线性代数历年考试试题与答案

1、20032004年度第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A）本试卷共九大题 一填空题：（每题4分，共20分）1 。2设A为3阶方阵，且，则 。3向量组线性 关。4线性方程组的基础解系中含有 个向量。5设为的一个基，且在该基下的坐标为，则t= 。二选择题：（每题4分，共20分）1设n阶矩阵A的每行元素之和为1，则A必有一个特征值 A. 1 B. 1 C. 0 D. n2设矩阵，仅有零解的充分必要条件是 A. A的行向量组线性相关 B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关 D. A的列向量组线性无关3设为的一个基础解系，则下列 也是该方程的一个基础解系。A. 与等价的一个向量组 B.

2、与等秩的一个向量组C. D.4下列结论正确的是 A. 若存在可逆的P使PA=B，则A与B应有相同的标准形B. 若为A的两个不同的特征值对应的特征向量，则是正交的C. 若同为实对称阵A的某个特征值的两个特征向量，则必线性无关D. 矩阵A能对角化的充要条件为A有个n互不相同的特征值5设三阶矩阵A的特征值为0，-1，1，其对应的特征向量分别为，令，则 A. diag(0,-1,1) B. diag(-1, 0,1) C. diag(-1,1,0) D. diag(1,0,-1)三（7分）求行列式四（7分）利用初等变换求的逆矩阵.五（8分）设，且，求B.六（10分） 求向量组,的一个最大无关组，并把其

3、余的向量用最大无关组线性表示.七（10分）问k为何值时，线性方程组有解，并求出其全部解.八（12分）设矩阵A与B相似，其中，求x,y; 求正交阵P，使得.九（6分）证明：设A为mn阵，方程有解的充分必要条件是.20042005学年第1学期考试试题（A）卷一、选择题（1）方阵A，B满足r(A)=r(B)，则（答案填在卷首答题处）（A）AB=O （B）r(AB)=0 （C）r(A，B)r(A)+r(B) （D）r(A+B)=2r(A)（2）向量组线性相关，则（答案填在卷首答题处）（A）可由其余向量线性表示；（B）至少有一个零向量；（C）中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；（D）任两个向量成比例

4、.（3）设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为r，则AX=0有非零解的充分必要条件是（答案填在卷首答题处）（A）r=n （B）rn（4）n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（答案填在卷首答题处）（A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件（5）矩阵，则（答案填在卷首答题处）（A）A=O （B）det(A)0 （C）r(A)=0 （D）A=AT二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分。把答案填在卷首答题处）（6）设A=，则=（答案填在卷首答题处）（7）设A=，则rank（A）=（答案填在卷首答题处）（8）设A=，B=，则

5、3AB-2A=（答案填在卷首答题处）（9）设A=，则|A|=（答案填在卷首答题处）（10）设是线性方程组AX=b的解，若也是AX=b的一个解，则=（答案填在卷首答题处）三、解答题（本题共8小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（11）（8分）求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1 0 1 0 0)，(1 1 0 0 0).（12）（8分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1(1 2 1 4)T，a2(9 100 10 4)T，a3(2 4 2 8)T.（13）（8分）设向量组设是线性方程组AX=0的一个基础解系，向量满足，证明：向量组线性无关.（14）（8分）已知

6、阶矩阵A，B满足AB=A+B，试证AE可逆，其中E是阶单位矩阵.（15）（8分）已知，求A的伴随矩阵.（16）（10分）求齐次线性方程组的通解：（17）（10分）试求一个正交的相似变换矩阵，将对称阵化为对角阵.2005-2006学年第1学期考试试题 （A）卷一、选择题（本题满分16分共个小题，每小题4分在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内）1、排列 的逆序数为（）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 2、设是阶方阵，经过若干次初等列变换变为矩阵，则（）（A）； （B）存在可逆矩阵，使；（C）存在可逆矩阵，使； （D）存在可逆矩阵，使3、设有维向量组（）：和（

