2016年高考四川文科数学试题及答案(word解析版)

1、 PAGE 62016 年普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学文科第 卷共 50 分一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【 2016 年四川，文 1， 5 分】设 i 为虚数单位，则复数21i A x1x3【答案】 CB x |1x1Cx|1x2 Dx| 2x3【解析】试题分析：由题意，(1i) 212ii 22i ，故选 C【点评】此题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2【 2016 年四川，文 2， 5 分】设集合Ax 1x5， Z 为整数集，则集合AZ 中元素的个数是 A6B 5C4D3【答案】 B【解

2、析】由题意，AZ1,2,3,4,5，故其中的元素个数为5，故选 B2【点评】此题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3【 2016 年四川，文 3， 5 分】抛物线y4 x 的焦点坐标是 A 0,2B 0,1C 2,0D 1,0【答案】 D【解析】由题意，y24x 的焦点坐标为1,0，故选 D【点评】此题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题4【2016 年四川，文 4，5 分】为了得到函数 ysinx的图象，只需把函数 y3sin x 的图象上所有的点 A向左平行移动 C向上平行移动【答案】 A个单位长度B向右平行移动3个单位长度D向下平行移动3个单位长度

3、3个单位长度3【解析】由题意，为得到函数ysinx，只需把函数3ysin x 的图像上所有点向左移个单位，故选A 3【点评】此题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减 “的原则，是解答的关键5【 2016 年四川，文 5， 5 分】设p : 实数 x ， y 满足 x1且 y， q : 实数 x ， y 满足 xy，则 p 是 q的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】由题意， x1且 y，则 xy，而当 xy2 时不能得出， x1 且 y故 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A 3【点评】此题考查了不等式的性质、简易

4、逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6【 2016 年四川卷，文 6， 5 分】已知 a函数fxx12 x 的极小值点，则 a A 4B 2C4D 22【答案】 D【解析】 fx3x123 x2x，令 fx0 得 x2 或 x2 ，易得 fx在2,2上单调递减，在2,上单调递增，故fx 极小值为f2，由已知得 a2 ，故选 D【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象7【 2016 年四川，文7， 5 分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。假设该公司2015 年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的

5、研发奖金比上一年增长12，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是(参考数据： lg1.120.05 ， lg1.30.11 ， lg20.30 ) A 2018 年B2019 年C2020 年 D 2021 年【答案】 Bn【解析】设从 2015 年后第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元，由已知得 130112%200 ，n1.12200 ，两边取常用对数得nlg1.12lg 200 ,nlg 2lg1.30.30.113.8 ,n4 ，故选 B 130130lg1.120.05【点评】 此题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质， 考查了推理能力与计算能力

6、，属于中档题8【 2016 年四川，文 8， 5 分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。假设输入 n，x 的值分别为 3，2则输出 v 的值为 A 35B20 C18D9【答案】 C【解析】初始值n3， x2 ，程序运行过程如下表所示v1， i2 ， v1224 ， i1，v4219， i0 ， v92018 ， i1 ，跳出循环，输出v18，故选 C【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答

7、9【2016 年四川，文 9， 5 分】已知正三角形ABC 的边长为 2 3 ，平面 ABC 内的动点 P ， M 满足2AP1 ， PMMC ，则 BM的最大值是 A 43449B 43763C437233D4【答案】 B【解析】如下图，建立直角坐标系B 0,0， C 23,0， A3,3 M 满足 AP1 ，点 M 的轨迹方程为：x223y31 ，令 x2cos， y3sin，0,2又 PMMC ，则 M331 cos , 31 sin，222222231313749BM3cossin3sin2222434 BM2的最大值是49 ，故选 B4【点评】 此题考查了数量积运算性质、圆的参数方程

8、、 三角函数求值， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题10【2016 年四川，文 10， 5 分】设直线l1 ， l 2 分别是函数f ( x)ln x, 0 x ln x, x1,1,图象上点P1 ，P2 处的切线，l1 与l 2 垂直相交于点P ，且l1 ， l2分别与 y 轴相交于点 A ， B ，则 PAB的面积的取值范围是A 0,1B 0,2C 0,D 1,【答案】 A【解析】解法 1：设P ( x , y ), P ( x , y ) ( xx) ，易知 x1， x1 ， k1 , k1 ，x x1 ，则直线 l ：21112221212l1l1 21x1x2yx1ln x ，

