各地中考数学模拟考试卷分类汇编开放探究型问题

1、开放探究型问题一、选择题1、（2012年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知；甲的路线为：ACB。乙的路线为：ADEFB，其中E为AB的中点。丙的路线为：AGHKB，其中H在AB上，且AHHB。若符号表示直线前进，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据，则三人行进路线长度的大小关系为（）(A)甲=乙=丙(B)甲乙丙(C)乙丙甲(D)丙乙甲C705060D705060F70506050G7060K705060ABAEBAHB图(1)图(2)图(3)二、填空题1.（2012年江苏南通三模）一元二次方程有一根为1，此方程可以是（写出

2、一个即可）.答案：x2-x=0等.2.（2012年江苏南通三模）小明、小亮各有一段长为40cm的铁丝，将将铁丝首尾相连围成一个长方形（1）请问他俩围成长方形一定全等吗？（2）如果围成的长方形一定全等，则长方形的长和宽分别是多少？如果围成的长方形不一定全等，请再添加一个条件，使得他俩围成的长方形全等，并求出长方形的长和宽（写出解题过程）答案：24（1）不一定（2）略（3、盐城地区20112012学年度适应性训练）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b的值是（写出一个值即可）答案如-1，0(不惟一

3、，在-2b2内取值均可）yO13x1/17-3三、解答题1、(2012年香坊区一模)(本题l0分)已知：在ABC中，AB=AC，点P是BC上一点，PC=2PB,连接AP，作APD=B交AB于点D。连接CD，交AP于点E(1)如图，当BAC=90时，则线段AD与BD的数量关系为：（2）如图，当BAC=60时，求证：AD=72BD(3)在(2)的条件下，过点C作DCQ=60交PA的延长线于点Q(如图3)，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若CQ=672。求线段AK的长2/172试）2、（盐城市亭湖区012年第一次调研考（本题满分8分）如图eqoac(,8)，ABC中，AB=AC，若点D在AB上，点E

4、在AC上，请你加上一个条件，使结论BE=CD成立，同时补全图形，并证明此结论。ADEBC图83/17解：附加的条件可以是：BD=CE，AD=AE，EBC=DCB，ABE=ACD，BE、CD分别为ABC，ACB的平分线中任选一个；利用ABEACD得证BE=CD3（盐城市第一初级中学20112012学年期中考试）（本题满分12分）问题情境已知矩形的面积为a（a为常数，a0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y2(x探索研究ax)(x0)我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数yx填写下表，画出函数的图象：1x(x0)的图

5、象性质观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数y=ax2bxc（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数yx1x(x0)的最小值解17解决问题用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案10551017，2，（2分）4322341函数yx(x0)的图象如图（5分）x本题答案不唯一，下列解法供参考当0 x1时，y随x增大而减小；当x1时,y随x增大而增大；当x1时函数4/17yx1x(x0)的最小值为2（7分）1yxx=(x)2(1x)2=(x)2(=(x1x111)22x2xxxx)22当x11=0，即x1时，函数yx(x0)的最小值为2（

6、10分）xx当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为4a（12分）4、（海南省2012年中考数学科模拟）（本题满分13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交xy轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；AOB（eqoac(,2)）求AOC和BOC的面积比；-11x（3）在对称轴上是否存在一个P点eqoac(,)使PAC的周长最小。若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。C（答案：解：1）抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，点B的坐标为（3，0），可设抛物线的解析式为

7、y=a（x+1）(x-3)2分又抛物线经过点C(0,-3)，-3=a（0+1）(0-3)a=1,所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，即y=x2-2x-34分yAODB11eqoac(,S)AOCSBOC=OAOCOBOC=OAOBP（2）依题意，得OA=1,OB=3,-11x22=138分5/17C（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P。9分解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。AC长为定值，要使PAC的周长最小，只需PA+PC最小。B0点A关于对称轴x=1的对称点是点（3，），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）由几何知识可知，P

8、A+PC=PB+PC为最小。11分设直线BC的解析式为y=kx-3,将B（3，0）代入得3k-3=0k=1。y=x-3当x=1时，y=-2.点P的坐标为（1，-2）13分解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于DAC长为定值，要使PAC的周长最小，只需PA+PC最小。B0点A关于对称轴x=1的对称点是点（3，），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。11分OCDPBDPBOC。DPBD,即OCBODP2DP=212分33点P的坐标为（1，-2）13分5、(2012石家庄市42中二模)如图1eqoa

9、c(,，若)ABCeqoac(,和)ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BEeqoac(,，)AMN是等边三角形：（1）当把ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把ADE绕点A旋转到图3的位置时，AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）.答案：（1）CD=BE理由如下:ABC和ADE为等边三角形AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60oBAE=BACEAC=60oEAC，DAC=DAEEAC=60oEAC，BAE=DAC，ABEACDCD=BE（eqoac(,2)）AMN是等边三角形

10、理由如下：ABEACD，ABE=ACDM、N分别是BE、CD的中点，BM=CN6/17AB=AC，ABE=ACD，ABMACNAM=AN，MAB=NACNAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60AMN是等边三角形6(西城2012年初三一模)已知：如图1，矩形ABCD中，AB6，BC8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设mABBCCDDA，探索m的取值范围（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m_（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找

