2007年gct入学资格考试数学精解

1、2007 年GCT 入学资格数学基础能力试题参考与1. 【】 D【】本题主要考查了拆项分组的数字计算方法，用到了等差数列与等比数列的求和公式。因为2(12 22 ) (32 42 ) (52 62 ) (7 82 ) (92 102 ) (1 2)(1 2) (3 4)(3 4) (5 6)(5 6) (7 8)(7 8) (9 10)(9 10) (3 7 11+15+19) 551 282 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 2 1 2550123456781 2所以2(12 22 ) (32 42 ) (52 62 ) (7 82 ) (92 102 )5511 20 21 22

2、23 24 25 26 27故正确为 D 。注 一般地， k2 (k 1)2 (2k 1) 。2. 【】 B25551【】本题主要考查了子集的概念与组合数的性质。的子集C1 4 个，由2 个元素的子集C2 6 个，由3 个元素由1个元素的子44集C3 4 个，再加上空集与全集，子集的个数共有4 6 4 2 16 个。4一般地， n 个元素的集合所有子集的个数为C0 C1 C2 Cn 2n 。nnnn为 B 。故正确3. 【】C【】本题主要考查了绝对值和算术根的概念及简单代数方程组求解。解法1由于 x y 2 和x 2 y 非负且 x y 2 x 2 y 0 ，所以x y 2 0 ,x y 2

3、0 ,x 4, x 2 y即解得x 2 y 0 , y 0 , 2,故正确为C 。解法2易知当 x 0 ， y 2 时， x y 2 选项验证法。x 2 yx 2 y 4 0 ；2 5 0 ；当 x 3 ， y 1时， x y 2 当 x 4 ， y 2 时， x y 2 故正确为C 。4. 【】 Bx 2 y 0 ；【】本题是一道算术与几何的简单综合题，考查了长方形公式与比的计算。解法1结合图形可以知道，图形中上下或左右长方形面积比相等。设第4 个小长方形的面9 15 或 9 12 ，解得 x 20 。积为 x ，则可列等式12x15xa为 B 。故正确b如右图所示，由于9 3 ， a 3

4、，9解法 2d155c124cab9所以。又 ab ，所以cd 20 ，即所求面积为20 。cd20故正确为 B 。】 A】本题主要考查了空间想象能力、勾股定理及圆柱体积公式。，一个长为12cm 的搅棒放在量杯内，搅棒的另一端最多能露出4cm ，表明直圆5. 【柱的高h 12 8 4cm；搅棒的另一端最少可露出2cm ，表明直圆柱的轴截面矩形的对角线长为l 12 2 10cm 。由勾股定理可知圆柱底面圆的直径是102 82 6cm ，半径为3cm 。因此，这个玻璃杯的容积为 32 8 72 ( cm3 )故正确为 A 。6. 【】C【】本题主要考查了运动物体在追击过程中的距离、速度和时间的关系

5、。11解法1设由 A 区到 B 区的路程为1，则甲每分钟走全程的，乙每分钟走全程的。3040甲每分钟比乙多走。乙比甲早出发5 分钟，则乙已走的路程是5 1 。因1111304012011408此，甲追上乙需要的时间是 15 分钟。8120故正确为C 。解法 2由题意知，甲追上乙时，两人路程相等。又因 s vt ，所以 v甲 t乙（当 s 不变v乙t甲时）。甲跑完全程需用30 分钟，乙需要 40 分钟，则 v甲 40 4 。设甲出发经t 分钟可以追v乙303上乙，已知乙比甲早出发5 分钟去 B 区，则有 v甲 5 t 4 ，解出t 15 。即15 分钟后乙可v乙t3以追上甲。故正确为C 。】 A

6、】本题主要考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值。7. 【解法1根据题意可进行计算：915bd12?AB2CD4 3RtABF 中， AB 2CD 且ABF 30 ，则 BF CD ；cosABFcos 3042 6又在 RtEBF 中， BFE 45 ， BE BF sin BFE CD ；3BE4 2在 RtBEC 中， BCE 60 ， CE CD ；sin BCE342 CDEC 4 2 。3在 RtCDE 中， tan CDE CDCD3故正确为 A 。ECABAB3由条件可知tan CDE ，且 2 ， cos 30 ，解法2CDCDBF2BEBF2BE3 sin 45 ，

