西安工业信号检测与估计SDE-10bch7最大似然估计Review课件

1、西安工业信号检测与估计SDE_10bch7最大似然估计Review西安工业信号检测与估计SDE_10bch7最大似然估计Rev似然函数LF 概率密度函数PDFp(x)=？p(x;A)=？p(x,y)=？p(x|y)=？2022/9/92SDE_09 MLE似然函数LF 概率密度函数PDFp(x)=？2MLE基本原理 Rationale for MLE Choose the parameter value that: 选择待估参数makes the data you did observe使得所观测数据 the most likely data to have been observed! 与

2、那个参数所决定的分布间是最相似的。Consider 2 possible parameter values: 1 & 2 考虑Ask the following: If i were really the true value, what is the probability Pi that I would get the data set I really got ?如果i是真实值，那么我所得到的数据集的概率是怎样的？So if Pi is smallit says you actually got a data set that was unlikely to occur! Not a g

3、ood guess for i !p2= p(x; 2) dxBut p1= p(x; 1)dx 选择 使得 达到最大pick so that is largest2022/9/93SDE_09 MLEMLE基本原理 Rationale for MLE ChoGeneral Proceduremaximizes the likelihood functionlikelihood functionNote :Because Ln(z) is a monotonically in creasing function， also maximizes Lnp(x;)1 Find log-likelih

4、ood function ; ln p(x; )2 对求偏导Differentiate w.r.t. :3 Set to zero: =04 sole for value一般程序 General Procedure2022/9/94SDE_09 MLEGeneral Proceduremaximizes the7.5 MLE的性质 Properties of MLEThe MLE is asymptotically 渐近1 unbiased 无偏的2 efficient 有效的3 Gaussian PDF 服从高斯分布的一般而言，如果真的有一个有效估计方法存在，MLE一定能够找到它！ Also

5、, if a truly efficient estimator exist, then the ML procedure finds it! a 渐近分布于The asymptotic properties are captured in Theorem 7.1:If p(x;) satisfies some “regularity” conditions, then the MLE is asymptotically distributed according towhere I() = Fisher Information Matrix2022/9/95SDE_09 MLE7.5 MLE

6、的性质 Properties of MLET蒙特卡洛仿真 Monte Carlo SimulationIllustrate for deterministic signal sn; in AWGNData Collection: 1. Select a particular true parameter value, 挑选一个真值true-you are often interested in doing this for a variety of values of 多个估计值 so you would run one MC simulation for each value of inte

7、rest每个进行一次 2. Generate signal having true : sn;t (call it s in matlab)产生信号值 sn;t 3. Generate WGN having unit variance产生噪声w w =randn( size(s) ); 4. Form measured data构造观测值 : x = s + sigma*w; -choose to get the desired SNR -usually want to run at many SNR values do one MC simulation for each SNR value

8、 5. Compute estimate from data x 从数据X中计算估计值 6. Repeat steps 3-5 M times 重复35步 M 次 -(call M “# of MC runs” or just “# of runs” ) 7. Store all M estimates in a vector EST (assumes scalar ) 保存M个估计值 A methodology for doing computer simulations to evaluate performance of any estimation method，对于估计质量进行计算机

9、仿真的通用方法Not just for the MLE!2022/9/96SDE_09 MLE蒙特卡洛仿真 Monte Carlo SimulationI蒙特卡洛仿真 Monte Carlo Simulation con.Statistical Evaluation统计计算:1. Compute bias 计算偏差2. Compute error RMS 计算标准差3. Compute the error Variance4. Plot Histogram or Scatter Plot (if desired)Now explore (via plots) how: Bias, RMS, a

10、nd VAR vary with: value, SNR value, N value, Etc.Today：Monte Carlo Results for ML Phase Estimation2022/9/97SDE_09 MLE蒙特卡洛仿真 Monte Carlo Simulation 7.7:MLE数值的确定 Numerical Determination of MLE有时无法获得闭合形式的估计公式；采用以下网格搜索法 迭代法 Newton-Raphson方法、得分法、数学期望最大算法If 1 r0， ，求过程的功率谱密度。 解：应将积分按 和 分成两部分进行 求过程的功率谱密度202

