新编专升本辅导第4讲补充微分中值定理课件

1、新编专升本辅导第4讲补充微分中值定理新编专升本辅导第4讲补充微分中值定理函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于时, 函数的极限值.在点 x 处的差商导数与差商函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于时, 函数的极导数与差商相等！导数与差商相等！将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. 也就是说, 至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线极值的定义极值的定义一. 费马定理 设函数f(x)在点 的某领域 内有定在 处可导，如果对任意那么义

2、，并且有一. 费马定理 设函数f(x)在点 的某领域 内有费马定理的几何解释 如何证明？费马定理的几何解释 如何证明？证 不妨设 时， （如果从而当 时，可类似的证明）. 于是，对于 ，有当 时证 不妨设 时， （如果根据函数f (x)在 可导的条件极限的保号性，便得到所以根据函数f (x)在 可导的条件极限的保号性，便得到所以二. 罗尔中值定理设则至少存在一点定理二. 罗尔中值定理设则至少存在一点定理 实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.最小值至少各一次.证最小值至少各一次.证最小值至少各一次.由费马定理可知：最小值至少各一次.由费马定理可知：例1证其中,例

3、1证其中,综上所述,综上所述,连续可微端点函数值相等例2分析连续可微端点函数值相等例2分析例2证由罗尔定理, 至少存在一点例2证由罗尔定理, 至少存在一点 分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 . 分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 且满足罗尔定理其它条件,例3证且满足罗尔定理其它条件,例3证想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析例4证则由已知条件可知:例4证则由已知条件可知:该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后, 能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后, 能否再一次使例5证

4、例5证例6证例6证三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理 切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理来证明？ 切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理来证明？则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点证则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点证拉格朗日有限增量公式拉格朗日有限增量公式某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t还有什么？还有什么？推论 1推论 1推论 2( C 为常数 )推论 2( C 为常数 )推论

5、3 用来证明一些重要的不等式推论 3 用来证明一些重要的不等式推论 4 用来判断函数的单调性推论 4 用来判断函数的单调性在推论 4 中, 在推论 4 中, 推论 5则再由推论 4 , 即得命题成立 . 该推论可以用来证明不等式.证推论 5则再由推论 4 , 即得命题成立 . 该推论可以用解例7解例7故从而例8证故从而例8证例9证例9证例10证延拓!例10证延拓!例11证从而例11证从而例12解例12解例13解例13解又故从而即例14证又故从而即例14证则又且故即例15证则又且故即例15证四. 柯西中值定理设则至少存在一点四. 柯西中值定理设则至少存在一点有人：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了.有人：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定故 由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证故 由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证分析例16分析例16例16证例16证新编专升