高等数学4月备考试题集

1、仿真试题(一)江苏专转本高等数学选拔一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）1.f (x) (x 1) sin x 的跳跃间断点为()x (x 2 1)A. x=-1B.x=00,C.x=1D.x=-1 或 x=1x 00 在点 x 0 处，可导则常数 的取值范围为2、设函数 f (x) （）A、0 1B、0 1C、 1D、 13 、设 F (x) ln(3x 1) 是函数 f (x) 的一个原函数，则 f (2x 1)dx （）1313CB、CCCA、C、D、6x 46x 412x 812x 84、设区域 D 是 xoy 平面上以点 A(1,1) 、B(1,1)

2、、C(1,1) 为顶点的三角形区域， 则 (xy cos x sin y)dxdy D区 域 D1 是 D 在 第 一象限的部分（）A、2(cos x sin y)dxdyD1C、4(xy cos x sin y)dxdyD1B、2 xydxdyD1D、05 、设 u(x, y) arctan x ，v(x, y) lnx 2 y 2 ，则下列等式成立的 是y（）A、 u vB、 u vC、 u vD、 u vxyxxyxyy6（、下列说法正确的是）A、级数 1 收敛B、级数 1 收敛n1 n2 nn1 n1(1)nC、级数n1D、级数 n!收敛n1绝对收敛n二、填空题（本大题共 6 小题，每

3、小题 4 分，满分 24 分）7、设函数 y y(x) 由方程ln(x y) e xy 所确定，则 y x08、 1 dx x x 2 11 x 2x10f (x, y)dy 9、交换二次积分的次序 dx110、微分方程(1 x 2 ) ydx (2 y)xdy 0 的通解为. 1 向量，且 a b ，则以向量 a b 为邻边的平行四边形11、已知 a ， b 均为2的面积为an1n 1(a 0) 的收敛半径为，则常数a .2n12、若幂函数xn2三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）x(tan t sin t)dtx ln(1 t 2 )y t arctan tdy

4、d 2 y013、求极限lim14、已知，求、.2dx2(e 1) ln(1 3x )xdxx02sin3 x x2dx115、求不定积分16、求定积分dxsec x 11 x221 x 2 t17、求通过点(1,1,1) ，且与直线 y 3 2t 垂直，又与平面2x z 5 0 平行的直 z 5 3t线的方程。18、计算二重积分 (1 x 2 y 2 )dxdy ，其中 D 是第一象限内由圆 x 2 y 2 2x 及D直线 y 0 所围成的区域z 2 z19、设 z xf (x , xy) 其中 f (u, v) 的二阶偏导数存在，求y 、 yx .2220、已知函数 y ex 和 y e2

5、x 是二阶常系数线性微分方程 y py qy 0 的两个解，试确定常数 p, q 的值，并求微分方程 y py qy ex 的通解。四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）4 的两条切线，由这两条切线与抛物线所围21、从原点作抛物线 f (成的图形记为 S ，求：（1） S 的面积；体体积.（2）图形 S 绕 X 轴旋转一周所得的立22、设函数 f (x) ax3 bx 2 cx 9 具有如下性质：在点 x 1的左侧在点 x 1的右侧单调减少；单调增加；（3）其图形在点(1,2) 的两侧凹凸性发生改变.试确定a ， b ， c 的值.五、证明题（本大题共 2 小题，每

6、小题 9 分，满分 18 分）23、证明：xf (sin x)dx sin xx024、求证：当 x 0 时， (2 0f (sin x)dx ，并利用此式求dx .1 cos 2 x0 1)2 .仿真试题(二)江苏专转本高等数学选拔一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）设当 x 0 时， (1cos x)ln(1 x 2 ) 是比 xsin xn 高阶的无穷小，而 xsin xn 是比1.2( e x 1) 高阶的无穷小，整数n 等于（）C、3A、1B、2D、4 0若x02、设 f (x) 其导函数在 x 0 处连续，则 的取值范围是0（）A、0 2B、0 2C

7、、 2D、 23、若 f (x)dx F (x) C ，则 sin xf (cos x)dx （）A、 F (sin x) CB、 F (sin x) CC、 F (cos) CD、 F (cos x) C32a cosf x, y dxdy f r cos , r sin rdr ,其中a 0 为常数，则区域 DD0d4、若2是()A、 x2 y2 a2B、 x2 y2 a2 , x 0C、 x2 y2 axD、 x2 y2 ay5、若 x ay dx ydy 为某函数的全微分，则a () x y 2A、1B、0C、1D、26、设u (1)n ln n ，则级数()nnA、un1n nB、u

8、n1 n与u 都收敛；2与u 都发散n12nn1C、un1 nD、un1 n收敛而u 发散；n12发散而u 收敛。n12nn二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）7、设函数 y f (x) 由方程 xy 2 ln x y 4 所确定，则曲线 y f (x) 在点且(1, 处的切线方程kdx 1 ，则k =08、 已知1 x2212 y33 ydyf (x, y)dx 9、交换积分次序 dyf (x, y)dx001010、设 y C e2x C e3x 为某二阶常系数线性微分方程的通解，则该微分方1211、设| a | 1， | b | 1 ， a 与b 的夹角(a,