11、到解决问题的途径，求得m的取值范围请在图1中补全小贝同学翻折后的图形；m的取值范围是_AHDAEHDGAEHDGEBFGCBF图1CBF图2C图3m答案：（1）20；（2）如图所示(虚线可以不画)，2028AEBHDGFC、7（2012年南岗初中升学调研）(本题l0分)已知：菱形ABCD中，BD为对角线，|P、Q两点分别在AB、BD上，且满足PCQ=ABD，(1)如图l，当BAD=90时，证明：DQ+BP=CD；(2)如图2，当BAD=120时，则DQ+BP=CD(3)如图3，在(2)的条件下，延长CQ交AD边点E，交BA延长线于M，作DCE的平分AD边于F若CQ：PM=5：7，EF=3524

12、，求线段BP的长，7/178/178、（2012年浙江金华四模）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：（1）如图甲，已知ABC中C=90，你能把ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出9/17BCA图甲分割线，并说明理由.（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形我们把DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）依次规则操作下去n阶分割后

13、得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn若DEF的面积为1000，当n为何值时，3Sn1时，请写出一个反映Sn,Sn,Sn+1之间关系的等式（不必证明）解：（1）正确画出分割线CD（如图，过点C作CDAB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线，若画成直线不扣分）理由：B=B，CDB=ACB=90BCDACB（2）DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为14nS=10004n10/17S当n=3时,S3=1000315.62当n=4时，S4=1000S43.91当n=4时,3S44S2=Sn1Sn1，Sn1=4S,S=4Sn19、（2012年中考数学新编及改编题试

14、卷）用一条直线可将等腰梯形分成两部分，用这两部分能拼成一个新的图形。请你在原等腰梯形上画出直线，并对这条直线进行必要的说明，然后在框内画出要求的新图形（1）将等腰梯形分割后拼成矩形ADBC（2）将等腰梯形分割后拼成平行四边形（非矩形）ADBC（3）将等腰梯形分割后拼成三角形ADBC答案：（1）将等腰梯形分割后拼成矩形ADBC（2）将等腰梯形分割后拼成平行四边形（非矩形）11/17ADBC（3）将等腰梯形分割后拼成三角形ADBC答案不唯一10、（2012年北京市顺义区一诊考试）问题背景（1）如图1eqoac(,，)ABC中，DEBC分别交AB，AC于D，E两点，过点D作DFAC交BC于点F请按图

15、示数据填空：四边形DFCE的面积S，DBF的面积S，1ADE的面积S2探究发现（2）在（1）中，若BFa，FCb，D与BC间的距离为h直接写出S（用含S、S的代数式21表示）拓展迁移（3）如图2eqoac(,，)DEFG的四个顶点在ABC的三2边上，若ADGeqoac(,、)DBEeqoac(,、)GFC的面积分别为4、8、1，试利用（）中的结论求DEFG的面积，直接写出结果解：（1）四边形DFCE的面积S6，DBF的面积S6，13ADE的面积S22S2（2）S24S1（用含S、S的代数式表示）1（3eqoac(,）)DEFG的面积为1211、(2012年北京市延庆县一诊考试)如图1，已知：已

16、知：等边ABC，点D是边BC上一12/17点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DCAD下面的证法供你参考：把ACD绕点A瞬时间针旋转60得到ABE，连接ED，则有ACDABE,DC=EBAD=AE,DAE60BA图1DCADE是等边三角形AD=DE在DBE中，BD+EBDE即：BD+DCAD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图2，点D是等腰直角三角形ABC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DC2ADAABCBD图3图2DC12（1）证明：把ACD绕点A瞬时针旋转90得到ABE，连接ED，-1分则有ACDABE,DC=EBAD=AE,DAE90ADE是等腰

17、直角三角形ADE=2AD-2分在DBE中，BD+EBDE即：BD+DC2AD-3分EBDC13/17（2）BD+DC2AD-4分（3）猜想1：BD+DC2AD证明：把ACD绕点A顺时针旋转，得到ABE则有ACDABE,DC=EB，ACD=ABE-5分BAC+BDC=180ABD+ACD=180AABD+ABE=180E即：E、B、D三点共线-6分AD=AE,在ADE中AE+ADDE即BD+DC2AD-7分或者猜想2：BCDAED是等腰三角形由全等可得：CAD=BAEEAD=过A作AFDE于F点11则EAF=,DF=DE=(BE+BD)222在RtAFD中，DF=ADsin1即：(BE+BD)=

18、ADsin222-7分13如图1、P是锐角ABC所在平面上一点如果APB=BPC=CPA=120，则点P就叫做ABC费马点（eqoac(,1)）、当ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为。14/17（2）、若点P是ABC的费马点ABC=60，PA=2，PC=3，则PB的值为。（3）、如图eqoac(,2)，在锐角ABC外侧作等边ACB连接BB（图1）求证：eqoac(,BB)过ABC的费马点P。ABBC答案：(1)233（3分）(2)6（6分）（3）证明：在BB上取点P，使BPC=1200连接AP，再在PB上截取PE=PC，连结CE.BPC=1200，EPC=600，三角形P

19、CE为正三角形。PC=CE，PCE=600，CEB=1200三角形ACB为正三角形，AC=BC,ACB=600PCA+ACE=ACE+ECB=600，PCA=ECB，ACPBCE，APC=BCE=1200，PA=EB，APB=APC=BPC=1200，P为三角形ABC的费马点。BB过三角形ABC的费马点P.（10分）14、(本小题10分)阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD8cm，AB6cm现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着APP3DP2D图1图2B1与这条边夹角为45的方

20、向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动，如图1所示问P点第一AP3PBBP1CEA1P2P1C次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少15/17重合时所经过路径的总长是_cm；小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形ABCD由11轴对称的知识，发现PPPE，PAPE23211请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P点第一次与D点重合前与边相碰_次；P点从A点出发到第一次与D点（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足ADAB动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运