11、2/9/930SDE_09 MLE例：平稳随机过程的自相关函数为 例：设 为随机相位随机过程其中， 为实常数 为随机相位，在 均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为 求 的功率谱密度 。求过程的功率谱密度2022/9/931SDE_09 MLE例：设 为随机相位随机过程求过程的功率谱密度202解：注意此时 不是有限值，即不可积，因此 的付氏变换不存在，需要引入 函数。求过程的功率谱密度2022/9/932SDE_09 MLE解：注意此时 不是有限值，即例：设随机过程 ，其中 皆为常数， 为具有功率谱密度 的平稳随机过程。求过程 的功率谱密度。 解： 求过程的功率谱密度20

12、22/9/933SDE_09 MLE例：设随机过程 1 功率谱密度为非负的,即 证明：2 功率谱密度是 的实函数 平稳随机过程功率谱密度的性质3 对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，即4 功率谱密度可积，即 2022/9/934SDE_09 MLE1 功率谱密度为非负的,即 证明：2 功率谱密度是 3 对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，即证明：是实函数又2022/9/935SDE_09 MLE3 对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，即证4 功率谱密度可积，即 证明：对于平稳随机过程，有： 平稳随机过程的均方值有限2022/9/936SDE_09 MLE4 功率谱密度可

13、积，即 证明：对于平稳随机过程，有： 平稳随二 谱分解定理 1 谱分解 在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为 的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近 。这时 可以表示为两个多项式之比，即 2022/9/937SDE_09 MLE二 谱分解定理 1 谱分解 在平稳随机过程中有一大 若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式： 2022/9/938SDE_09 MLE 若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理 据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于 的零、极点的如下

14、性质：（1） 为实数。 （2） 的所有虚部不为0的零点和极点都成复共轭出现。 （3） 的所有零、极点皆为偶重的。 （4） MN。 2022/9/939SDE_09 MLE 据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于 2 谱分解定理 根据上面的性质，可将 分解成两项之积，即： 其中（零极点在s上半平面）（零极点在s下半平面）且谱分解定理 此时2022/9/940SDE_09 MLE2 谱分解定理 根据上面的性质，可将 3 为有理函数时的均方值求法（1）利用 （2）直接利用积分公式 （3）查表法 （4）留数法 2022/9/941SDE_09 MLE3 为有理函数时的均方值求法（1）利用 （预

15、备知识：留数定理 设为 复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点 则： 一阶留数 二阶留数 2022/9/942SDE_09 MLE预备知识：留数定理 设为 复变量s的 上式积分路径是沿着 轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半园积分。根据留数定理，不难得出2022/9/943SDE_09 MLE 上式积分路径是沿着 轴，应用留数法时，要求积分例: 考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度 求过程的均方值解: 用复频率的方法来求解。用 代入上式得用复频率s表示得功率谱密度：2022/9/944S

16、DE_09 MLE例: 考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度 求过因式分解： 在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点的留数为： 故：2022/9/945SDE_09 MLE因式分解： 在左半平面内有两个极点2.2 联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度 考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为 和 ，定义两个截取函数 、 为：2022/9/946SDE_09 MLE2.2 联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度 考 因为 、 都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围 (-T，T)内，两个随机过程的互功率 为:（注意

17、、 为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均） 由于 、 的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:2022/9/947SDE_09 MLE 因为 、 都满足绝 注意到上式中， 和 是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令 得： 2022/9/948SDE_09 MLE 注意到上式中， 和 是任一样本函 定义互功率谱密度为：则2022/9/949SDE_09 MLE 定义互功率谱密度为：则2022/9/351SDE_09 同理，有：且2022/9/950SDE_09 MLE同理，有：且2022/9/352SDE_09 MLE二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数 功率谱密度

