三角函数的综合应用课件

1、三角函数的综合应用三角函数的综合应用3.求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界 性,一般通过三角变换化为下列基本类型处理: (1)y=asin x+b,设t=sin x化为一次函数y=at+b在闭 区间t-1,1上的最值问题; (2)y=asin x+bcos x+c,引入辅助角 化为 求解方法同类型(1); (3)y=asin2x+bsin x+c,设t=sin x,化为二次函数y= at2+bt+c在t-1,1上的最值问题; 3.求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界 (4)y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c,设t=sin x cos x,化为二次函数

2、在闭区间t- ,2上的最值问题;(5) 设t=tan x,化为 用判别式法求值;当ab0时,还可用基本不等式求最值;(6) 根据正弦函数的有界性,既可以用分析法求最值,也可以用不等式法或数形结合法求最值.(4)y=asin xcos x+b(sin xcos x4.求三角函数的最值的主要方法: (1)配方法;(2)化为同一个角的三角函数;(3)数形 结合法;换元法;基本不等式法.5.用换元法解题,特别要注意sin xcos x与 sin xcos x的关系，令sin xcos x=t，则 sin xcos x=6.讨论三角函数的单调性,解三角不等式,要注意数 形结合思想的运用.注意函数性质在解

3、题中的运用.7.若一个函数为周期函数,则讨论其有关问题,可先研 究在一个周期内的情形,然后再进行推广. 4.求三角函数的最值的主要方法: 基础自测1.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为 20 km,现测得ABC=120,则A、C两地的距离为 _ km. 解析基础自测2.(2009安徽改编)设函数f(x)= +tan ,其中 则导数f(1)的取值范围 是_. 解析 由已知f(x)=sin x2+ cos x,2.(2009安徽改编)设函数f(x)= 3.当x(0, )时函数 的 最小值是_. 解析 0 x 0tan x1 当tan x= 时,f(x)取的最小值4. 43.当x(

4、0, )时函数 4.若ABC的三边长a,b,c成等比数列且sin B+cos B =k,则实数k的范围是_. 解析4.若ABC的三边长a,b,c成等比数列且sin B+co【例1】已知00,0),x0,4的图象,且图象的最高点为 赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参 赛运动员的安全,限定MNP=120. (1)求A,的值和M,P两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长？【例2】(2009福建)如分析 主要通过建立三角函数模型求解,但要求解 析式和设角求解. 解 (2)在MNP中,MNP=120,MP=5.设PMN= ,则0 60.由正弦定理得分析 主要通过建立三角函数模型

5、求解,但要求解 0 60,60 +60120,当 =30时,折线段赛道MNP最长.即将PMN设计为30时,折线段赛道MNP最长. 三角函数的综合应用跟踪练习2 已知a= b= f(x)=ab. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)若y表示某海岸港口的深度(m),x表示一天内的 时间(h)；当水深不低于5 m时，船才能驶入港口, 求一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有多少 小时？ 解跟踪练习2 已知a= b=则12k+1x12k+5,(kZ).又0 x24,1x5或13x17.则一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有8小时. 三角函数的综合应用【例3】 (2010扬州调研)已知函数 (1)当

6、a=1时,求f(x)的单调递增区间; (2)当a0,且x0,时,f(x)的值域是3,4,求 a,b的值. 求单调区间关键是转化为y=Asin(x+ ) 的形式,注意a的讨论,求值域要利用单调性. 解分析【例3】 (2010扬州调研)已知函数 分析三角函数的综合应用跟踪练习3 设关于x的函数y=2cos2x-2acos x-(2a+1) 的最小值为f(a). (1)写出f(a)的表达式; (2)试确定能使f(a)= 的a值,并求此时函数y的最 大值. 解跟踪练习3 设关于x的函数y=2cos2x-2acos x(2)当a-2时,f(a)=1,则f(a)= 无解;解得a=-1或a=-3(舍去).(

7、2)当a-2时,f(a)=1,则f(a)= 无解;【例4】(12分)(2009山东)已知函数f(x)= 在x=处 取最小值. (1)求 的值; (2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知 a=1,b= f(A)= 求角C. 转化为y=Asin(x+ )的形式,但要和正弦 定理相结合求解.分析【例4】(12分)(2009山东)已知函数f(x)=分析解题示范解解题示范三角函数的综合应用跟踪练习4 已知A,B是ABC的两个内角,向量a= (1)证明:tan Atan B为定值; (2)当tan C取最大值时,求ABC的三个内角的大小. (1)证明跟踪练习4 已知A,B是ABC的两个内

8、角,向量a= (2)解(2)解三角函数的综合利用主要体现在和其它知识相结合, 利用图象变换求解问题,高考一般在解三角形的问题中出现. 1.三角函数作为工具,和其他知识的联系比较密切, 因此,要关注三角与向量、解三角形、立体几何、 解析几何、复数等知识的综合.思想方法 感悟提高高考动态展望方法规律总结思想方法 感悟提高高考动态展望方法规律总结2.向量与三角知识综合,体现了知识的交汇，这是高 考命题的热点. 3.在三角形中,求解三角函数问题,要注意A+B+C= 这一隐含条件的使用.4.三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自 变量的函数,实际问题中,通过设角为参数,将实际 问题转化为我们熟知的

