工程硕士-考试常用-概率论-数学公式

1、常用6种分布及性质 p8-10二项分布：PX=k=nkpkqn-k,k=0,1,n 0p0 即X服从参数为的Poisson分布 记作：XP EX=,DX=几何分布： PX=k=pqk-1,k=0,1,n 0p1, q=1-p 记作: XGp EX=1p,DX=(1-p)p2均匀分布密度函数： fx,a,b=1b-a, axb0, 其他 记作: XUa,b EX=(a+b)2,DX=(b-a)2125、指数分布密度函数：fx,=e-x,x00, x0 记作：X1, EX=1,DX=126、正态分布密度函数： fx,2=12ex-222,-x+ 记作：XN,2 EX=,DX=2标准正态分布密度函数

2、：x=12ex22,-x0有：limnPX-a=1特例：fn为事件频率，p为事件概率时limnPfn-px =1-PX1x,X2X,Xnx=1-i=1nPXix=1-i=1nPXx=1-(PXx)n=1-(1-F(x)n 重要的三个分布p311.卡方分布X1, X2, Xn 服从 N(0,1) 有 2=i=1nXi2 记作22(n)卡方分布性质： = 1 * GB3 22(n) 有E2=n, D2=2n = 2 * GB3 线性可加 122(n1) ，222(n2) 则 12+222(n1+n2)推论：X1, X2, Xn 服从 N(,2), 令S2=1ni=1n(Xi-)2 则 nS222(

3、n),有ES2=2 DS2=24n2.t分布 XN(0,1) , Y2(n),XY相互独立，有T=XY n 记：Tt(n)t分布性质： = 1 * GB3 当n1时，ET=0，密度函数曲线关于轴x=0对称 = 2 * GB3 当n2时，DT=nn-2 = 3 * GB3 = 4 * GB3 3F分布X2n,Y2n X,Y相互独立有 F=XmYn 记作: FF(m,n) = 1 * GB3 FFm,n时, 1FF(n,m) = 2 * GB3 Ttn时, T2F(1,n)分位数p35u0.95=1.65,u0.975=1.96;u0.05=-u0.95=-1.65t0.97510=2.2281,

4、t0.02510=-t0.97510=-2.2281,t0.9550u0.95=1.650.9029=14.684; 0.2529=5.899F0.952,5=5.79, F0.052,5=1F0.955,2=119.3=0.052;抽样分布定理p36X和S2（1）XN,2n, 或X-nN(0,1) 推论 X-Y-(1-2)12n1+22n2N0,1 P71(2) (n-1)S222n-1； 或12i=1n(xi-)22(n) S2=1n-1i=1n(Xi-X)2推论2.4.8：T=X-Snt(n-1)推论2.4.10:Sx21Sy22F(n-1,m-1)矩法p42Mk=1ni=1nXik=E

5、Xk=k(1,2,m)a=EX, 2=DX EX2=DX+(EX)2=a2+2x=a1ni=1nxi2=2+a2 解得：a=X, 2=M2*极大似然值p42似然函数定义：L=i=1nf(xi,) 似然函数估计：L()maxRL()计算方法通过极值原理iL=0,i=1,2,; =(1,2,m) iln L=0,i=1,2,; =(1,2,m)方便解题无偏性p47E=,则 是的无偏估计量bn=E- 如果limnbn=0 则是的渐进无偏估计量 Cramer-Rao不等式p49T(X1,X2,Xn)为的无偏估计量0I=Elnf(X,)2c XN,2n 有 PX-0c=P|X-0|ncn解得：c=u1-2n单个正态总体均值检验H0的拒绝域H0H12已知2未知=00|x-0|u1-2 n|x-0|t1-2(n-1) n00 x-0u1-2 nx-0t1-2(n-1) n00 x-0u nx-002n-11-22(n-1) 或s202s202n-11-2(n-1)202202s2u1-212n+22m00 x-yu1-12n+22m00 x-yu12n+22m 两个正态总体方差检验H0的拒绝域H0H11，2未知12=22