复变函数与积分变换第二章

1、复变函数与积分变换第二章第1页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二第二章 解析函数2.1 解析函数的概念2.2 解析函数与调和函数2.3 初等函数第2页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二2.1 解析函数的概念一 复变函数的导数二 解析函数概念三 柯西-黎曼方程 第3页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二一、复变函数的导数1. 复变函数的导数则称 在 处可导，设函数 在 点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，如果存在有限的极限值 A，且称 A为 在 处的导数，记作 如果函数 在区域 D 内的每一点都可导，在 D 内可导，此时即

2、得 的导(函)数则称 P22定义 2.1 第4页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二一、复变函数的导数2. 复变函数的微分则称 在 处可微，设函数 在 点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点， 若 在区域 D 内处处可微，则称 在 D 内可微。如果存在 A，使得记作为微分，特别地，有(考虑函数 即可) 导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。 补 第5页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二3. 可导与可微以及连续之间的关系(1) 可导 可微(2) 可导 连续 由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。 对二元实函数：偏导数存在 可微 偏

3、导数连续。一、复变函数的导数第6页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1 解第7页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二4. 求导法则(1) 四则运算法则P25 一、复变函数的导数 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.第8页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二4. 求导法则(1) 四则运算法则(2) 复合函数的求导法则(3) 反函数的求导法则其中， 与 是两个互为反函数

4、的单值函数，且一、复变函数的导数第9页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二二、解析函数概念则称 在 点解析；(1) 如果函数 在 点以及 点的邻域内处处可导，定义(2) 如果函数 在区域 D 内的每一点解析，则称或者称 是 D 内的解析函数。在区域 D 内解析， P25定义 2.2 (解析函数的由来)DGz0(3)第10页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二(2) 区域可导 区域解析。关系(1) 点可导 点解析；函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多.说明(3) 闭区域可导 闭区域解析。奇点通常泛指的解析函数是容许有奇点的。以z=0为奇点。第

5、11页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：第12页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注解：第13页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二性质(1) 在区域 D 内解析的

6、两个函数 与 的和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析。(2) 如果函数 在 z 平面上的区域 D 内解析，则复合函数 在 D 内解析。函数 在 平面上的区域 G 内解析， 且对 D 内的每一点 z，函数 的值都属于 G，二、解析函数概念第14页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二极限不存在(见1.3 )讨论函数 的解析性。例当 时，即当 时，不存在。因此， 仅在 点可导，处处不解析。解由有第15页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二讨论函数 的解析性。例解当 时，当 时，因此， 处处不可导，处处不解析。对函数 如何判别其解析性？问题第16页，

7、共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二寻求研究解析性的更好的方法任务！用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！第17页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二三、柯西-黎曼方程1. 点可导的充要条件且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann )方程： 和 在点 处可微，(简称 方程)函数 在点 处可导定理的充要条件是： P24定理 2.2 第18页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二求导公式三、柯西-黎曼方程1. 点可导的充要条件若在 处可导，则(关于C -R条件)第19页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二定理（函数

8、在一点可导的充分条件）第20页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二三、柯西-黎曼方程2. 区域解析的充要条件和 在区域 D 内可微，且函数 在区域 D 内解析的定理充要条件是：满足 C - R 方程。推论在区域 D 内存在且连续，并满足 C - R 方程，在区域 D 内解析。和 的四个偏导数若函数则函数 P26定理 2.4 第21页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二可知不满足 C - R 方程，解由有所以 在复平面内处处不可导， 处处不解析。讨论函数 的可导性与解析性。例第22页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二有由 C - R

9、方程，所以 仅在 点可导， 处处不解析。解由讨论函数 的可导性与解析性。例第23页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二讨论函数 的可导性与解析性。例由 C - R 方程，解由有处处不解析。所以 仅在直线 上可导， xy第24页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二解由有由 C - R 方程可得求解得 第25页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二即得(常数)。(1) 由 解析，证由 解析，为常数，第26页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二证(常数)；(2) 由 解析，由 在 D 内为常数，(常数)，两边分别对 x ,

10、 y 求偏导得： 若 若方程组(A)只有零解，即得(常数)。为常数，(A)第27页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运用. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.第28页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二思考题1、2、第29页，共82页，2022年，5月20日，

11、22点53分，星期二2.2 解析函数与调和函数一、调和函数二、共轭调和函数三、构造解析函数第30页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二一、调和函数则称 为区域 D 内的调和函数。若二元实函数 在区域 D 内有连续二阶偏导数，定义且满足拉普拉斯 ( Laplace ) 方程： P27定义 2.3 P28定理 2.5 第31页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二二、共轭调和函数设函数 及 均为区域 D 内的调和函数，定义函数 在区域 D 内解析的充要定理条件是：在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。则称 v 是 u 的共轭调和函数。注意 v 是 u 的

12、共轭调和函数 u 是 v 的共轭调和函数。 且满足 C - R 方程： P28定义 2.4 第32页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二三、构造解析函数问题已知实部 u，求虚部 v (或者已知虚部 v，求实部 u )，使 解析，且满足指定的条件。注意 必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。方法 偏积分法 全微分法构造解析函数 的依据：依据 (1) u 和 v 本身必须都是调和函数； (2) u 和 v 之间必须满足 C - R 方程。第33页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二方法 偏积分法三、构造解析函数( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 )(1)

13、 由 u 及 C - R 方程(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：其中， 已知，而 待定。(3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数得到待定函数 v的两个偏导数：(A)(B )(C )第34页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二C方法三、构造解析函数 全微分法( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 )(1) 由 u 及 C - R 方程得到待定函数 v 的全微分：(2) 利用第二类曲线积分(与路径无关) 得到原函数：C0C1C2其中， 或第35页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二故 是调和函数。由解(1) 验证 为调