9、三角函数模型,从而使三角 知识来源于实际,同时又广泛地应用于实际.5.关于以三角函数为模型的实际问题往往背景比较复 杂,具有很强的现实生活色彩，语言表述服从于各 自的实际背景,因此在解决类似实际问题时要注意2.向量与三角知识综合,体现了知识的交汇，这是高 自变量的范围,注意数形结合，通过观察图形获得 本质认识,审题要细致,涉及复杂数据的,可借助相 关信息技术工具进行处理. 6.解决三角函数应用题一般有两类题型:第一是函数 拟合,第二是利用函数求最值，都必须按照一般应 用题的解题步骤分为以下几步: (1)详细审题,理清问题中的等量或不等关系; (2)建立函数模型(即将关系数学化)，或写出函数 解

10、析式,或写出由三角函数构成的不等式; (3)讨论变量性质,解决相应数学问题; (4)得出结论. 自变量的范围,注意数形结合，通过观察图形获得 一、填空题1.(2009济宁期末)已知a=(cos 2,sin ),b= (1,2sin -1), 若ab= 则 的值为_. 解析 ab=cos 2+2sin2-sin =1-2sin2+2sin2-sin =1-sin =定时检测定时检测答案 三角函数的综合应用2.(2008江苏)若AB=2,AC= BC,则SABC的最大值 是_. 解析 设BC=x,则AC= 根据面积公式得 根据余弦定理得 将其代入上式得2.(2008江苏)若AB=2,AC= BC,

11、则SA 由三角形三边关系有 故当x= 时,即x2-12=0时, SABC取得最大值 答案三角函数的综合应用3.(2009肇庆期末)定义运算a*b=a2-ab-b2,则 =_. 解析3.(2009肇庆期末)定义运算a*b=a2-ab-b2,4.(2009广州第二次联考)已知a,b,x,yR,a2+b2= 4,ax+by=6,则x2+y2的最小值为_. 解析 因为a2+b2=4, 可设a=2sin ,b=2cos , 则xsin +ycos =3. 故 的最小值为3,即x2+y2的最小值为9. 94.(2009广州第二次联考)已知a,b,x,yR,a25.(2010宿州模拟)若函数f(x)=sin

12、(x+)-2cos(x- )是偶函数,则cos 2=_. 解析 f(x)=(cos -2sin )sin x+(sin - 2cos )cos x是偶函数, 故cos -2sin =0,cos =2sin , cos2+sin2=5sin2=1,5.(2010宿州模拟)若函数f(x)=sin(x+)-6.(2010泰州调研)函数f(x)= 的最小值是_. 解析6.(2010泰州调研)函数f(x)=7.(2009福建文)已知锐角ABC的面积为 BC= 4,CA=3,则角C的大小为_. 解析 由题知,607.(2009福建文)已知锐角ABC的面积为 BC8.(2010苏南四市模拟)俗话说“一石激起

13、千层浪”, 小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧. 现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源, 在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1= sin t和y2= 来描述,当这两个振动源同时 开始工作时,要使原本平静的水面保持平静，则需 再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波 动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动 源的函数解析式_.8.(2010苏南四市模拟)俗话说“一石激起千层浪”, 解析答案解析9.(2010南通模拟)2002年在北京 召开的国际数学家大会，会标是 以我国古代数学家赵爽的弦图为 基础设计的.弦图是由四个全等直 角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形

14、(如 图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为,那么cos 2 的值 等于_. 9.(2010南通模拟)2002年在北京解析 大正方形面积为25,小正方形面积为1,大正方形边长为5,小正方形的边长为1.5cos -5sin =1,cos -sin = 是直角三角形中较小的锐角,答案解析 大正方形面积为25,小正方形面积为1,二、解答题10.(2008福建)已知向量m=(sin A,cos A),n= mn=1,且A为锐角. (1)求角A的大小; (2)求函数f(x)=cos 2x+4cos Asin x (xR)的值域. 解 (1)由题意得mn= sin

15、A-cos A=1, 二、解答题(2)由(1)知cos A= 所以f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x因为xR,所以sin x-1,1,因此,当sin x= 时,f(x)有最大值当sin x=-1时,f(x)有最小值-3.所以所求函数f(x)的值域是(2)由(1)知cos A= 11.(2010苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)= (R,xR)的最 小正周期为,且图象关于直线x= 对称. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数y=1-f(x)的图象与直线y=a在0, 上 只有一个交点,求实数a的取值范围. 解 函数f(x)的最小正周期为,11.(2010苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)=三角函数的综合应用 (2)y=1-f(x)= 在同一坐标系中作出 和y=a的图象:由图可知,直线y=a在a 或a=1时,两曲线只有一个交点,a 或a=1. (2)y=