9、 b ) 30 ，则以a 2b 和3a b 为邻边的平行四边形面积S =12、幂级数 an xn 在 x 3 处条件收敛，则该级数的收敛半径 R n 04三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）1113、求极限lim (1 x)x (1 2x)2xsin xx0 x 14、设f(t) ，其中 f 可导，且 f(0) 0 ，求 dy |y f(e3t 1)dx t015、求不定积分 dx 。x11ex1 ,16、设 f(x) x 0,求 f(x)的间断点,并说明其类型。ln(1 x), 1 x 0.17、平面通过两直线 L : x 1 y 2 z 5 和y 3 z 1 的

10、公垂线L : x 12121132L，且平行于向量 1,0,1 ，试求此平面方程.c18、计算sin y2dxdy， D是x 1、 y 2 、 y x 1 围成的区域.D19 、 设 z f x2 y2 ,exy ， 其 中 f 具 有 连 续 二 阶 偏 导 数 ， 求2zxy20.已知函数 y (x1)ex是一阶线性微分方程 y 2y f(x)的解, 求二阶常系数微分方程y 3y 2y f(x)的通解.5四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）21、过坐标原点作曲线 y ln x 的切线，该切线与曲线 y ln x 及 x 轴围成平面图形 D 。(1)求 D 的面

11、积； (2)求 D 绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积V 。22、如图，在圆形湖面上有一亭子，湖心在O 点，沿湖岸有一条环湖公路，在公，摩托车速度为湖中划B船速度的 4 倍，现在有人要从 A 点到 B 点（ A 点在公OA 2 公里， OB 1公里， OA OB ），先骑摩托车，乘船（船沿直线行驶），问应在何处换乘船，才能以最短的时间到达 B 点。，OA五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）2 )， x (0,423、证明： cos 242arctan xt24、已知两曲线 y f (x) 与 y edt 在点(0,0) 处的切线相同，证明极限02lim nf

12、( ) 2 。n江苏专转本高等数学选拔n仿真试题(三)一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）1、设 f (x) 为连续函数，且满足 f (f (x)dx ，则 f (x) =2、设 f (x) 是连续函数，并满足 f (x) sin xdx cos2 x c ，又 F (x) 是 f (x) 的原函数，且满足 F (0) 0 ，则 F (x) 。x23、函数 f (x) 0 (2 t)e dt 的极大值为t4、设 y C e2x C e3x 为某二阶常系数线性微分方程的通解，则该微分方程12 为5、设| a | 1， | b | 1， a 与b 的夹角(a, b )

13、30 ，则以a 2b和3 ab 为邻边的平行四边形面积 S =ln(1 n) xn1 的收敛域为6、级数n1n6二、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）x2 x2teef (t)dt0f (x)7、设 f (x) 在0,) 上连续，且满足 lim 1，求 w limx 2f (x)xxx 2 n 18、求 y lim(x) 的间断点，并判断其类型。x 2 n 1nxe x9、求不定积分dxe 1x10、设 f (x) 连续，且当 x 1时， f (x)0f (x)。，求2(1 x)2: x 1 y 2 z 5 和y 3 z 1 的公垂线L : x 11、平面通过两直线

14、L12121132L ，且平行于向量 1,0,1 ，试求此平面方程.c1112、求积分| xy 1| dxdy ， D (x, y) 2 x 2, 2 y 2。D13、设二元函数 f (x, y) 有一阶连续的偏导数，且 f (0,1) f (1, 0)。证明：单位圆周上至少存在两点满足方程 y x f (x, y) x y f (x, y) 0。14、设 y x2ex 是方程 y ay by cehx 的一个解，求常数a, b, c, h 。三、综合题（本大题共 4 小题，每小题 11 分，满分 44 分）15、设两曲线 y a x (a 0) 与 y lnx 在(x 0 , y0 ) 处有

15、公切线，求这两曲线与 x7轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积Vx 。f (x)x1 2 ，(x) f (xt)dt ，求 16、设 f (x) 连续且lim(x) ，并其连续性。x0017、求幂级数 1 xn1 的和函数。n1 n2n1x18、设 f (x) t t dt(x 1) 求 f (x) 与 x 轴围成封闭圆形的面积1五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）19、求证： x (0,1) 时， (1 20、设函数 f (x) 在a, b上连续，在（ a, b 2 。， 0 a b 试证存在 , (a, b)使 f ( ) a b f ()21991

16、 年江苏省普通高等学校非理科专业本科高等数学竞赛试题一、填空题（每小题分，共 50 分）1函数 y=sin x |sin x |（其中| x |）的反函数为。2当 x 0 时，3 x -4sin x +sin x cos x 与 x n 为同阶无穷小，则n=。在 x =1 时有极大值 6，在 x =3 时有极小值 2 的最低幂次多项式的表达式是。d ndxn4设 P( x )=(1- x m)n，m，n 为正整数，则 P(1)=。dx 5(2。26函数 f（ x）= ln（1- x -2 x ）2 关于 x 的幂级数展开式为，该幂级数的收敛区间为。7已知微分方程 y y ( ) 有特解 y x