7、）：，则（ ） 向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关；向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关； (C) 向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关；(D) 向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关 4、设矩阵与相似，则（）（A）、都是可逆矩阵； （B）存在, 使得 ；（C）与的特征值相同； （D）可以通过相似变换化为对角矩阵二、填空题（本题满分20分共4个小题，每小题5分）1= 2 设，则3设 4三、计算题(本题满分30分共5个小题，每小题6分)1 ，计算：及2计算行列式 3解矩阵方程4求齐次线性方程组的通解 5已知3阶方阵的特征值为，为的伴随矩阵，求 四、解答题（本题满分8分）设，求矩阵

8、的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示解答题（本题满分9分）设，问取何值，可使（1）；（2）；（3）解答题（本题满分11分）设，求一个正交阵，使为对角阵证明题（本题满分6分）设为阶方阵，且的秩，证明答案：20032004年度第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A）参考答案填空题1、 2、108 3、相 4、3 5、2选择题1、B 2、D 3、C 4、C 5、C解：原式=24解：（2.5分） （5分）.（7分）解：对左乘A，右乘，又由，得（4分）即 （5分）因此，（8分）.解：对增广矩阵进行初等行变换（4分）最后一个矩阵对应方程组（6分）故原方程组的通解为（

9、为任意实数）（10分）解：因A与B 相似，故有，即（3分）解得.（4分）A的特征根为.（5分）解齐次线性方程组，得对应于的特征向量为，将它单位化得.（7分）对应于的特征向量为，将它单位化得.（9分）对应于的特征向量为.（11分）令，则即为所求正交矩阵.（12分）八、证明： 有解 （1分） （3分） （5分） （6分）20042005第一学期线性代数考试试题（A）标准答案二选择填空与填空题（每小题4分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）CCBBB2151三解答题（本题共8小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（11）（8分）求作一个秩是4的方阵，它

10、的两个行向量是(1 0 1 0 0)，(1 1 0 0 0)解：用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵： 8分此矩阵的秩为4，其第2行和第3行是已知向量（12）（8分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T解： 2分rank(A)=2 3分所以向量组的秩为2 4分a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T不成比例，所以 a1，a2为最大无关组. 8分（13）（8分）设向量组设是线性方程组AX=0 的一个基础解系，向量满足，证明：向量组线性无关证明：设 1分 （1）因为是线性方程组AX=0

11、的一个基础解系，所以 3分又，则 （2）由（1），又线性无关，所以6分由（2），所以向量组线性无关. 8分（14）（8分）已知阶矩阵，满足，试证E可逆，其中E是阶单位矩阵证明：AB-A-B=0 2分AB-A-B+E=（A-E）（B-E）=E 6分 8分（15）（8分）已知，求A的伴随矩阵解：因为 2分 4分 6分 = 8分（16）（10分）求齐次线性方程组的通解：.解：对系数矩阵A进行初等行变换，有 A 4分于是 6分故方程组的解为(k1 k2为任意常数) 10分（17）（10分）试求一个正交的相似变换矩阵，将对称阵化为对角阵.解：将所给矩阵记为A，由(1)2(10) 2分得矩阵A的特征值为1

12、21，310 3分对于121，解方程(AE)x0，即得线性无关特征向量(2 1 0)T和(2 0 1)T . 5分将它们正交化、单位化得 6分 对于310，解方程(A10E)x0，即得特征向量(1 2 2)T ，单位化得 7分于是有正交阵P(p1 p2 p3)，使P1APdiag(1 1 10) 10分04级线性代数试题（A卷）标准答案及评分标准一、选择题（本题满分16分共个小题，每小题4分在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内）1、A 4分2、D 4分3、B 4分4、C 4分二、填空题（本题满分20分共4个小题，每小题5分）1 12 5分2 5分3 5分4 3 5分 三、计算题(本题满分30分共5个小题，每小题6分)1 解：， 3分 6分2解： 3分 6分3解： 3分6分4解： ，3分，（为常数） 6分5解：， 3分 6分四、解答题（本题满分8分）解：由于，3分而方程与同解，即方程与同解，因此向量之间与向量之间有相