个。n：本定

46、理的证明方法很多，书上的证明自己看。例4】证明数列x=（1）n+1是发散的。n明：(反证法)假设x收敛，由唯一性，设limxnnns=，考虑|x-x|A|x2n+1nn+1=a,按定义，对*=3自然数N,2a+|xaN总是一个“1”，一个“1”，所以|xx|=1，所以矛盾,n+1n所以x=(1)n+1发散。n理2.(有界性)若数列x收敛，那么它一定有界，即：对于数列x，若3正数M，对一切nnn，有|x|N时，|xa|N时，TOC o 1-5 h znnns|x|xa+|a|1+|a|，令M=Max|xI，|xAA|x|,1+|a，显然对一切n，|x|M。nn12Nn:本定理的逆定理不成立，即有

47、界未必收敛。例如数列x=(1)n+1是有界的(|x|0(不论它多么小)，总350，使得对于适合不等式0|x-x|5的一切x所对应的函数值f(x)满足：f(x)-A|0，有0|x-x|5，即xGU(,5)。显然5000越小，x与x接近就越好，此5与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依赖于8。0一般地，8越小，5相应地也小一些。2：定义中00，作两条平行直线y=A+8,y=A-8。由定义，对此8,350。当x-5xx+5，且x丰x时，有A-8f(x)0，可取任一正数5，当0|x-x|5时，f(x)-A|=|C-C|=00，要使得|(ax+b)-(ax+b)=|a(x-x)=|a|x-x|0显然

48、当卜-xo|6时，有(ax+b)一(ax+b)|0,因为a丰1,所以x-1h0.n2x+121x32x+133(2x+1)X2一12x2x1此处x-1,即考虑x0二1附近的情况，故不妨限制x为0|x1|1,即0 x1,n莎莉x1|T要使,只须x11，3即|x1|3s取6=min1,3s（从图形中解释），当0|x1|0(A0，当xeU(,6)时，f(x)0(f(x)0(f(x)0(A0的情形。取s=，由定义，对此,360，当xeU(,6)时,20If(x)A|s=A，即0A=AAf(x)0。A当A0时，取s=，同理得证。2(ii)(反证法)若A0，由(i)nf(x)0。当f(x)”，“”，“0，

49、未必有A0。在函数极限的定义中，x是既从x的左边(即从小于x的方向)趋于x,也从x的右边(即0000大于x的方向)趋于x。但有时只能或需要x从x的某一侧趋于x的极限。如分段函数及在0000间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：义2：对Vs0，350，当x-6xx时，当xxx+6时，有f(x)-Al0 xa(a0)时是有定义的，若对V0,3X(a)，当|x|X时，有f(x)-A0,3X0，当|x|X(x-X)时，有|f(x)-A|0,sinx1，所以要使得sinx0 xxx因为Sin-0 xX时，有ssinx00,若350(X0),使得当0|00|x-x05(|x|X)时，有If(x

50、)|0,350(X0)，使得当0|x-x0X)时，有f(x)|M，就称f(x)当xTx(xTs)时的无穷大，记作：limf(x)=s(limf(x)=g)。0 xTxxTs01：同理还有f(x)T-g,f(x)T+g时的定义。2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。3：若limf(x)=g或limf(x)=s，按通常意义将，f(x)的极限不存在。xTx0 xTg例2】可证明lim丄=s，所以当xT0时丄为无穷大。xT0 x2x2理2：当自变量在同一变化过程中时，若f(x)为无穷大，则丄为无穷小。f(x)若f(x)为无穷小，且f(x)丰0，则丄为无穷大。f(x)证明自己看)1、6极限运

51、算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设lima=0,lim卩=0nlim(a+p)=0(证明在后面)。1：u与a都表示函数u(x)与a(x)，而不是常数。2：“lim”下放没标自变量的变化过程，这说明对xTx及xTs均成立，但须同一过程。0理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u有界，lima=0nlimua=0。明：证明xTx时的情况，设函数u在x的某邻域U(x,5)内有界，即3M0，当xgU(x,5)000101时，有|u|0,350(55),xTx0gg当xgU(/,5)时，有|a|n|ua|=|u|a|0

52、,380，当0|x-x|5时,有If(x)-A|0，01101当0|x-x|8时，有|g(x)-B|-，取0228时，有8=min8,8，当0|x-x1210e(f(x)+g(x)-(A+B)|=1(f(x)-A)+(g(x)-B)|If(x)-A|+|g(x)-BV(x)，且lim申(x)=a,lim屮(x)=b，则ab。例1】例2】论1：lim(ax+b)=limax+limb=alimx+b=ax+b。xTx0 xTx0 xTx0 xTx0limxn=limxn=xn。0 xTx0 xTx0设f(x)=axn+axni+AA+ax+a01n1为一多项式，当limf(x)=axn+axn1

53、+AA+ax0010n10 xTx0+a=f(x)。n0论2：设P(x),Q(x)均为多项式，且Q(x)丰0，由定理5,0lim竺=dxTx0Q(x)Q(x0)例3】lim(x25x+10=125x1+1=3。xtI第 页共71页第 页共71页0第 页共71页例4】limx3+7x一9_+7%0一9_-3(因为05-0+3)xT0 x5-x+305-0+3:若Q(x)二0，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。0例5】求limx2+x-2xt12x2+x3:当xT1时，分子、分母均趋于0,因为x幻，约去公因子(x-1),所以x2+x-2x+2lim_limxT12x2+x-3xT12x+3_