17、x则（ x ）=。xyln | x |x 2z8直线绕 Z 轴旋转，得到的旋转面方。y 189已知 向量， a 3b垂直于7a 5b ， a 4b 垂直于7a 2b ，则a 为向量 与 的夹角为。ab10曲线 C 为 x 2 + y 2 + z 2 = R2 与 x + z = R 的交线，从原点看去 C 的方向为顺时针方向，则 ydx zdy xdz .c二、（7 分）已知数列nan 收敛， n2n(an an1 ）也收敛，求证 an 收敛。n1三、（7 分）一向上凸的光滑曲线连接了 O(0 , 0) ， A(1 , 4) 两点，而 P(x , y) 为曲4线上的任一点，已知曲线与线段 OP

18、 所围区域的面积为 x 3 ，求该曲线的方程。四、（12 分）求下列曲面： x 2+ y 2=c z ， x 2- y 2=a2， xy =b2 和平面 z =0 围成区域的体积（其中 a，b，c 为正实数）五、（12 分）一点先向正东移动 a 米，然后左拐弯移动 aq 米（其中0 q 1 ），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的 q 倍，这样该点有一极限位置。试问该极限位置与原出发点相距多少米？六、（12 分）已知 f（ x ）在0，2上二次连续可微，f（1）=0，证明2| 01f (x)dx | M，其中 M= max |3f (x) |x0,21991 年江苏省普通高等学校非

19、理科专业本科高等数学竞赛试题参考与评分标准一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）x , x 1,11 y sgn xarcsin1 arccos(1 2x)0,1，又或 y x 0,1x 1,0arcsinx ,x ,2或 y 1arcsinarccos(1 2x)1,02 2 ；4 (1)n n!mn ；25；352；n11 1n1 11(1)1 (2) x； nnn7 6, ；2 2 x299 ；310， 2 R 28 x 2 y 2 4z 2 1；2N 1N 1N 1N 1N n(an an1 ) nan nan1 nan (n 1)ann2n2n2n2n1（4 分）二、N (N 1

20、)aN 1 a1 ann1NN ann1(N 1)aN 1 a1 n(an an1 )n2因为右边当 N 时收敛，从而左边也收敛，即级数 an 收敛。（3 分）n1三、设该曲线为 y y(x) ，由题意x1 y(x)dx 2 xy( 1（2 分）0 218381两边对 x 求导得 yy y y x（2 分）3x3且 x 0 时， y 0 ，此微分方程的通解为 518y x(c x 3 dx) c 131y 4x 3由 y(1) 4 得 C=0，所以该曲线方（3 分）四、xz 、 yz 平面将该区域分成四块等体积区域，将第一卦限的一块在 xy 平面上投影见图AOB 记为AOC 记为 ，区域 OA

21、BO 记为（D1），区域 OBCO 记为（D2）， AB, BC, CE 的极坐标方程分别为 1 ( ), 2 ( ), 3 ( ),a 2r cos 2 a，cos 22221则r，12b21rsiin2 b，2sin 222r2，2210a 2r cos 2 a222cos 2r（3 分），33r ( ) 1121 2V 4 (x 2 y 2 )dxdy 4 d0r 3dr r 4 ( )dccc 0D01 a 44b2a 4d d d=2 c 0 cos 2 sin 2cos 2 2222a 42b 4a 4=tg 2 ctg 2tg 22c2c（5 分）c2b2a 22b 2a 22

22、) r (2 ) 得tg 2 ，由r ( ) r ( ) 得tg 2 22由r (1223 2b 4a 2b 2a 22b4a 2a 42b 24a 2b 2V ( 2b 2 ) () （4 分）2a 2ccc2b2cc五、设出发点为(x0 , y0 ) ，前四点位置为(x0 , y0 ) (x0 a, y0 ) (x0 a, y0 aq) (x0 a(1 q ), y aq)20 (x0 a(1 q ), y a(1 20)（3 分）用 x0 a(1 q ), y a(1 20, aq 4 , ，分别代替 x , y , a, ，就00后四点坐标，从而经过4k 段路后到达(x4 k , y4

23、k ) ，有4(k 1) ， x0 a(1 q ) a(1 24 a(1 x4k2 )q 4( k 1) ， y0 a2 ) a2 )q 4 ay4k（4 分） x0 a(1 4 q 4( k 1) x4k1a a(1 q 2 ),(k )1 q 41 q 2aqy y ,(k )4 k01 q 2a极限位置和出发点的距离d （5 分）1 q 2112x2六、 f (x)dx dx f (t)dt（3 分）0011t22 f (t)dt dx f (t)dt dx（3 分）001t12 tf (t)dt (2 t) f (t)dt011 12 1 t 2 f (t)dt (2 t)2 f (t

24、)dt（3 分）0 21 22 f (x)dx01 12 11 M t 2dt (z t)2 dt M（3 分）0 21 231991 年江苏省普通高等学校非理科专业专科高等数学竞赛试题一、填空题（每小题 5 分，共 40 分）1函数 y =sin x |sin x |（其中| x |）的反函数为。2sin mx 2 m ，n 为整数， lim。sin nxxf (x x) f (x x) 3 , 为常数，f（ x ）可导， lim。xx0当 x 0 时，e x +ln（1- x ）-1 与 x n 是同阶无穷小，则 n=。在 x 1时有极大值 6，在 x 3 时有极小值 2 的最低幂次多项式

25、的表达式是。16 1）d x =。7已知微分方程 y y ( ) 有特解 y xx则（x）=。xyln | x |8 设 P（ x ），Q（ x ），f（ x ）都是连续函数，已知微分方程 yP(x) yQ(x) y f (x) 有三个特解 x ， ex , e x ，则此微分方程的通解为。n1 (n!)2二、（8 分）判别级数 (1)(2n)! 的敛散性。（包括发散，条件收敛和绝n112对收敛）。 0 ，试证明数列xn收敛，并求lim xn三、（8 分）设nn四、（8 分）求一连接O （0，0），A（1，1）两点的向上凸的连续曲线，使其上任一点 P（ x, y ）到O 的直线段O P 与该曲

26、线所围区域的面积为 x3 。五、（12 分）设 f（ x ）在0,上有定义，在（0，+）内可导， g(x) 在（-，+）内有定义且可导，f（0）=g（0）=1，又当 x0 时f (x) g(x) 1,f( x )+g( x )=3 x +2，f (2x) g(2x) 12x 2 1,求 f( x )与 g( x )的表达式六、（12 分）设 f（ x ）为0,上的单调减少的连续函数，试证明：x (x 2 3t 2 ) f (t)dt 0 。0七、（12 分）设a1 , a2 , an 为常数，且nn ak sin kxk 1sin x , an j1 sin jxsin x，j 1n2 akk

27、 1n 1试证明1991 年江苏省普通高等学校非理科专业专科高等数学竞赛试题参考与评分标准一、填空题（每小题 5 分，共 40 分）1 y 0 x 1 1 x 0arcsinx ,x , arcsin；2 (1)mnnm3 ( ) f (x)；43；6 4e。1x 25 y 27 ；8 y c1 (x e注：第 8 题有多种形式。13(n!)2二、（8 分）解：记an (1)n1，由于(2n)!a(n 1)!(n 1)!(2n)!(n 1)21 n1an,(n )5 分(2n 2)!n!n!(2n 2)(2n 1)4判别法得 ann1收敛，因此原级数绝对收敛。3 分应用 0, x1 x2。归纳

28、假设 xk 1 xk则三、（ 8 分）解： 1。故 xn 为单调减少数列。k 1又 x1 2 ，归纳假设 xk 2 ，则 xk 1 1 xk 1 (2) 3 2 ，xn 为单调有界数列，因此xn 收敛。所以对一切正整数n 有 xn 2 ，综上设 x A,(n ),则A 1 A 0.解得A 1 (1 5),因A 0,n2 x 1 (1 5)(n ).3 分n2x1 ydx xy x3四、（8 分）解：设该曲线为 y y(x) ，由题意2 分20两边对 x 求导得 xy y 6x 2 ，（2 分）， 当0 x1时， y 1 y 6x ，此微x1 dx 1dxy e( 6xedx c) x(c 6x

29、),分方程的通解为x5 分x由 y(1) 1，c 7 ，因此所求曲线为 y x(7 6x)1 分五、（12 分）解：将 f (x) g(x) 1两边积分得f (x) g(x) x c1由f (0) g(0) 1,c1 0 f (x) g(x) x3 分此式与 f (x) g(x) 3x 2 联立，解得 f (x) 2x 1, g( 0) ，2 分在 f (2x) g(2x) 12x 2 1中令u 2x 得 f (u) g(u) 3u 2 1两边积分得f (u) g(u) u 3 u c ，2由 f (0) g(0) 1，c2 2 ，所以14g(u) u 3 u 2 f (u) u 3 u 1,

30、 (u 0) 1, (x0)g(3 分x 1,x 00 0);g(x) 即 f (1 分x六、（12 分）证：记 F (x) (x 2 3t 2 ) f (t)dt ，则0 xxF (x) x 2 f (t)dt 3 t 2 f (t)dt ，2 分00 xxF (x) 2x f (t)dt x 2 f (x) 3x 2 f (x) 2x f (t)dt 2x 2 f (x)3 分00 x应用积分中值定理，知存在 0, x ，使得 f (t)dt f ( )x0 F (x) 2x 2 f ( ) f (x)由于 f (x) 在0,上单调减少，故 f ( ) f (x) ，从而 F (x) 0F

31、 (x) 在0,上单调增加，又 F (o) 0, ， F (x) 0 得证3 分2 分2 分nn七、（12 分）证：记 f (x) ak sin kx ， g(x) an j1 sin jx ，k 1j 1则 f (x) a1 cos x 2a2 cos 2x nan cos nx,g(x) an cos x 2an1 cos 2x na1 cos nx,3 分 f (o) g(o) (n 1)(a1 a2 an )f (o) g (o)n 1n 1 ( f (o) ag(o) 5 分kn 1k 1f (x) f (o) lim sin x 1,f (o)而limx0 xxx0lim g(x)

32、 g(o) limx0 1,g(o)xx015sin xxn 2 a4 分kn 1k120042005 年度高等数学竞赛试题一、填空题（每题 4 分，共 20 分）1设当 x 0 时， (1 cos x) ln(1 x2 ) 是比 xsin xn高阶的无穷小，而 xsin xn是2比ex 1高阶的无穷小，（2）整数n等于。dy（ 832设 y sin2 (x4 ) ，则4 ) ）=。d(x3)3 两平面 1 :19x 4y 8z 21 0和 2 :19x 4y 8z 42 0之 间的距离（1）为 。dx4(2。（ ）82 5 (a b) a ( ab) （0）。分析： (ab) a 与a 共线

33、，而a (a b) ，(ab) a ( a b) ， (ab) a ( a b) 0 。（10 分）已知 lim (5x ax2 bx c) 2 ，求a、b。二、x25x2 ax2 bx c解： lim (5xax bx c) lim2，xx 5xax2 bx c(25 a)x2 bx c lim 2 ，25 a 0 , a 25 ， b 2(5 25) 20 。x 5xax2 bx c三、（10 分）设 f(x) 在(, ) 内可导，且lim f(x) e，xx c) lim f(x) f(x 1)，求cxlim(的值。x cxxx c日中值定理有 f(x) f(x 1) f() 1) e

34、，而由x2c解：lim(x cxlim f(x) f(x 1) lim f() e， e2c e， c 1 。2x四、（ 10 分） 设 f(x) 在0, ) 上可导， f(0) 0 ， 且其反函数为 g(x) ， 若16f ( x)g(t)dt x e ，求 f(x) 。2 x0解： f(x) 与g(x) 互为反函数，g f(x) xf ( x)g(t)dt x e ，得g f(x) f (x) 2xe x e ，2 xx2 x由0 f(x) 2ex xex ， f(x) (2e f(0) 0 ， c 1， f(x) ex xex 1 C，x五、（10 分）若当x 0 时， F(x) (x2

35、 t2 ) f (t)dt的导数与x2 为等价无穷小，0求 f (0) 。xx解：由F(x) 2xf(t)dt x2 f (x) x2 f (x) 2xf(t)dt，00 x2x f (t)dt2 f(t) xF(x)2 f(x) f(0)0 lim limo lim 1又limx2xxxx0 x0 x0 x0f(x) f(0) 1 f (0) limx2x0 x earctan x六、（10 分）计算3 dx(1 x2 )2x earctan xtan tet1令arctan xtdtan t sintedt e (sin t cost) Cdxtt解：3(1 x2 )2sec3 t2x 1

36、 1 earctan x 2c。1 x2ddx11七、（10 分）计算I cos(ln)dx，其中n为自然数。2nxeddx1112n12n12n解： I cos(ln)dxsin(ln) xsin(lnxeee令ln 1 u x2n0sinudu 2n0sinudu 4n17或令1 t x1e2n令ln tu2n12n0t ()dtsin(lnt)d(ln t)sinudu 4nsin(ln t)2te1八、（10 分）一容器的侧面和底面可看作曲线段 y x2 1 (1 x 2) 和直线段y 0 (0 x 1) 绕 y轴旋转而成（见附图，坐标轴长度为1米），若以1米3 /分的速度向容器注水，

37、试求当水面高度达到容器深度一半时水面上升的速度。y解：设注水t分钟后，容器水面的高度为h h(t)hv t (y1)dy注水t分钟后的体积012x0t (h2 2h) 2两边关于t求导得1 (2h 2) dh2dt所以 dhdt12米/分。h 3 2h 3 2(h1)5九、（10 分）设 f(x) 在0，1上连续，在（0，1）内可导， f(0) 0 , 0 f(x) 1，11求证：f(x)dx f (x)dx2300证明：令F(x) 0F(x) 20，则0) ，x再令(x) 2f(x)dx f (x) ，则(x) 2 f(x) 2 f(x) f(x) 2 f(x)1 f2(x) ，0因为 f(

38、0) 0 , f(x) 0 ，所以当x 0 时， f(x) f(0) 0 ，所以(x) 0 ，(x) (0) 0 ，因此有F(x) F(0) 0 ，故F(1) 0 ，11从而有f(x)dx f (x)dx。23002004 年江苏省普通高等学校非理科专业第七届高等数学(专科)竞赛试题一、填空题(每小题 5 分，共 40 分，把写在题中横线上)181 f (x) 是周期为 的奇函数，当 x (0, 时， f (x) = sin x cos x 2 ，则当2x ( , 时， f (x) =2322x 0 时，与cxk 为等价无穷小，则 c= 1 223 lim(sin x) tan=x2x e1

39、1 1dx n4. lim( n n . n) = lim 1 0 1 x 2n2 1n2 4n 2 n 2kn n4xk 1 1 ( )2n5 f (x) = x 2 ln(1 x), n 2时， f n (0) ex (1 x)16 (1 xe x )2 dx = c (1 xe x )7以直线 x=y=z 为对称轴，半径 R=1 的圆柱面方 8 n ln 2 n1 (n 1)2n二 、（ 10 分 ） 设 f (x) 在 a, b 上 连 续， 在 (a, b) 内 可 导 ，f (a) a,f (x)dx 1 (b 2 a 2 ) ， 求证：在 (a, b)b内至少有一点 ， 使得 2

40、af ( ) f ( ) 1解由 f (x)dx 1 (b 2 a 2 ) ，两边对b 求导得 f (b) bb2a令 F (x) ( f (x) x)ex因为 F (a) ( f (a) a)ea 0 ， F (b) ( f (b) b)eb 0所以在(a, b) 存在一个点 ，使 F / ( ) 0 ，即 f ( ) f ( ) 1三、（10 分）设 D： y 2 x 2 4, y x, x y 2, x y 4 ，在 D 的边界 y x 上任意取点 P，设 P 到原点的距离为 t，作 PQ 垂直于 y x ，交 D 的边界 y 2 x 2 419于 Q，1) 试将 P，Q 的距离 PQ表

41、示为 t 的函数；2)求 D 绕 y x 旋转一周的绕旋体体积。四、（10 分）设 f (x) 在 , 上有定义， f (x) 在 x=0 处连续，且对于一切实数x1 , x2 , f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 求证： f (x) 在 , 处处连续证明令 x2 0 ，则 f (x1 0) f (x1 ) f (0) ，即 f (0) 0 ，因为 f (x) 在 x=0 处连续，故lim f (x) f (0) 0 x0在 , 上任取一点 x0 ，有 f (x0 x) f (x0 ) f (x)当x 0 时，有 lim f (x x) lim f (x ) f (x) f

42、 (x ) lim f (x)0因为lim f (x) f (0) 0 ，所以 lim f (x0 x) f (x0 ) ，连续x0 x0五、（10 分）设k 为常数，方程kx 1 1 0 在0, 上有一根，求k 的取值范围x六、（10 分）已知点 P（1，0，-1）与 Q（3，1，2）在平面 x 2 y z 12 上求一点 M，使得 PMMQ最小七、（10 分）求幂级数 1xn 的收敛域n1 n(3n 2n )林 业 大 学2003 年攻读高学位数入学等学试题一、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，计 24 分）当 x 0 时， 4xn1cos x 与为同阶无穷小， 则n 。设 a(1 c

43、os ) ，则 dy 2。dx设 f (x)( x ) 是以 2 为周期的函数，且 f (x) ex (1 x 1) ，3设0 a 2 ，则 f (a) 。20已知 f(x) x3 ax2 bx 在 x 1 处取得极小值-2 ， 则 a ，4b 。sin xtt2x设F(x) dt，则F (x) 5。x sin x sin 2 x设0dx ，则02dx 。6xx2二、选择题（共 6 小题，每小题 4 分，计 24 分）lim f(x) a是lim1f(x)a 的条件。（）xx0（A）xx0充分（B）必要（C）既不充分也不必要（D）充要2.若实系数的方程a x4 a x3 a x2 a x a

44、0 有四个不同的实根，则01234方 程 4a x3 3a x2 2a x a 0 的 实 根 个 数为 。0123（A）1（B）2（C）3（D）（0设 f(x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，则必定存在一个正数 ，使得3）（A）曲线 y f(x) 在(x0 , x0 ) 内是凹的。（B）曲线 y f(x) 在(x0 , x0 ) 内是凸的。（C） 曲线 y f(x) 在(x0 , x0 内单调减少，在x0 , x0 ) 内单调增加。（D） 曲线 y f(x) 在(x0 , x0 内单调增加，在x0 , x0 ) 内单调减少。若 函数 y f(x) 在 a,b 上 连续 ， x0 为 (a,

45、b) 内 任一 固定 点， 则4d0dxf(x)dx x。a（）（C）f(x0 ) f(a)（D）0（A）f(x0 )（B）f(x)f(x) 0, f(x) 0, f (x) 0 ， 令 s bf(x)dx ，5 设在区间a,b 上函数1as 1 f(a) f(b)(b a)s f(b)(b a)， 则 。232（）（A）s1 s2 s3s2 s1 s3（B）21s3 s1 s2s1 s3 s2（C）（D）线性微分方程有一个特解 x 2e3x cos x ，则 是该微6 设n 阶常系数分方程的一个特征根。（A） 1（D） 3 i（B）2（C）311 x(1 x) x x 0f (x) 三、（本

46、题满分 8 分）求a 的值，使函数连续。ex 0ad 2 y已知函数 y ln f (x ) ，其中 f 二阶可微，求。2四、（本题满分 8 分）dx 2五、（本题满分 8 分） 求证方程(x a) 2 (x b) x 2 (a 0, b 0) 有一个正根和两个负根。x六、（本题满分 12 分） 求函数 y x 点、渐近线。的单调区间及极值、凹凸区间及拐x 2 1设函 数 f (x) 在 a, b 上有 二阶 导数 ， 且七 、（本 题满 分 9 分） f (a) f (b) 0, f (a) 0 ，求证：在区间 (a, b)内至少存在一点 ，使f ( ) 0 。八、（本题满分 10 分）设

47、f (x) 具有二阶连续导数，且 f (x h) f (x) hf (x h)(0 1), f (x) 0 ，求证： lim 1 。2h02 a九、（本题满分 8 分）在什么条件下，积分为有理函数。x a(t sin t)(0 t 2 ) 与 X 轴所围图形十、（本题满分 10 分）求摆线一拱 y a(1 cos t)绕其对称轴旋转一周所形成的体积。22十一、（本题满分 10 分） 求证： 0sin t dt 0 。0 x 1，十二、（本题满分 10 分） 已知微分方程 y y f (x) ，其中 f (x) 10 x 122求满足 y(0) 0 且在0,1 与(1,) 内满足微分方程的连续函

48、数 y y(x) 。f (x) f ( y)十三、（本题满分 9 分） 求满足 f (x y) 及 f (0) 1 的函数 f (x) 。1 f (x) f ( y)2002 电子高等数学竞赛试题与解答一、选择题（40 分，每小题 4 分，只有一个正确）.x1设 f (x) 在a, a（ a 0 ）上连续，且为非零偶函数， (x) f (t)dt ，则(x)（B）.0（A）是偶函数；（C）是非奇非偶函数；（B）是奇函数；（D）可能是奇函数，也可能是偶函数.b2设 f (x) 在a, b 上连续，且 f (x)dx 0 ，则（D）.a（A）在(a, b) 内不一定有 x 使 f (x) 0 ；

49、（B）对于a, b 上的一切 x 都有f (x) 0 ；（C）在a, b 的某个小区间上有 f (x) 0 ；（D）在 (a, b) 内至少有一点使f (x) 0 .x3已知当 x 0 时， F (x) (x t 2 ) f (t)dt 的导数 F (x) 与 x 2 为等价无穷小，20则 f (0)（B）.（A）等于 0；（B）等于 1 ；（C）等于 1；（D）不存在.24设 y(x) 是微分方程 y (x 1) y x 2 y e x 的满足 y(0) 0 ， y(0) 1 的解，则lim y(x) x（B）.x 2（A）等于 0；x0（B）等于 1；（C）等于 2；（D）不存在.5设直线

50、 L： x 3y 2z 1，平面 ： 4x 2 y z 2 ，则它们的位置关系2x y 10z 3是 （C）.（A） L / ； （B）L 在 上；（C） L ； （D）L 与 斜交.6设在全平面上有 f (x, y) 0 ， f (x, y) 0 ，则保证不等式 f (x , y ) f (x , y )1222xy成立的条件是（A）.（A） x1 x2 ， y1 y2 ；（B） x1 x2 ， y1 y2 ；23（C） x1 x2 ， y1 y2 ；（D） x1 x2 ， y1 y2 .7设 S 为八面体| x | | y | | z | 1全表面上半部分的上侧，则不正确的是（D）.（A）

51、 y 2 dydz 0 ；（B） y dydz 0 ；（C） x 2 dydz 0 ；（D） x dydz 0 .SSSS 是（A）.8设常数 0 ，则级数(1) tann1nn 2 （A）条件收敛； （B）绝对收敛；（C）发散；（D）敛散性与 有关9设A、B 都是n 阶非零矩阵，且 AB O ，则A 和B 的秩（D）.（A）必有一个等于零；（B）都等于n ；（C）一个小于n ，一个等于n ；（D）都小于n .10设 A 是 3 阶可逆矩阵，且满足 A2 A 6E 0 ， | A* | 144 （ A* 为 A 的伴A随矩阵），则的三个特征值是（C）.（A）3，3， 2 ； （B） 3 ， 3

52、 ，2； （C）3， 2 ， 2 ；（D） 3 ，2，2.1二、（8 分）设 f (x) 在 x 0 的邻域具有二阶导数，且 lim 1 e3 ，x0试求 f (0) ， f (0) 及 f (0) .f (x)ln1 x1f (x) x) 0解 lim1 x x0 e3 limx0 xf (x) f (0) 0 lim f (x) 0 lim f (x) 0 f (0) f (0) lim0 x 0f (x)x f (x) 2 lim f (x) 2 f (0) lim0f (x) f (0) 4由等价无穷小得lim x 3 limx 0 xx0 0(x 2 ) 11（或由公式得 f (x)

53、f (0) 2 2 f (0) 4 ） 0) limf (0)x0 22x1三、（8 分）设 f (x) arcsin(x 1) 及 f (0) 0 ，求 f (x) dx .201111解12f (x)dx f (x)d (x 1) (x 1) f (x) (x 1) f (x)dx (x 1) arcsin(x 1) dx0000000u arcsin u du arcsin u 1 u1 2u1 u2arcsin udu令x 1 u221 1 1 .01 t 412242四、（8 分）设函数 u(x, y) 满足 uxx u yy 0 与u(2 ，求， ux (24) ， u) ， u

54、yy (x, 2x) （ ux 表示u 对 x 的一阶偏导数，其他类推）.两端对 x 求导,得ux (x,2x) 2uy (x,2x) 1u解等式u(2 .uy (这两个等式,对 x 求导得2 )ux (, uyx (x,2x) 2uyy (uxx (x,2x) 2uxy (.uxy 5 x .由已知条件得uxx u yy ,uxy uyx ,故解得u，3五、（8 分）设向量组1 ， 2 ， s 是线性方程组 AX 0 的一个基础解系，向量 不是方程组 AX 0 的解，即 A 0 ，试证明：向量组 ， 1 ， 2 ， s 线性无关.sss证设有一组数k, k1, k2 , ks 使得k ( i

55、 ) 0 ,即(k ki ) (ki )ii1i1i1sssA,得(k ki ) A (ki ) Ai 0 A 0 , k ki 0两边i1i1i1sss(ki )i (k ki ) 0 ,即kii 0 ,1 2 , s 为 AX 0 的基础解系i1i1i1 k1 k2 ks 0 k 0 。故 , 1, s 线性无关。六、（10 分）已知三元二次型 X T AX 经正交变换化为 2 y 2 y 2 y 2 ，又知123A* ，其中 (1, 1, 1)T ， A* 为 A 的伴随矩阵，求此二次型的表达式.解由条件知 A 的特征值为2,1,1 ，则| A | 2 ， A * 的特征值为| A |

56、，A*的特征值为1,2,2 ，由已知 是 A*关于 1 的特征向量，也就是 是 A 关于 2 的特征向量，设 A3 )T, A 是实对称阵， 与 X 要正交，关于 1 的特征向量为 ( 1 11 0出 1 (1,1,0)T , 2 (1,0,1)T. 令 P (3 0 解 , , ) 1 1， 则1112021 2 1 1 111 1111 001P1AP 1， A P P 1 0 1 1 1 2 1 01 故1 3 0 11 112111X T A2 22 x3七、（8 分）设 S 是以 L 为边界的光滑曲面，试求可微函数(x) 使曲面积分25(1 x 2 ) (x) dydz 4xy (x

57、) dzdx 4xz dxdyS与曲面 S 的形状无关. 解 以 L 为边界任作两个光滑曲面 S1, S2 ， 它们的法向量指向同一例， S1S2，记 S * 为 S1 与 S2 所围成的闭曲面，取外侧，所围为 ，则PQR 0 ，由 公式得()dV 0 ，由 的任意性得 xyzS S*S12P Q R 0 22 ) (x) 0 , 即 (1 (x) 4x 0 解4xyz线性非方程得 (x) cx2 c 2 .八、（10 分）设一球面的方x 2 y 2 (z 1) 2 4 ，从原点向球面上任一点Q 处的切平面作垂线，垂足为点 P，当点 Q 在球面上变动时，点 P 的轨迹形成一封闭曲面 S，求此封

58、闭曲面 S 所围成的 的体积. 解 设 点 Q为 (x0 , y0 , z0 )， 则 球 面 的 切 平 面 方垂线方0 ) y0 ( y y0 ) (z0 1)(z z0 ) 0 xyz x tx, y ty, z 1 tz 代入 x 2 y 2 (z 1)2 4 及切平面方程 得000000 x0y0z0 14x 2 y 2 z 2 ， x 2 y 2 z 2 z t(x 2 y 2 z 2 ) ，即(x 2 y 2 z 2 z)2 4(x 2 y 2 z 2 ) （P 点t 2轨迹）.化为球坐标方程得 2 cos .2 2cos 402.23V d sin d d (2 cos) d

59、(2 cos)330000九、（10 分）设函数 f (x) 在a, a（ a 0 ）上连续，在 x 0 可导，且 f (0) 0 . xx（1）求证： x (0, a) ， (0, 1) ，等式 f (t) dt 0 f (t) dt x f ( x) f ( x)0成立.（2）求极限 lim .x0 xx证（1）令 F (x) f (t)dt f (t)dt , x (0, a) ,由中值定理得00 xx F (0) 0 ，f (t)dt 0 f (t)dt x f (x) f (x).F (x) F (0) F (x)(x 0), (0,1)0 x xf (t)dt 0 f (t)dt

60、f (x) f (x) （2）由上式变形得，两边取极限， x 0 ，02x2x226f (0) lim ， f (0) 0 ， lim 1 .f (x) f (x) 1 f (0) ， 右左 limx04x2x0 x021十、（10 分）设函数(x) 在（ ， ）连续，周期为 1，且 (x) dx 0 ，01函数 f (x) 在0，1上有连续导数，设a f (x) (nx) dx ，求证：级数a 2 收敛.nn0n112nx证由已知条件 (u)du (u)du (u)du 0 ，令 F (x) (t)dtn1010则 F (x) 为周期为 1 的函数，且 F (nx) (nx), F (0)