18、F互相关函数 互谱密度 F 定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度 与互相关函数 之间的关系为 即2022/9/951SDE_09 MLE二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数 功率谱若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。2022/9/952SDE_09 MLE若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即结论：对于两个三、互谱密度的性质性质1：证明： （令 ） 2022/9/953SDE_09 MLE三、互谱密度的性质性质1：证明： （令 性质2： 证明： （令 ）

19、 同理可证2022/9/954SDE_09 MLE性质2： 证明： （令 ） 性质3： 证明：类似性质2证明。性质4： 若X(t)与Y(t)正交，则有 证明：若X(t)与Y(t)正交，则 所以2022/9/955SDE_09 MLE性质3： 证明：类似性质2证明。性质4： 若X(t)与Y(t性质5： 若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值 和 ，则 证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以（ ）2022/9/956SDE_09 MLE性质5： 若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别性质6： 例：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数 为:

20、求互谱密度 ， 。2022/9/957SDE_09 MLE性质6： 例：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互解： 2022/9/958SDE_09 MLE解： 2022/9/360SDE_09 MLE2.3 离散时间随机过程的功率谱密度一 离散时间随机过程的功率谱密度1 平稳离散时间随机过程的相关函数 设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为:简写为： 2022/9/959SDE_09 MLE2.3 离散时间随机过程的功率谱密度一 离散时间随机过程的2 平稳离散时间随机过程的功率谱密度 当 满足条件式 时，我们定义 的功率谱密度为 的

21、离散傅里叶变换，并记为 T是随机序列相邻各值的时间间隔。 是频率为 的周期性连续函数，其周期为 奈奎斯特频率 2022/9/960SDE_09 MLE2 平稳离散时间随机过程的功率谱密度 当 因为 为周期函数，周期为 ， 在 时2022/9/961SDE_09 MLE因为 为周期函数，周期为 ， 在 3 谱分解 z变换定义 在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为 的z变换，并记为 ，即 式中式中，D为在 的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。2022/9/962SDE_09 MLE3 谱分解 z变换定义 在离散时间系统的分析中， 性质 （因为 ） 谱

22、分解定理 设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率谱密度函数 。则 可分解为： 其中包含了单位圆之内的全部零点和极点包含了单位圆之外的全部零点和极点2022/9/963SDE_09 MLE 性质 （因为 例：设 ，求 和解：将z= 代人上式，即可求得2022/9/964SDE_09 MLE例：设 连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFT2022/9/965SDE_09 MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程自相关函数功率谱密度连续时间确知信号离散时间确知信号采样香农采样定理2022/9/966SDE_09 MLE连续时间离散时间

23、采样香农采样定理2022/9/368SDE_连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样2022/9/967SDE_09 MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样2022/9/其中，T为采样周期， 为在 时对 的采样。1 确知信号的采样定理(香农采样定理) 设 为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围 ，当采样周期T小于或等于 时，可将 展开为二 平稳随机过程的采样定理2022/9/968SDE_09 MLE其中，T为采样周期， 为在 时对 连续时间确知信号离散时间确知信号采样香农采样定理2022/9/969SDE_09 MLE连续时间离散时间采样香农采样定理2022/9/371SD

24、E_连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样2022/9/970SDE_09 MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样2022/9/ 若 为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为 ，则当满足条件 时，可将 按它的振幅采样展开为二 平稳随机过程的采样定理2022/9/971SDE_09 MLE 若 为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度证明: 带宽有限，第一步：(1) 的带宽也是有限(2)令 ，则(3)是确知函数，根据维纳-辛钦定理， 对 ， 对 应用香农采样定理的，对 应用香农采样定理2022/9/972SDE_09 MLE证明: 带宽有限，第一步：(1) 的带宽也是有第二步

25、：令，则=0(2)这说明，正交 又 是 的线性组合，因此正交2022/9/973SDE_09 MLE第二步：令，则=0(2)这说明，正交 又 即 (4)又 (5)(3)第三步：=0即2022/9/974SDE_09 MLE即 (4)又 (5)(3)第三步：=0即2022/第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=02022/9/975SDE_09 MLE第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=02022连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样=自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFT2022/9/976SDE_09 MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程

