复变函数积分

1、复变函数积分1第1页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二第二节 柯西古萨定理及其推广2.1柯西古萨基本定理2.2基本定理的推广复合闭路定理2第2页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二第三节 原函数与不定积分第四节 柯西积分公式与高阶导数公式4.1 柯西积分公式4.2 高阶导数公式与解析的无限可微性第五节 解析函数与调和函数的关系3第3页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二1.1 积分的定义1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带

2、有方向的曲线, 称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,4第4页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.5第5页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2.积分的定义:6第6页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二(7第7页，

3、共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二关于定义的说明:8第8页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二1.2积分存在的条件及其计算法1. 存在的条件9第9页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二在形式上可以看成是公式10第10页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2. 积分的计算法11第11页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.12第12页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二复变函数积分的计算步骤13第

4、13页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例1 解直线方程为14第14页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二这两个积分都与路线C 无关15第15页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例2 解(1) 积分路径的参数方程为y=x16第16页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二(2) 积分路径的参数方程为y=x17第17页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二y=x(3) 积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为18第18页，共119页，2022年，5月20

5、日，22点54分，星期二例3 解积分路径的参数方程为19第19页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例4 解积分路径的参数方程为20第20页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.21第21页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二1.3积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式22第22页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二第一节小结 本节我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本节中重

6、点掌握复积分的一般方法.23第23页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题24第24页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题答案即为一元实函数的定积分.25第25页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2.1柯西古萨基本定理1.问题的提出观察上节例1, 此时积分与路线无关. 观察上节例4, 第二节 柯西古萨定理及其推广26第26页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.27第27页，共119页，2022年，5月20日，22

7、点54分，星期二2. 柯西古萨基本定理定理中的 C 可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.28第28页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二关于定理的说明:(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立.29第29页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例5解根据柯西古萨定理, 有30第30页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例6证由柯西古萨定理, 31第31页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二由柯西古萨定理, 由上节例4可知, 32第32页，共11

8、9页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例7解根据柯西古萨定理得33第33页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二34第34页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2.1小结 重点掌握柯西古萨基本定理:并注意定理成立的条件.35第35页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题应用柯西古萨定理应注意什么?36第36页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题答案(1) 注意定理的条件“单连通域”.(2) 注意定理的不能反过来用.37第37页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二1.

9、问题的提出根据本章第一节例4可知, 由此希望将基本定理推广到多连域中.2.2 基本定理的推广复合闭路定理38第38页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2.闭路变形原理39第39页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二40第40页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二得41第41页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.42第42页，共119页，2022年，5月20日，22点

10、54分，星期二3. 复合闭路定理那末43第43页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二44第44页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例8解依题意知, 45第45页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二根据复合闭路定理,46第46页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例9 解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,47第47页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例10解48第48页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很

11、方便, 因为不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线内即可.49第49页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例11解由上例可知50第50页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2.2小结 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:51第51页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题?52第52页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题答案 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要

12、方法.使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向.53第53页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二定理一由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图)1. 两个主要定理:第三节 原函数和不定积分54第54页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二55第55页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二定理二 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.56第56页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2. 原函数的定义:原函数之间的关系:57第57页，共119页，2022年，5月20日，

13、22点54分，星期二那末它就有无穷多个原函数, 58第58页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二3. 不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)59第59页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例12解(使用了微积分学中的“凑微分”法)说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.60第60页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例13解由牛顿-莱布尼兹公式知,61第61页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例13另解此方法使用了微积分中“分部积分法”62第62页，共119

14、页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例14解利用分部积分法可得课堂练习答案63第63页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例15解所以积分与路线无关,根据牛莱公式:64第64页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二第三节小结 原函数、不定积分的定义以及牛顿莱布尼兹公式. 在学习中应注意与高等数学中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.65第65页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同?66第66页，共119页，2022年，5月20日

15、，22点54分，星期二思考题答案两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.67第67页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二1.问题的提出根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.第四节 柯西积分公式4.1柯西积分公式68第68页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二69第69页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2.柯西积分公式定理证70第70页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二71第71页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二上不等式表明, 只要

16、 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.证毕柯西积分公式72第72页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二关于柯西积分公式的说明:(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.73第73页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例16解74第7

17、4页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二由柯西积分公式75第75页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例17解由柯西积分公式76第76页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例18解由柯西积分公式77第77页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例19：解78第78页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二解例19：79第79页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例20解根据柯西积分公式知,80第80页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例21解根据

18、柯西积分公式知,81第81页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二比较两式得82第82页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二课堂练习答案83第83页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二4.1小结 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西古萨基本定理, 它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:84第84页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推广到无界区域中?85第8

19、5页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题答案可以.其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.86第86页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二1.问题的提出问题:(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?4.2 高阶导数公式与解析函数的无限可微性87第87页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2.主要定理 不在于通过积分

20、来求导, 而在于通过求导来求积分.88第88页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例22解89第89页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二90第90页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二根据复合闭路定理91第91页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二92第92页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例23解93第93页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二94第94页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二例24解由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得

21、95第95页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二96第96页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二课堂练习答案97第97页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二练习解98第98页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二根据复合闭路定理和高阶导数公式,99第99页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二100第100页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二4.2小结 高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实

22、变函数的本质区别.高阶导数公式101第101页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?102第102页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别.103第103页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二1.调和函数的定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.第五节 解析函数与调和函数的关系104第104页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2.解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.证105第105页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二根据解析函数高阶导数定理, 证毕106第106页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二2. 共轭调和函数的定义 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.107第107页，共119页，2022年，5月20日，22点54分，星期二3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi.