《高等数学》第七章6空间直线及其方程课件

1、高等数学第七章6空间直线及其方程高等数学第七章6空间直线及其方程一、空间直线方程因此其一般式方程1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，注：(不唯一)（两平面不平行）一、空间直线方程因此其一般式方程1. 一般式方程 直线可视为2. 对称式方程故有说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量 2. 对称式方程故有说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为3. 参数式方程设得参数式方程 :1. 一般式方程 2. 对称式方程3. 参数式方程设得参数式方程 :1. 一般式方程 2. 对例1.用

2、对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .P331-1例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角 则两直线夹角 特别有:特别有:例2. 求以下两直线的夹角解: 直线直线二直线夹角 的

3、余弦为从而的方向向量为的方向向量为参考P332-2例2. 求以下两直线的夹角解: 直线直线二直线夹角 的余弦当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;2. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间特别有:特别有:解: 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面P333-3解: 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 3 直线与平面的交

4、点3 直线与平面的交点分析: 关键是求得直线上另外一个点 M1. M1在过M且平行于 平面 的一个平面1上,待求直线又与已知直线相交,交点既在1上,又在 L上,因此是L与1的交点. 例4 求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面 又与直线相交的直线方程.解 过M作平行于 平面 的一个平面1 L1M1M分析: 关键是求得直线上另外 例4 求过点 M (求平面 1与已知直线 L的交点1: 即1:ML1M1求平面 1与已知直线 L的交点1: 即1:ML4 点到直线的距离LdP1是L外一点,设直线L,求P0到L的距离d . 设 为L上任一点，如图SS又于是点到直线的距离公式4 点到直线的距离Ld

5、P1是L外一点,设直线L,求P0到例5 求点(5,4,2)到直线的距离d.解例5 求点(5,4,2)到直线的距离d.解5 平面束 通过定直线 L的所有平面的集合称为该直线 L 的平面束.分析: 构造平面族: （t为任意实数） A1 x+B1 y+C1 z+D1+ t(A2 x+B2 y+C2 z+D2 )=0 即 (A1 +t A2 )x+(B1 + t B2 )y+(C1 + t C2 )z+(D1 + t D2 )=0 (*)L设直线 L的一般方程为: A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0 A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0 求L的平面束方程. 5 平面束 通过定直线 L的所有平

6、面的集合称 事实上,设 为L外任一点，可取则M0满足(*).则 1.(*)式为过直线L的平面方程. 2. 过L的任何平面( 2除外)都包含在(*)所表示的平面族内.分析: 构造平面族: （t为任意实数） A1 x+B1 y+C1 z+D1+ t(A2 x+B2 y+C2 z+D2 )=0 即 (A1 +t A2 )x+(B1 + t B2 )y+(C1 + t C2 )z+(D1 + t D2 )=0 (*) 事实上,设 例6 求过直线L和点M0(1,2,3)的平面方程.解 设的方程为：(*)例6 求过直线L和点M0(1,2,3)的平面方程.解 设解: 显然，L是过L1的平面1与的交线,且1

7、.故先求1.设过直线L1的平面束方程为:则 1的法向量又 的法向量L1L1P335-7例7 求直线 在平面 内的投影直线L的方程. 解: 显然，L是过L1的平面1与的交线,且1 .设即:解得于是投影平面1：投影直线L的方程为:L1L1则 1的法向量又 的法向量即:解得于是投影平面1：投影直线L的方程为:L1L1则解法二：先求1的方程则1：在L1上任取一点(3,0,-6),例7 求直线 在平面 内的投影直线L的方程. L1L1解法二：先求1的方程则1：在L1上任取一点(3,0,-61. 空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结 1. 空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结 直线2. 线与线的关系直线夹角公式:直线2. 线与线的关系直线夹角公式:平面 :L L / 夹角公式：3. 面与线间的关系直线 L :平面 :L L / 夹角公式：3. 面与线间的关作业P335 3，4，5，7，9 P335 题2, 10思考与练习作业P335 题2, 10思考与练习解：相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 面的法向量为则所求直线的方向向量方法1 利用叉积. 所以一直线过点 且垂直于直线 又和直线练习题解：相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 面的法向设所求