26、采样=自相关函数功率 若平稳连续时间实随机过程 ，其自相关函数和功率谱密度分别记为 和 ，对 采样后所得离散时间随机过程 ， 的自相关函数和功率谱密度分别记为 和 ，则有 三 功率谱密度的采样定理2022/9/977SDE_09 MLE 若平稳连续时间实随机过程 ，其自相关函数和证明: (1) 根据定义=由可见，即样可得=(2)进行等间隔的采对2022/9/978SDE_09 MLE证明: (1) 根据定义=由可见，即样可得=(2连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数F TDFT平稳随机过程的采样定理功率谱密度的采样定理2022/9/979SDE_

27、09 MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样自相关函数功率谱2.4 白噪声一、理想白噪声定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在 的整个频率区间，即 其中 为一正实常数，则称N(t)为白噪声过程或简称为白噪声。2022/9/980SDE_09 MLE2.4 白噪声一、理想白噪声定义：若N(t)为一个具有零均自相关函数为 自相关系数为 2022/9/981SDE_09 MLE自相关函数为 自相关系数为 2022/9/383SDE_09总结：（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。（2）白噪声的均方值为无限大而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的

28、。（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。2022/9/982SDE_09 MLE总结：（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。（2）白二、限带白噪声1低通型定义：若过程的功率谱密度满足 则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。2022/9/983SDE_09 MLE二、限带白噪声1低通型定义：若过程的功率谱密度满足 则称此低通型限带白噪声的自相关函数为2022/9/984SDE_09 MLE低通型限带白噪声的自相关函数为2022/9/386SDE_0图3.11示出了低通型限带白噪声的 和 的图形，注意，时间间隔 为整数倍的那些随机

29、变量，彼此是不相关的（均值为0，相关函数值为0）。2022/9/985SDE_09 MLE图3.11示出了低通型限带白噪声的 和2. 带通型带通型限带白噪声的功率谱密度为 由维纳辛钦定理，得到相应的自相关函数为 2022/9/986SDE_09 MLE2. 带通型带通型限带白噪声的功率谱密度为 由维纳 带通型限带白噪声的 和 的图形 2022/9/987SDE_09 MLE 带通型限带白噪声的 和 三、色噪声 按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。2022/9/988SDE_09 MLE三、色噪声 按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将

30、小 结 1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即： 但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即若随机过程X(t)平稳，则 2022/9/989SDE_09 MLE小 结 1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机2.平均功率的四种求法： 查表；留数；对功率谱密度求积分（有个 系数）；求相关函数后令 . 一般过程：3. 随机过程的平均功率：即集合平均统计平均。4.特定函数的付氏变换需记忆。2022/9/990SDE_09 MLE2.平均功率的四种求法：一般过程：3. 随机过程的平均功率：Ex. 7.15 Ra

31、nge Estimation Problem2022/9/991SDE_09 MLEEx. 7.15 Range Estimation ProRange Estimation D-T Signal2022/9/992SDE_09 MLERange Estimation D-T Signal202Range Estimation Likelihood FunctionWhite and Gaussian Independent Product ofPDFs3 differentPDFsone for each subinterval2022/9/993SDE_09 MLERange Estima

32、tion Likelihood Fu2022/9/994SDE_09 MLE2022/9/396SDE_09 MLE时域 和 复频域2022/9/995SDE_09 MLE时域 和 复频域2022/9/397SDE_09 MLERange Estimation MLE2022/9/996SDE_09 MLERange Estimation MLE2022/9/398Ex. 2正弦信号参数估计Sinusoid Parameter Estimation ProblemGiven DT signal samples of a sinusoid in noise.Estimate its amplit

33、ude, frequency, and phase1o is DT frequency in cycles/sample: 0 o B complex samples/secCollection Time T secAt each receiver:2022/9/9103SDE_09 MLEEstimating TDOA/FDOASIGNAL MODDOPPLER & DELAY MODELUse linear approximation assumes smallchange in velocity over observation intervalFor Real BP Signals:T