14、和函数验证 为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部第36页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由 由解(2) 求虚部 。 方法一： 偏积分法验证 为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部第37页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由方法二： 全微分法(利用第二类曲线积分)C1C2验证 为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部解(2) 求虚部 。 第38页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由方法三： 全微分法(利用“反微分”法)验证 为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部解(2) 求虚部 。 第39页，共82页，2022年，5月2

15、0日，22点53分，星期二解(3) 求确定常数 c根据条件将 代入得即得验证 为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部第40页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二2.3 初等函数2.3.1 指数函数2.3.2 对数函数2.3.3 幂函数2.3.4 三角函数与反三角函数2.3.5 双曲函数与反双曲函数第41页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们两者是一样的。2.3 初等函数的定义方式尽可能保持一致。 本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性等等。特别

16、是当自变量取实值时，特别要注意与实初等函数的区别。第42页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二一、指数函数对于复数称定义为指数函数 ,记为 或注(1) 指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数都通过指数函数来定义。(2) 借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆： P31定义 2.5 第43页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二一、指数函数性质(1) 是单值函数。事实上，对于给定的复数定义中的 均为单值函数。事实上，在无穷远点有(2) 除无穷远点外，处处有定义。当 时，当 时，(3)因为第44页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二

17、性质(6) 是以 为周期的周期函数。一、指数函数第45页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二指数函数 的图形第46页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二二、对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数。记作即满足方程的函数称为对数函数，定义计算令由有由 z 的模得到 w 的实部 ；由 z 的辐角得到 w 的虚部 。 P32定义 2.6 第47页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二二、对数函数 显然对数函数为多值函数。主值(枝)称为的主值(枝)，记为故有分支(枝)特别地，当 时, 的主值 就是实对数函数。对于任意一个固定的 k，称 为 的一

18、个分支(枝)。第48页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二二、对数函数性质在原点无定义，故它的定义域为(1)(2)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；在除去原点及负实轴的平面内连续。特别地，注意到，函数在原点及负实轴上不连续。注意到，函数在原点无定义；或者指数函数第49页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由反函数求导法则可得进一步有(在集合意义下)二、对数函数性质(3)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；在除去原点及负实轴的平面内解析。特别地，第50页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二三种对数函数的联系与区别：第51页

19、，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二对数函数Lnz的图形第52页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二主值 解(1)(2)主值 第53页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二解主值 求对数 以及它的主值。例 可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。 第54页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二三、幂函数称为复变量 z 的幂函数。 还规定：当 a 为正实数，且 时， ( 为复常数， )定义函数 规定为注意上面利用指数函数以一种“规定”的方式定义了幂函数，但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，?即 P33定义 2.

20、7 第55页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二讨论此时， 处处解析，且当 为正整数时, (单值)(1)此时， 除原点外处处解析，且当 为负整数时, (2)(单值)当 时, (3)三、幂函数第56页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二讨论其中，m 与 n 为互质的整数，且 (5) 当 为无理数或复数( )时，当 为有理数时, (4)( 值)n此时， 除原点与负实轴外处处解析，一般为无穷多值。此时， 除原点与负实轴外处处解析。且三、幂函数第57页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二的图形第58页，共82页，2022年，5月20日，22点

21、53分，星期二解 可见， 是正实数，它的主值是例求 的值。求 的值。例解 可见，不要想当然地认为第59页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二四、三角函数启示由欧拉公式有余弦函数正弦函数定义 P34定义 2.8 其它三角函数第60页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二四、三角函数性质 周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样； 各种三角公式以及求导公式可以照搬； 有界性(即 )不成立。(略) 第61页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二sinz 的图形第62页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二cosz 的图形第6

22、3页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二tanz 的图形第64页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例求根据定义，有解例求根据定义，有解第65页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二五、反三角函数记为如果定义则称 w 为复变量 z 的反余弦函数，计算由 同理可得第66页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二反三角函数Arctanz的图形第67页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二六、双曲函数与反双曲函数双曲正切函数双曲余切函数双曲正弦函数定义双曲余弦函数 P36定义 2.9 第68页，共82页，20

23、22年，5月20日，22点53分，星期二双曲函数sinhz（或shz）第69页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二六、双曲函数与反双曲函数反双曲正切函数反双曲余弦函数反双曲正弦函数定义反双曲余切函数P36 第70页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性2. 三角正弦与余弦不再具有有界性3. 双曲正弦与余弦都是周期函数第71页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二思考题 实变三角函数与

24、复变三角函数在性质上有哪些异同?第72页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二本章总结1、复变函数导数与解析函数的概念2、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义； 2）利用充（分）要条件3、解析函数与调和函数的关系4、复变初等函数第73页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角函数双曲函数幂 函 数本章内容总结解析函数与调和函数的关系第74页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二第二章 完第75页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二附：知识广角 解析函数的由来 解

25、析函数的名称是康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。 在康道尔西使用该名称 20 年之后，拉格朗日(Lagrange)也使用了解析这个术语，他在解析函数论中将能展开成级数的函数说成是解析函数。 现在所使用的解析函数的概念，则基本上是在魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的著作中形成的。(返回)第76页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。附：知识广角 关于 C - R 条件 1746年，达朗贝尔(DAlemert)在研究流体力学时首先提到了如下的关系式：若函数 是解析函数，则上述关系式成立。 1777年，欧拉的两篇研究报告(1793年与1794年才发表)中 ,证明了条件的必要性，即第77页，共82页，2022年，5月20日，22点53分，星期二附：知识广角 关于 C - R 条件 185