54、35例6】求lim(一)。xT-1x+1x3+113.:当xT-1,丄，亠全没有极限,x+1x3+1故不能直接用定理3,但当x鼻-1时,(x+1)(x-2)(x+1)(x2x+1)lim(1-xT-1x+1x3+1-1-23)_彗J1(-1)2-(-1)+1例7】求limx2xT2x-2TOC o 1-5 h zx-22-2:当xT2时，x-2T0，故不能直接用定理5，又x2t4，考虑：lim_0，xT2x24由1.5定理2(ii)nlim_g。xT2x-2例8】设a丰0,b丰0,m,n为自然数,a0b000十axn+axn-1+AA+alim1_xTgbxm+bxm-1+AA+b01m明:当

55、xTg时,分子、分母极限均不存在,故不能用1.6定理5,先变形:十axn+axn-i+AA+a十lim01n=limXn-mXT8bXm+bXm-1+AA+bXT801m0 xanxnbm-a+0+AA+010b+0+AA+00a+0+AA+0=0b+0+AA+00a+0+AA+0g0b+0+AA+00例9】求lim(丄+AA+)。n*n2n2n2:当nTg时，这是无穷多项相加，故不能用1.6定理3,先变形:原式=lim丄(1+2+AA+n)=lim丄-n(n+1)=lim=-nTgn22例10】证明limW=1,U为x的整数部分。Xx-x明：先考虑1=，因为X-X是有界函数，且当XTg时,1

56、.6定理2nlim_=0nlim(1-W)=0nlimW=1。XTgXXTgXXTgXnTgn2nTg2n21T0，所以由XxTgxTg1.7极限存在准则、两个重要极限则I：如果数列X,y,z满足下列条件：nnn对Vn,yx0,3N0，当nN时，有|y-a|s，即TOC o 1-5 h znn11nnTgnTga-syN时，有|z一a|s，即a-sza+&，又因为n22nnyxN=MaxN,N时，有a-syxza+s，nnn12nnn即有：a-sxa+s，即|x一a|M)时，有g(x)f(x)h(x)。当xTx(xTs)时，有g(x)TA,h(x)TA。0那么当xTx(xTs)时，f(x)的极

57、限存在，且等于A。明：作单位圆，如下图：兀设x为圆心角ZAOB，并设0 x-见图不难发现：SSS，即:2AAOB扇形AOBAAOD为准则I的应用，下面将证明第一个重要极限：lim=1。xT0 xsinx-xtanx，即sinxxtanx,222xsinxcosxsinxncosx1x(因为0 x-，所以上不等式不改变方向)2当x改变符号时，cosx,-sinxsinxx，有cosx1。x及1的值均不变，故对满足0|x|1一2-4x2所以1-cosx12而limcosx=lim1=1xT0 xT0nlimcosx=1xT0sinxnlim=1，证毕xT0 xCSinX令t=arcsinxt1例1

58、】lim=lim=lim=1。XTOXtTOsinttTOSintt例2】例3】sinxlimsin(兀一x)sint=lim=lim-XT冗x一兀t=兀一xt0例4】tan3Xsin3Xlim=lim3-XT0XXT03X=311=3。cosX12sm2(-)1一cosx2lim=limxT0 x2xT0 x2xsinlim(2xT0 x)2则II：单调有界数列必有极限如果数列x满足：xxxxAAnxnAA,就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减2n列和严格单减数列。如果3M，使得：xM(n=1,2,AA)，就称x有下界。n则II：单调上升，且有上界的数列必有极限。则1

59、1：单调下降，且有下界的数列必有极限。1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。2：准则II,II,II可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。为准则II的一个应用，下面来证明极限lim(1+丄)x是不存在的。xTWx考虑x取正整数时的情形：lim(l+丄)nnTwn于ba0，有不等式：(n+1)bn，即：bn+1-an+1bn(n+1)a一nbi)现令a=1+,b=1+丄，显然ba0，因为(n+1)a一nb=n+1+1_(n+1)=1将其代入,n+1nii)所以(1+)n+1(1+_)nn+1n又令a=1，b=1+丄，2n所以1(1+丄)n12n2，所以(1+-)n为单调数列。

60、n即对Vn,x(1+丄)nn4(1+丄)2n，2n2n(1+-)2n+1(1+1一)2n+20,3N，当nN,mnN时,|x一xI0bXmxtO0a0-b0a0b0mn见对于m,n取不同数时，axn与bxm趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或00类：义：设a与P为x在同一变化过程中的两个无穷小，)若lim=0，就说P是比a高阶的无穷小，记为卩=o(a)；a若lim=s,，就说P是比a低阶的无穷小；a若limP=C丰0,，就说是比a同阶的无穷小；av)若lim=1，就说与a是等价无穷小，记为a。a例1】当XT0时，X2是x的高阶无穷小，即x2=o(x)；反之x是x2的低阶无穷小；X2