34、ime ScalingTime Delay:d2022/9/9104SDE_09 MLEDOPPLER & DELAY MODELUse lineaDOPPLER & DELAY MODEL (continued)Analytic Signals ModelNow what? Notice that v (1 v/c) 1Say v = 300 m/s (670 mph) then v/c = 300/3x108 = 10-6 = (1 v/c)=1.000001Now assume E(t) & (t) vary slowly enough thatCalled Narrowband App

35、roximationFor the range of vof interest2022/9/9105SDE_09 MLEDOPPLER & DELAY MODEL (continuDOPPLER & DELAY MODEL (continued)Narrowband Analytic Signal ModelConstantPhaseTerm= cdDopplerShiftTermd= c v/cCarrierTermTransmitted SignalsLPE SignalTime-Shifted by dNarrowband Lowpass Equivalent Signal ModelT

36、his is the signal that actually gets processed digitally2022/9/9106SDE_09 MLEDOPPLER & DELAY MODEL (continuCRLB for TDOAWe already showed that the CRLB for the active sensor case is:where Brms is an effective bandwidthof the signal computed from the DFT values Sk.But here we need to estimate the del

37、ay between two noisysignals rather than between a noisy one and a clean one.The only difference in the result is: replace SNR by aneffective SNR given by2022/9/9107SDE_09 MLECRLB for TDOAWe already showedCRLB for TDOA (cont.)S. Stein, “Algorithms for Ambiguity Function Processing,”IEEE Trans. on ASS

38、P, June 1981A more familiar form for this is in terms of the C-T version of the problem:BT = Time-Bandwidth Product ( N, number of samples in DT)B = Noise Bandwidth of Receiver (Hz)T = Collection Time (sec)BT is called “Coherent Processing Gain” 相干处理增益(Same effect as the DFT Processing Gain on a sin

39、usoid)For a signal with rectangular spectrum 矩形频谱 of RF width of Bs , then the bound becomes:2022/9/9108SDE_09 MLECRLB for TDOA (cont.)S. Stein,CRLB for FDOAHere we take advantage of the time-frequency duality if the FT:where Trms is an effective durationof the signal computed from thesignal samples

40、 sk.Again we use the same effective SNR:2022/9/9109SDE_09 MLECRLB for FDOAHere we take advaCRLB for FDOA (cont.)S. Stein, “Algorithms for Ambiguity Function Processing,”IEEE Trans. on ASSP, June 1981A more familiar form for this is in terms of the C-T version ofthe problem:For a signal with constant

41、 envelope of duration Ts, then the bound becomes:2022/9/9110SDE_09 MLECRLB for FDOA (cont.)S. Stein,Interpreting CRLBs for TDOA/FDOAA more familiar form for this is in terms of the C-T version ofthe problem: BT pulls the signal up out of the noise Large Brms improves TDOA accuracy 提高TDOA精度 Large Trm

42、s improves FDOA accuracy 提高FDOA精度Two Examples of Accuracy Bounds: 精度定界2022/9/9111SDE_09 MLEInterpreting CRLBs for TDOA/FDMLE for TDOA/FDOAS. Stein, “Differential Delay/Doppler MLEstimation with Unknown Signals,” IEEETrans. on SP, August 1993We already showed that the ML Estimate of delay for theacti

43、ve sensor case is the Cross-Correlation of the time signals.By the time-frequency duality the ML estimate for dopplershift should be Cross-Correlation of the FT, which is mathematically equivalent toThe ML estimate of the TDOA/FDOA has been shown to be:2022/9/9112SDE_09 MLEMLE for TDOA/FDOAS. Stein,

44、 “DiML Estimator for TDOA/FDOA (cont.)2022/9/9113SDE_09 MLEML Estimator for TDOA/FDOA (coML Estimator for TDOA/FDOA (cont.)How well do we expect the Cross-Correlation Processing to perform?Well it is the ML estimator so it is not necessarily optimum.But we know that an ML estimate is asymptotically

