2022-2023学年人教A版必修第一册 5.5.2　简单的三角恒等变换 学案

1、5.5.2简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式,能用和角公式导出辅助角公式,培养逻辑推理素养.2.能综合运用和差角公式、二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明,提升数学运算素养. 1.半角公式2.辅助角公式asin x+bcos x=a2+b2sin(x+),其中tan =ba,所在象限由a和b的符号确定,或者sin =ba2+b2,cos =aa2+b2.万能公式sin ,cos ,tan 都可以用tan2表示,相关的表达式如下:sin =2tan21+tan22;cos =1-tan221+tan22;tan =2tan21-tan22.一般称这三个公式为万能公式.

2、证明如下:sin =sin1=2sin2cos2sin22+cos22=2tan21+tan22;cos =cos1=cos22-sin22sin22+cos22=1-tan221+tan22;tan =sincos=2tan21-tan22.万能公式的作用是用半角的正切表示正弦、余弦、正切,体现了正弦、余弦、正切值之间又一内在联系. 半角公式的应用类型一应用半角公式求值例1 已知sin 2-cos 2=-55,450540,求sin 2,cos 2,tan 2.解:因为sin 2-cos 2=-55,所以(sin 2-cos 2)2=15.所以1-sin =15,所以sin =45.因为45

3、0540,所以2252270,所以cos =-35.所以sin 2=-1-cos2=-255,cos 2=-1+cos2=-55.tan 2=1-cos1+cos=2(或tan 2=sin 2cos 2=2).(1)若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中的角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解,使用半角公式时,要注意根据角的范围确定三角函数值的符号.(2)在求半角的正切tan 2时,用tan 2=1-cos1+cos 来处理时,要先由所在的象限角确定2所在的象限,再用三角函数值的符号确定根号前的符号;而用tan 2=1-cossin或tan 2=sin1+cos来处理,可以避免这些问题.尤其

4、是tan 2=1-cossin,分母是单项式,容易计算.因此常用tan 2=1-cossin求半角的正切值.针对训练1:已知sin =45,是第二象限角,求sin2及tan2.解:因为是第二象限角,所以2是第一、第三象限角,又因为sin =45,所以cos =-35,所以sin2=1-cos2=255.tan2=1-cos1+cos=2(或tan2=sin1+cos=451-35=2).类型二应用半角公式化简例2 已知32,化简1+sin1+cos-1-cos+1-sin1+cos+1-cos.解:原式=(sin 2+cos 2)22|cos 2|-2|sin 2|+(sin 2-cos 2)

5、22|cos 2|+2|sin 2|,因为32,所以2234,所以cos20.所以原式=(sin 2+cos 2)2-2(sin 2+cos 2)+(sin 2-cos 2)22(sin 2-cos 2)=-sin 2+cos 22+sin 2-cos 22=-2cos 2.化简三角函数关系的方法(1)统一角的形式,利用待化简式子中的角之间的差别与联系,将角进行合理的拆分与变形,涉及同一个角时,应正确利用角之间的“倍数”关系统一角.(2)涉及含根式的三角函数式化简,常用“二倍角”公式去根号,一般地,1+sin=1+cos(2-)=2|cos(4-2)|,1+cos=2|cos 2|,1-cos

6、=2|sin 2|是常见的变形式.针对训练2:化简2-2+2+2cos(34).解:因为34,所以3222,344,3880,cos 40.所以原式=2-2+4cos22=2-2+2cos 2=2-4cos24=2+2cos 4=4cos28=2cos 8. 三角恒等变换与三角函数综合例3 (2022江苏南通月考)已知函数f(x)=23sin xcos x-2sin2x+3.(1)若角的顶点在坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆(圆心为坐标原点O)交于点P(-55,255),求f()的值;(2)当x-4,2时,求函数f(x)的值域.解:(1)因为角的终边与单位圆交于点P(-55,2