9、l : y1 xln x1 ，与 y轴的交点为(0,1lnx ), (0, ln x1) ，设 ax，则交点横122x1x21222坐标为a1a，与 y轴的交点为 (0,ln a1), (0, ln a，则S PAB1222a1a1aa，故 SPAB(0,1)解法 2：特殊值法，假设算x1x21 ，可算出S PAB1，x1，故S PAB1，排除 BC ；令 x11, x22 ，2出 S PAB1，故选 A ，故选 A 【点评】 此题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题第 II 卷共 100 分二、填空题：本大题共5 小题，

10、每题5 分11【2016 年四川，文 11， 5 分】 sin750【答案】 12【解析】由三角函数诱导公式sin 750sin(72030 )sin301 2【点评】此题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题12【2016 年四川，文 12，5 分】已知某三棱锥的三视图如下图，则该三棱锥的体积是【答案】33【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为S12313 ，高为 1，2三棱锥的体积为V1 Sh1313 333【点评】此题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题13【2016 年四川，文 13， 5 分】从 2、3、8、9 任取两个

11、不同的数值，分别记为a 、 b ，则 log a b 为整数的概率=【答案】 1A46【解析】从2， 3， 8， 9 中任取两个数记为a, b ，作为作为对数的底数与真数，共有212 个不同的基本领件，其中为整数的只有log 2 8,log 3 9 两个基本领件，所以其概率P21 126【点评】此题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用14【2016 年四川，文 14，5 分】假设函数fx 是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1时， fx4x ，则 f52f2【答案】2【解析】 函数 fx 是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 01x1时， fxx4

12、， f2f00 ，f5f52f1f14242 ，则 f5f2202 22222【点评】此题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决此题的关键 15 【 2016 年四川，文15， 5 分】在平面直角坐标系中，当P x, y不是原点时，定义P 的 “伴随点 ”为Py,x x2y2x 2y2，当 P 是原点时，定义 “伴随点 ”为它自身，现有以下命题：假设点A 的“伴随点 ”是点 A ，则点 A 的“伴随点 ”是点 A ；单元圆上的“伴随点 ”还在单位圆上；假设两点关于x 轴对称，则他们的 “伴随点 ”关于 y 轴对称；假设三点在同一条直线上，则他们的“伴随点 ”一定

13、共线其中的真命题是写出所有真命题的序号 【答案】【解析】对于，假设令P 1,1，则其伴随点为P1 ,1，而 P1 ,1的伴随点为1,1 ，而不是 P ，故错2222误；对于， 设曲线fx, y0 关于 x 轴对称， 则fx,y0 对于曲线fx, y0 表示同一曲线， 其伴随曲线分别为 fyx 2y 2x, x2y 20 与 fyx2y 2x, x 2y 20 也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为fyx22 ,22xyxy0与 f2xyx2 ,22yxy0 的图像关于 y 轴对称，所以正确；对于，令单位圆上点的坐标为P cos x,sinx其伴随点为 Psin x,cos x仍在单位圆上， 故

14、正确； 对于， 直线 ykxb上取点后得其伴随点yxx2y 2 , x 2y 2消参后轨迹是圆，故错误所以正确的序号为【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点 ”的定义是解决此题的关键考查学生的推理能力 三、解答题：本大题共6 题，共 75 分16【2016 年四川，文 16， 12 分】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照0,0.5，0.5,1 ， 4,4.5 分成 9 组，制成了如下图的频率分布直方图1求直方图中的 a 值；2设该市有 30 万居民，估计全市居民中

15、月均用水量不低于3 吨的人数 说明理由；3估计居民月均用水量的中位数解：1 10.080.16a0.400.52a0.120.080.040.5 ，整理得： 21.42a ，解得： a0.3 2估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数为 3.6 万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.120.080.040.50.12 ，又样本容量 =30 万， 则样本中月均用水量不低于 3 吨的户数为 300.123.6 万3根据频率分布直方图，得；0.080.50.160.50.30 0.50.420.50.480.480.50.520.740.5，中位数应在2,

16、2.5组内，设出未知数x ，0.5，令 0.080.50.160.50.300.50.420.50.52x0.5，解得 x0.038；中位数是 20.0382.038【点评】此题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法频率分布直方图中小长方形的面积组距 频率组距，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型17【2016 年四川， 文 17，12 分】如图， 在四棱锥 PABCD 中， PACD ， AD / / BC ，ADCPAB90 ，BCCD1 AD 2 1在平面 PAD 内找一点 M ，使得直线 2证明：平面 PAB平面 PBD 解：1解法 1：CM /

17、/ 平面 PAB ，并说明理由；M 为 PD 的中点，直线 CM / / 平面 PAB 取 AD 的中点 E ，连接 CM ， ME ， CE ，则 ME/ / PA ， ME平面 PAB ， PA平面 PAB ， ME/ / 平面 PAB AD / / BC ，BCAE ， ABCE 是平行四边形， CE / / AB CE平面 PAB ， AB平面 PAB ， CE / / 平面 PAB MECEE ，平面解法 2：CME / / 平面 PAB ， CM平面 CME ， CM/ / 平面 PAB 取棱 AD 的中点 M M平面 PAD ，点 M 即为所求的一个点 理由如下： 因为AD /

18、/ BC ，BC1 AD ，2所以 BC / / AM 所以四边形 AMCB 是平行四边形， 从而 CM / / AB 又 AB平面 PAB ，CM平面 PAB 说明：取棱PD 的中点 N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点 2 PACD ，PAB90 ， AB 与 CD 相交， PA平面 ABCD ， BD平面 ABCD ， PABD ，由1及 BCCD1 AD ，可得2BADBDA45 ，ABD90 ， BDAB ， PAABA ， BD平面 PAB ， BD平面 PBD ，平面 PAB平面 PBD 【点评】此题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运

19、算能力和推理论证能力，属于中档题18【2016 年四川， 文 18，12 分】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，且 cos Acos Bsin C 1证明： sin Asin Bsin C ；abc2假设 b2c2a26 bc ，求 tanB 5解：1由正弦定理abccos A，可知原式可以化解为cos Bsin C1 ， A 和 B 为三角形内sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C角 ， sin Asin B0 ，则两边同时乘以 sin Asin B ，可得 sin B cosAsin AcosBsin Asin B ，由和角公式可知， sin

20、 B cos AsinAcos BsinABsinCsin C ，原式得证2由题 bca 26 bc ，根据余弦定理可知，2252cos A222bca2bc， A 为为三角形内角，A0,，35sin A0 ， 则 sin A134 ， 即 cos A3cos A，由1可知cosBsin C1 ， cos B11 ， tan B455sin A4sin Asin Bsin Csin Btan B4【点评】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题19【2016 年四川，文 19， 12 分】已知数列an的首项为 1

21、，Sn 为数列an的前 n 项和，Sn 1Sn1 ，其中q0 ， nN 1假设a2 ， a3 ， a2a3 成等差数列，求数列an的通项公式； 2设双曲线 x 2y 21 的离心率为e ，且 e2 ，求 e 2e 2e 2 a2n2n12nn1解：1由已知， Sn 1qSn1,Sn 2qSn 11 ，两式相减得到an 2qan1, n1 又由 S2qS11得到 a2qa1 ，故 an 1qan 对所有 n1都成立所以，数列 an是首项为 1，公比为 q 的等比数列从而an =q由 a ，a ， a +a成等差数列，可得2a =aaa ，所以 a =2 a , ，故 q=2 所以 a2(nN )

22、 n1*2323322332n1222由 1可知，qn所以双曲线xy1 的离心率 e1a 21q2( n 1) 由 e1nq22解得 q2n23 所以， eenn222e(11)(1+q )1a2( n 1)212nq2 n2n1q2(n 1)qqn21n1 (3n1) q1220【2016 年四川，文20，13 分】已知椭圆E :x22y221 ab0的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形ab【点评】此题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q0 这一条件的三个顶点，点 P3, 12在椭圆 E 上1球椭圆 E 的方程；2设不过原点 O 且斜率为 1 的直线 l

23、与椭圆 E 交于不同的两点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ，直线 OM2与椭圆 E 交于 C ， D ，证明： MAMBMCMD 解：1由已知， a222b 又椭圆 xy1 ab0 过点 P3, 1，故1341 ，解得21 2所以椭圆 E 的方程 x22ab2y1 24b2b242设直线 l 的方程为 yxm m 20 ， A x1, y1， B x1 , y1，由方程组2xy214，y1 xm 222得 x2mx2m0 方程的判别式为24 2m22，由0 ，即 2m0 ，解得2m2 由得x1x22m ，2x1x22m2 所以 M 点坐标为m, m，2直线 OM 方程为 y1 x ，由方程组2y 214，得 C1 x22,2， D22,22所以 MCMD5m252m52