45、Unbiased & Efficient (that means it achieves the CRLB) GaussianThose are some VERY nice properties that we can make use of in our location accuracy analysis!2022/9/9114SDE_09 MLEML Estimator for TDOA/FDOA (coProperties of the CAF2022/9/9115SDE_09 MLEProperties of the CAF2022/9/31TDOA ACCURACY REVISI

46、TEDTDOA Accuracy depends on: Effective SNR: SNReff RMS Widths: Brms= RMS BandwidthLow Effective SNRCauses Spurious PeaksOn Xcorr FunctionNarrow Xcorr FunctionLess Susceptible toSpurious Peaks2022/9/9116SDE_09 MLETDOA ACCURACY REVISITEDTDOA AcFDOA ACCURACY REVISITEDFDOA Accuracy depends on: Effective

47、 SNR: SNReff RMS Widths: Drms= RMS DurationLow Effective SNRCauses Spurious PeaksOn Xcorr FunctionNarrow Xcorr FunctionLess Susceptible toSpurious Peaks2022/9/9117SDE_09 MLEFDOA ACCURACY REVISITEDFDOA AcCOMPUTING THE AMBIGUITY FUNCTIONDirect computation based on the equation for the ambiguity functi

48、on leads to computationally inefficient methods.In course notes we showed how to use decimation to efficiently compute the ambiguity function2022/9/9118SDE_09 MLECOMPUTING THE AMBIGUITY FUNCTIEstimating Geo-Location2022/9/9119SDE_09 MLEEstimating Geo-Location2022/9/TDOA/FDOA LOCATIONCentralized Netw

49、ork of P “P-Choose-2” Pairs# “P-Choose-2” TDOA Measurements# “P-Choose-2” FDOA Measurements Warning: Watch out for Correlation Effect Due to Signal-Data-In-Common2022/9/9120SDE_09 MLETDOA/FDOA LOCATIONCentralized TDOA/FDOA LOCATIONPair-Wise Network of P P/2 Pairs# P/2 TDOA Measurements# P/2 FDOA Mea

50、surements Many ways to select P/2 pairs Warning: Not all pairings are equally good! The Dashed Pairs are Better2022/9/9121SDE_09 MLETDOA/FDOA LOCATIONPair-Wise NeTDOA/FDOA Measurement ModelGiven N TDOA/FDOA measurements with corresponding 22 Cov. MatricesAssume pair-wise network, soTDOA/FDOA pairs a

51、re uncorrelatedFor notational purposes define the 2N measurements r(n) n = 1, 2, , 2NData VectorNow, those are the TDOA/FDOA estimates so the true values are notated as:“Signal” Vector2022/9/9122SDE_09 MLETDOA/FDOA Measurement ModelGivTDOA/FDOA Measurement Model (cont.)Each of these measurements r(n

52、) has an error (n) associated with it, so r =s+Because these measurements were estimated using an ML estimator (with sufficiently large number of signal samples) we know that error vector is a zero-mean Gaussian vector with cov. matrix C given by:Assumes thatTDOA/FDOApairs are uncorrelated!and trans

53、mit frequencyThe true TDOA/FDOA values depend on:Emitter Parms: 2022/9/9123SDE_09 MLETDOA/FDOA Measurement Model (cTDOA/FDOA Measurement Model (cont.)Here well simplify to the x-y plane extension is straight-forward.The TDOA and FDOA are given by:2022/9/9124SDE_09 MLETDOA/FDOA Measurement Model (cCR

54、LB for Geo-Location via TDOA/FDOARecall: For the General Gaussian Data case the CRLB depends on a FIM that has structure like this:Here we have a deterministic “signal” plus Gaussian noise so we only have the 1st term Using the notation introduced here givesCalled the “Jacobian” for the 3-D location with TDOA/FDOA will be a 2N 4 matrix whose columns are derivatives of s w.r.t. each of the 4 parameters.2022/9/9125SDE_09 MLECRLB for Geo-Location via TDOACRLB for Geo-Loc. via TDOA/FDOA (cont.)TDOA/FDOA Jacobian:Jacobian can be computed for any desired Rx-Emitter ScenarioThen plug it i