7、sin 60 ，所以2EC2EC BE BF ABEC22 2 2 42tan CDE CDBE BF AB CD2333故正确为 A 。8. 【】 Bi 的正整数幂的周期性规律和复数模的概念与计算。【】本题主要考查了虚数因为i1 i ， i2 1， i3 i ， i4 1，所以z i1 +i2 +i3 +i4 +i5 +i6 +i7 i+( 1)+( i)+1+i+( 1)+( i) 1z i1 i2从而故正确为 B 。】 D】本题主要考查了独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率关系。9. 【解法1设两个装置在紧急情况发生时发出信号分别为事件 A ，B ，则 P( A) 09，P(B)

8、0.92 。由条件可知，在紧急情况发生时，每个装置不发出信号的概率分别是P( A) 1 P( A) 0.05 与 P(B) 1 P(B) 0.08 。由于两个装置是独立的，所以两个器同时均不发出信号的概率是 P( A)P(B) 0.05 0.08 0.004 。从而紧急情况发生时至少有一个器发出信号的概率是1 P( AB) 1 P( A)P(B) 1 0.004 0.996为 D 。由于两个故正确解法 2装置是独立的，所以紧急情况发生时恰有一个器发出信号的概器都发出信号的概器发出信号的概率为 P( A)P(B) P( A)P(B) 0.95 0.08 0.92 0.05 0.122 ，两个率为

9、 P( A)P(B) 0.95 0.92 0.874 。从而紧急情况发生时至少有一个率是P( AB) P( AB) P( AB) P( A)P(B) P( A)P(B) P( A)P(B) 0.122 0.874 0.996故正确为 D 。解法3本题利用排除法最简单。因为紧急情况发生时至少有一个器发出信号的概率肯定要比单个器发出信号的概率大，所以在给出的 4 个选项中正确的只可能是 D 选项。为 D 。故正确10. 【】 D【】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系定理和简单的代数公式。根据题意，两个不等的实数 a 与 b 分别是二次方程 x2 3x 1 0 的两个实数根。所以a b 3

10、， ab 1。从而 b a (a b)(a b) 3ab 33 3(1) 3322b2 a2 ab为 D 。】C36(1)abab故正确11. 【】本题主要考查了组合及组合数的概念与分类求和计数原理。48 支足球队等分为8 组，每组共有6 队，每组的比赛场数为C 2 6 5 15 。8 组的比赛62总场数为15 8 120 。故正确为C 。】 A12. 【】本题主要考查了分式运算、因式乘法与多项式相等的概念。解法1因为x 1nm(x 2) n(x 1) (m n)x (2m n) ，m 2)x2 3x 2所以(m n)x (2m n) x 1，比较系数得m n 1, 2m n 1 ,解得m 2

11、 ， n 3 。故正确为 A 。解法2取值代入法。由于等式x 1mnx 2对 x 1和 x 2 的所有 x 都成立，特别地对 x 0 和 x 1也成立，所以m n 1 ,22n m 0 , 23解得m 2 ， n 3 。故正确为 A 。13. 【】 B【】本题主要考查了对数学概念的理解和应用能力。由题意可知， a b maxa, b ， a b mina, b ，所以(5 7) 5 7 5 5(5 7) 7 5 7 7为 B 。故正确14. 【】 B【】本题主要考查了三角形内角和的大角形的面积公式与正弦定理。由于A : B : C 3 : 2 : 7 ，且A B C 180 ，所以A B 2

12、15 30 ， C 7 15 105，过点C 作CD ，使ADC 60 ，因此BCD ADC B 30 B ，从而CD BD 。C在ADC 中，由于ACD 105 30 75 ，A 45 ，根据正弦定理可知AD CD BD由于 ADC 与 BDC 同高， 所以 ADC 的面积大于BDC 的面积。因此当射线l 分ABC 所成两部分的面积相等时， l 不过点C 而与 AC 相交。故正确为 B 。ABD15. 【】C【】本题主要考查了斜率概念，圆的弦与切线、直角三角形及特殊四边形的有关性质。解法1圆的标准方程为(x 3)2 ( y 4)2 4 ，它是圆心为T (3, 4) ，半径为2 的圆。该圆位于

13、第一象限。自坐标原点O 作圆的切线OP ， OQ 。从图显见，切点 P ， Q 分别是在该圆y上的所有点中，使得相应的取得最大值和最小值的点。由于xyOT 32 42 5， 所 以 由 勾 股 定 理 知PTOQ OP 25 4 21 。由四边形OQTP 的面积的不同表示方式得OT PQ Q2OP PT ，所以 PQ 2PT OP 421。OxOT5故正确为C 。解法 2根据题意可知，圆的标准方程 为(x 3)2 ( y 4)2 4 ，它是圆心为O(3, 4) ，半径为2 的圆。该圆位于第一象限。自坐标原点O 作圆的切线OP ， OQ 。从图显见，切点 P ，Q 分别是在该圆上的所有点中，使得

14、相应的 yx取得最大值和最小值的点。连接OP ，OQ ， PQ ， OO 。根据圆的切线性质，OP OQ 2 ，OPO OQO 90 ，则OPO OQO ，OO 平分POQ ，OO PQ 且平分PQ 于 M 。长度OO 32 42 5 。21。则在 RtOOQ 中， OQ 52 22 21 ， sin OOQ 5在 RtOMQ 中， MQ 1 PQ OQsin OOQ 2 221 2 21 ，552 214 21PQ 2 。55故正确为C 。16. 【】 B【】本题主要考查复合函数的求导法则及特殊角的三角函数值。xsec2y 2 1 ，所以 y 1 2 1 1 2 x222tan故正确为 B

15、。17. 【】C【】本题主要考查函数极限的保号性质。解法1因为lim f (x ) 42，由极限的保号性质， 在 x 1 的某领域 ( x 1)中， x1f (x ) 2。故正确为C 。解法2取特殊值代入法。x 1f (x) 4, 2,x 1则 f (x) 满足题设条件，它只满足C 。故正确为C 。18. 【】 D【】本题主要考查利用定积分计算连续函数在区间a, b 上的平均值。 1 b abf (x) dx 。而 g(x) f (x)a, b利用定积分计算函数在区间的平均值公式是a13x1x3f (t) dt 表示 f (x) 在区间x, x 1 上的平均值， h(x) f (t) dt 表

16、示 f (x) 在区间xxx, x 3 上的平均值，间隔越大，平均值所表示的曲线越平坦，从题中的图可以看出 y3 的振幅最大， y1 最平坦，因此 y1 是h( x) ， y3 是故正确为 D 。19. 【】 Af (x) 。【】本题主要考查变量替换及求原函数。解法1令 ln x t ，则 x et ，从而 f (t) et ，求积分得f (t) et C ，将 f (0) 1 代入其中，得C 2 ，因此 f (1) 2 e1 。故正确为 A 。解法2也可用定积分计算本题。11f (1) f (0) e dt e故正确为 A 。20. 【】 Dtt 1 e1 ， f (1) 1 e1 f (0

17、) 2 e1 。00【】本题主要考查函数最值的求法。由图形的对称性，只须考虑 x 0 ， y 0 的情形。因为圆 x2 y2 1上各点到原点的距离都为1，所以只需要考查曲线 y x 1 上点x2 的最小值即可。211x2B( x, y) 到原点O 的距离的平方 L x2 y22 令 L 4x 0 ，得2x4 1，故 x2 2 。从而2x322 2L 2 2 2 2 2 2min22 2 1 。又2 2 2 2 2( 2 1) 2 1，由题意 L (d 1)2 ，因此 dmin所以d 2 2 2 1 (1, 2) 。故正确为 D 。21. 【】 A【】本题主要考查函数在一点连续的定义，计算函数的

18、极限及变上限积分的导数。由题意 f (x) 在 x 0 点连续，则有3x2(et解法1 1) dt9 x2 1) lim 9x 93(e2f (0) a lim0 lim2其中上式第三个等号用的是法则，第四个等号用到的是等价无穷小量代换。2x ，从而，当 x 0 时， e9x 19x2 。注 当 x 0 时， ex 1故正确为 A 。解法2由题意 f (x) 在 x 0 点连续，则有3x2(et 1) dt9 x29 x23(e 1)3 (18x)e2f (0) a lim lim lim lim 9e9 x 90 x0为 A 。故正确22. 【】C【】本题主要考查伴随矩阵的概念、矩阵及伴随矩阵的关系，以及矩阵的乘法运算。因 11100 A 01 11 2A1 ，有( A )1 A 。又由题设 A X 2 ，从而 A 可逆。由 A A A1 A ，A所以2得(A )1 A X (A )1 A ，于是 12 110 11100 A21 X 0 2 1