高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

1、 高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用 函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量动身，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特别的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。以下是我给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。 函数与方程思想在数列中的应用(含详细案例) 本文列举几例分类剖析： 一、方程思想 1.知三求二 等差(或等比)数列an的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三

2、求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的. 例1等差数列an的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列an的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值. 解(1)由a10=a1+9d=30， a20=a1+19d=50， 解得a1=12， 由于nN*，所以n=11. 2.转化为基本量 在等差(等比)数列中，假如求得a1和d(q)，那么其它的量马上可得. 例2在等比数列an中，已知a6a4=24，a3a5=64，求an的前8项的和S8. 解a6a4=a1q3(q21)=24.(1) 由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=8. 将a1q3

3、=8代入(1)， 得q2=2(舍去); 将a1q3=8代入(1)，得q=2. 当q=2时，a1=1，S8=255; 当q=2时，a1=1，S8=85. 3.加减消元法利用Sn求an 利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用. 例3(2021年佛山二模)已知数列an、bn中，对任何正整数n都有： a1b1+a2b2+a3b3+an1bn1+anbn=(n1)?2n+1. 若数列bn是首项为1、公比为2的等比数列，求数列an的通项公式. 解将等式左边看成Sn，令 Sn=a1b1+a2b2+a3b3+an1bn1+anbn. 依题意Sn=(n1)?2n+1

4、，(1) 又构造Sn1=a1b1+a2b2+a3b3+an1bn1=(n2)?2n1+1，(2) 两式相减可得 SnSn1=an?bn=n?2n1(n2). 又由于数列bn的通项公式为 bn=2n1， 所以an=n (n2). 当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n. 从而对一切nN*，都有an=n. 所以数列an的通项公式是an=n. 4.等差、等比的综合问题 这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组. 例4设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列an的通项公式. 解依据求和定义和等差中项建立

5、关于a1，a2，a3的方程组. 由已知得a1+a2+a3=7， (a1+3)+(a3+4)2=3a2. 解得a2=2.设数列an的公比为q， 由a2=2，可得a1=2q，a3=2q. 又S3=7，可知2q+2+2q=7， 即2q25q+2=0， 解得q1=2，q2=12. 由题意得q1，所以q=2. 可得a1=1， 从而数列an的通项为an=2n1. 二、函数思想 数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特别函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列an的通项公式 an=a1+(n1)

6、d=dn+(a1d)， 前n项和的公式 Sn=na1+n(n1)2d =d2n2+(a1d2)n， 当d0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关学问，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题. 1.运用函数解析式解数列问题 在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用讨论二次函数的方法进行解题. 例5等差数列an的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值. 分析明显公差d0，所以Sn是n的二次函数且无常数项. 解设Sn=an2+bn(a0

7、)，则 a102+b10=100， a1002+b100=10. 解得a=11100， b=11110. 所以Sn=11100n2+11110n. 从而S110=111001102+11110110 =110. 函数Sn=11100n2+11110n的对称轴为 n=11110211100=55211=50211. 由于nN*， 所以n=50时Sn有最大值. 2.利用函数单调性解数列问题 通过构造函数，求导推断函数的单调性，从而证明数列的单调性. 例6已知数列an中an=ln(1+n)n (n2)，求证anan+1. 解设f(x)=ln(1+x)x(x2)， 则f (x)=x1+xln(1+x)

8、x2. 由于x2， 所以x1+x1，ln(1+x)1， 所以f (x)0. 即f(x)在2，+)上是单调减函数. 故当n2时，anan+1. 例7已知数列an是公差为1的等差数列，bn=1+anan. (1)若a1=52，求数列bn中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的nN*，都有bnb8成立，求a1的取值范围. (1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从讨论函数的单调性入手，用来讨论函数最大值或最小值的方法同样适用于讨论数列的最大项或最小项. 解由题设易得an=n72， 所以bn=2n52n7. 由bn=2n52n7=1+22n7， 可考察函数f(x)=1+22x7的单调性. 当x

9、72时，f(x)为减函数， 且f(x)1; 当x72时，f(x)为减函数， 且f(x)1. 所以数列bn的最大项为b4=3，最小项为b3=1. (2)分析由于对任意的nN*，都有bnb8成立，本题实际上就是求数列bn中的最大项. 由于bn=1+1n1+a1， 故可以考察函数f(x)=1+1x1+a1的形态. 解由题，得an=n1+a1， 所以bn=1+1n1+a1. 考察函数f(x)=1+1x1+a1， 当x1a1时，f(x)为减函数， 且f(x)1; 当x1a1时，f(x)为减函数， 且f(x)1. 所以要使b8是最大项，当且仅当71a18， 所以a1的取值范围是7 3.利用函数周期性解数列

10、问题 例8数列an中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+21成立.试求S100=a1+a2+a100的值. 分析从递推式不易直接求通项，观看前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，可猜想该数列是以4为周期的周期数列. 解由已知 两式相减得 通过上述实例的分析与说明，我们可以发觉，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应当把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数学问的相互交汇，使同学的学问网络得以不断优化与完善，同时也使同学的思维力量得以不断进展与

11、提高. 高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质熟悉;基本数学思想则是体现或应当体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地进展着的。通过数学思想的培育，数学的力量才会有一个大幅度的提高。把握数学思想，就是把握数学的精髓。 数学思想方法是对数学及规律的理性熟悉，是对数学学问的本质熟悉，是数学熟悉过程中提炼上升的数学观点方法。同学大脑中若不蕴含数学思想方法，会导致数学学习缺乏自

12、主性，往往就成为离不开老师这个拐棍的被动学习者，学的数学学问不能用数学思想方法有效连接，支离破裂。所以，同学在数学学习中，大脑有了数学思想，学习才有方向导引，心中有了明确方向，才能主动思索，才有利于对数学本质的熟悉，才能知道如何去思索和解决问题。 高中数学基本数学思想 1.转化与化归思想： 是把那些待解决或难解决的问题化归到已有学问范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化，即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新学问的学习过程，就是一个在已有学问和新概念的基础上进行化归的过程.因此，化归思想在数学中无处不在. 化归思

13、想在解题教学中的的运用可概括为：化未知为已知，化难为易，化繁为简.从而达到学问迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入逆境. 例证 2.规律划分思想(即分类与整合思想)： 是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时，而依据其不同点选择适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种基本数学思想.但要留意按划分标准所分各类间应满意相互排斥，不重复，不遗漏，最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和外形的变化划分;按结论可能消失的不怜悯况划分等.需说明

14、的是： 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的学问环境中去考虑，而避开分类求解.运用分类思想的关键是查找引起分类的缘由和找准划分标准. 例证 3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想)： 就是用运动和变化的观点去分析讨论详细问题中的数量关系，抽象其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关学问解决问题的一种重要的基本数学思想. 4. 数形结合思想： 将数学问题中抽象的数量关系表现为肯定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系，使抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象的数量关系与直观的详细形象的联系和转化

15、，从而使隐藏的条件明朗化，是化难为易，探究解题思维途径的重要的基本数学思想. 5. 整体思想： 处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度动身，分析条件与目标之间的结构关系，对应关系，相互联系及变化规律，从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是掌握论，信息论，系统论中“整体部分整体”原则在数学中的体现.在解题中，为了便于把握和运用整体思想，可将这一思想概括为：记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何制造机会把未用上的条件用上?)，想着目标(向着目标步步推理，必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系，抓变化，或化归;或数形转换，寻求解答.一般来说，整体范围看得越大，解法可能越好. 在整体思想指导