7、55),则sin =255,cos =-55,故f()=23sin cos -2sin2+3=7-435.(2)函数f(x)=23sin xcos x-2sin2x+3=3sin 2x-(1-cos 2x)+3=3sin 2x+cos 2x+2=2sin(2x+6)+2,因为x-4,2,所以2x+6-3,76,则sin(2x+6)-32,1,故函数f(x)的值域为2-3,4.可化为f(x)=asin2x+bsin xcos x+ccos2x的函数形式时,常利用降幂公式sin22=1-cos2,cos22=1+cos2,sin cos =12sin 2,将函数统一化成f(x)=msin 2x+n

8、cos 2x+k的形式后再利用辅助角公式化为f(x)=Asin(2x+)+k的形式,研究其性质.针对训练3:已知f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)求x0,2时,f(x)的最大值和最小值.解:函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+4).(1)f(x)的最小正周期为T=22=.(2)f(x)=2sin(2x+4),由2k-22x+42k+2,kZ,得k-38xk+8,kZ.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.(3)因为x0,2,所以2x

9、+44,54,由2x+4=2,即x=8时,f(x)max=2.由2x+4=54,即x=2时,f(x)min=-1. 三角函数在平面几何中的应用例4 如图,半圆的直径为2,D为半圆弧上一点,线段DC与半圆相切,且DC=2,设BAD=.(1)用表示四边形ABCD的面积S;(2)当为何值时,S取得最大值?最大值为多少?解:(1)如图,连接OD,因为CD是切线,所以ODCD,又ADB=90(直径所对的圆周角),所以CDB=ODA,而由OD=OA知ODA=A=,所以BDC=,在直角三角形ABD中,AD=2cos ,BD=2sin ,所以SADB=122cos 2sin =sin 2,SBDC=12BDC

10、DsinBDC=122sin 2sin =2sin2=1-cos 2,所以S四边形ABCD=SADB+SBDC=sin 2+1-cos 2(0,2).(2)由(1)知,S四边形ABCD=sin 2+1-cos 2=2sin(2-4)+1,所以当2-4=2,即=38时,(S四边形ABCD)max=2+1,所以当=38时,四边形ABCD面积取得最大值,最大值为 2+1.解决有关三角函数的实际问题,应首先设定主变量角以及相关的常量与变量,建立含有角的三角函数关系式,再利用三角函数的变换、性质等进行求解.要注意结合实际问题确定自变量的范围.针对训练4:如图,OPQ是半径为2,圆心角为3的扇形,C是扇形

11、弧上的一动点,记COP=,四边形OPCQ的面积为S.(1)找出S与的函数关系;(2)试探求当取何值时,S最大,并求出这个最大值.解:(1)S=SPOC+SOQC=12OPOCsinPOC+12OQOCsin QOC=2sin +2sin(3-)(0,3).(2)由(1)知S=2sin +2sin(3-)=2sin +3cos -sin =sin +3cos =2(12sin +32cos )=2sin(+3)(0,3).因为(0,3),所以+3(3,23).故当且仅当+3=2,即=6时,S最大,且最大值为2. 1.已知tan =2,则sin 2等于(B)A.4B.45C.54D.43解析:因为

12、tan =2,所以sin 2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=221+22=45.故选B.2.若cos =13,(0,),则cos2的值为(A)A.63B.-63C.63D.33解析:由题意知2(0,2),所以cos20,cos2=1+cos2=63.故选A.3.函数y=32sin 2x+cos2x的最小正周期为.解析:y=32sin 2x+cos2x=32sin 2x+12cos 2x+12=sin(2x+6)+12,其最小正周期为T=22=.答案:4.化简1+cos(3-)2(322)=.解析:原式=1-cos2=sin22=|sin 2|.因为322,所以342,所以原式=sin 2.答案:sin 2例1 若2cos +sin =102,则tan 2等于()A.-43B.-34C.43D.34解析:因为2cos +sin =102,所以4cos2+4sin cos +sin2=52,即6cos2-3=-8sin cos ,所以3cos 2=-4sin 2,所以tan 2=-34.故选B.例2 若3sin x-3cos x=23sin(x+),(-,),则=.解析:因为3sin x-3cos x=23(32sin x-12cos x)=23sin(x-6),又(-,),所以=-6.答案:-6例3 如图,实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