初中数学北师大七年级下册（2023年新编） 生活中的轴对称线段垂直平分线-教学设计

1、成都市实验中学教案课 题 线段的垂直平分线(一)课型新授课上课班级八年级7班授课教师杨建学情分析学生对于掌握线段垂直平分线性质定理以及定理的证明有初步了解，这是因为在七年级学习生活中的轴对称中学生已经有了一定的基础。要证明线段垂直平分线的判定定理是有一定困难，对于实际应用也需要引导学生从数学知识转化生活问题。教学目标1.证明线段垂直平分线性质定理2.探索并证明线段垂直平分线的判定定理3.运用线段垂直平分线性质定理和判定定理解决实际问题教学重点理解并掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理教学难点1.线段垂直平分线判定定理的证明2.线段垂直平分线性质定理和判定定理在实际问题中的应用过程与方法探索-

2、发现-猜想-证明教 具多媒体教学平台、数学作图教具教 学 内 容 及 设 计 说 明一探究学习探究一：线段垂直平分线的性质定理引导学生通过尺规作图去作一条已知线段的垂直平分线，并引出其性质定理。ABCPFE那么请同学们利用直尺和三角板画一条线段的垂直平分线。（草稿区给出线段AB，画出其垂直平分线EF，交AB于O点）。O点到A点的距离与O点到B点的距离一样吗？我们知道，O点是线段AB的中点，也是线段AB的中垂线上的一点，请问直线上面的其他点是否也具有这样的性质呢（点到点的距离）？为了验证，请大家在直线任取一点P，那么点P到A点B点的距离是否相等？我们由此可以得到这样一个命题：在线段垂直平分线上的

3、点，到线段两端点的距离相等。但这是我们上学期通过折纸得到的，下面我们对这个命题进行证明。证明：在线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。已知：如图,直线EFAB,垂足为C,且ACCB,点P是EF上一点求证：PAPB（由学生口述证明过程），并由学生归纳出线段垂直平分线的“性质定理”。展示推理格式：MN垂直平分ABMAMB应用新知A已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂 直平分线,AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长为 19 cmE BCD由学生来讲述本题的解法探究二：合作交流-逆向思维，探索判定议一议：你能说出“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命

4、题的逆命题吗？ 真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流。请同学们找出线段垂直平分线定理的条件和结论，并写出逆命题原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”此时，逆命题就很容易写出来“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”写出逆命题后时，就想到判断它的真假求证：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。要求学生完成如下步骤逆命题： _已知：_求证：_由学生写出已知、证明。故此题由老师完成作底边上的高，证明它也是底边中线。引导学生分析证明过程，有如下三种证法： 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=P

5、B求证：P点在AB的垂直平分线上证明一：（老师示范）过点P作PCAB于点CPA=PB且PCABCA=CBPC垂直平分AB即点P在AB的垂直平分线上证法二：取AB的中点C，连结PC证法三：过P点作APB的角平分线从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理线段垂直平分线的判定定理： 完成后改“求证”为“定理”，并说明为线段的垂直平分线的“判定定理”。推理格式：PAPB点P在线段AB的垂直平分线上揭示线段垂直平分线性质定理和判定定理之间的关系：互逆AFBDEC应用新知如图，ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB于点E,DF AC于点F求

6、证：AD垂直平分EF证明 AD是BAC的平分线 且DEAB， DF ACDE=DF(角平分线定理)）点D在EF的垂直平分线上可证AED AFD 得到AE=AF点A在EF的垂直平分线上AD垂直平分了EF应用问题举例：海滨村政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等 A B C例1 已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：（）PA=PB=PC; 点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得到什么结论？BACP由教师引导学生分析，寻找证明方法 SHAPE * MERGEFORMAT 再

7、由师生共析，完成证明证明：点P在线段AB的垂直平分线上，PA=PB(线段垂直平分线性质定理)同理PB=PCPA=PC=PBP点在AC的垂直平分线上(线段垂直平分线判定定理)（3）多媒体演示我们得出的结论：(回到购物中心选址的问题)探索发现：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等A课堂练习1.如图，在Rt ABC中， B=90, EED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E,已知BAD=10,则C的度数为（ ） CBD2.已知：如图，在ABC中，AB=AC, A=120,AB的垂直平分线分别交BC，AB于点M,N,求证：CM=2BMCMANB通过复习作线段垂直平

8、分线的尺规做法，提出问题，线段AB上任意一点P点到线段两端的距离是否相等？由学生口述其过程 完善其证明过程要求学生掌握其性质定理的几何语言本练习题既体现了应用线段垂直平分线的定义，也应用了其性质定理要求学生说出性质定理这个命题的条件和结论，从而引导学生通过同桌讨论说出其逆命题。既体现了合作学习，互相纠错，最后归纳整理的能力通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容请学生完成书写已知求证判定定理的证明过程是本节课的难点:通过引导，示范，（引导学生证明一条线段具备某中特殊性质时，常用的方法是过这个点做一条直线，让他满足其中一个特征，然后去证明它也满足另外的特征）此为重要 的解题思路。证明二

9、，三启发学生通过等腰三角形三线合一，推出点在垂直平分线上激发学生用不同思路求解几何题目，使学生通过对特例的考察，归纳出对此类问题的解决办法。对2条定理之间的关系进行归纳整理发展学生归纳能力， 注重几何语言规范习题点评：（此处设置学生讨论多种不同方法解决问题，引导学生分析最简便方法。引导得出此题对性质，定理的综合应用）并应注意学生易犯错误：只证明一个点在垂直平分线上，即误认为得证。指出应证明点A,点D都在垂直平分线上情境引入：体现数学来源于生活，又服务于生活，由学生自由探索作图的方法，带着问题学习下面学习今天的新知本例题是为解决上一个实际应用问题的数学模型，对线段垂直平分线性质定理及其判定定理应用。也解决了三角形三边垂直平分线交于一点的疑问。(2)让学生在解题中归纳出：证明线段相等的另一种方法是利用线段垂直平分线的性质定理A例题教学结束后回到修建购物中心的问题，让同学们明白如何选址即是寻找三边垂直平分线的交点位置。从而解决了开始提出的实际应用问题。前后呼应学习，让学生感悟数学学以致用。此结论由学生自己探索发现，将在下一节课继续深入学习此练习是为巩固性质定理，以及外角和定理，或用代数方法解决几何问题等思路的训练。此习题是为了让同学们探索发现证明线段相等常需要连接线段垂直平分线上的点到