2010广州二模数学理科试题与答案

1、 2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 a 11. 已知 i为虚数单位，若复数 ai为实数，则实数a 的值为A12. 已知全集U A B 中有 m 个元素，则 AI BBC1D不确定0 (痧A) ( B)I中有 n 个元素若 A B 非空，UU的元素个数为 nm nn mDA mnB mC ,向量ba sin x,cos x 1, 3a b的最大值为3. 已知向量,则3C.3D.9A. 1B.,n4. 若 m 是互不相同的空间直线, 是平面, 则下列命题中正确的是

2、/ n,n m /m/ n,n / ,则 m /A. 若 mC. 若 m,则B. 若D. 若/ n,n m m n,n m ,则,则 2 , g x x5. 在如图 1 所示的算法流程图, 若 f x3 ,xx 2则 h的值为是否(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ” 或“：=”)968A.C.B.D.4 h x g xx y 1 0, , y 3 0,6. 已知点 P x的坐标满足x yx 2.O 为坐标原点, 则 PO 的最小值为结束23 22A.C.B.D.图 12513第 1 页 共 18 页 , , f x f x且 xsin x7. 已知函数 f x, 若 x x, 则下列不

3、等式中正确的是2 21212 xx xx x 0 x xD.A. xB.C.21212121228. 一个人以 6 米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同 ), 汽车在时刻 的速度为 v tt t米/秒,那么, 此人A. 可在 7 秒内追上汽车B. 可在 9 秒内追上汽车D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 7 米C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 14 米二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题） cos x cos x 09若函

4、数 f x的最小正周期为 ,则 的值为.23x 2y 4的焦点重合, 则椭圆C 的方10. 已知椭圆C 的离心率e, 且它的焦点与双曲线 222程为.11甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 、 ，其分布列分别为：01230120.4 0.3 0.2 0.1P0.3 0.5 0.2P若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是. 212.图 2是一个有n 层 n的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层, 第 2层每边有 2个点,第 3层每边有 3个点 ,第 n 层每边有n 个点, 则这个点阵的点数共有个.2n13. 已知 x的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数

5、比为 563,x 2则该展开式中 的系数为.图 2x（二）选做题（14 15 题，考生只能从中选做一题）第 2 页 共 18 页 x 1 t,14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为(参数t R ), 4 2t.y2cos 2,x 0,2),圆C 的参数方程为(参数 2sin.yD则直线l 被圆C 所截得的弦长为.BCPA15.(几何证明选讲选做题)如图 3, 半径为 5 的圆O 的两条弦AD 和 BC 相交于点 P , OD BC, P为 ADO的中点,BC 6 , 则弦 AD 的长度为.图3三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

6、，16. （本小题满分 12 分）12tantan 2, tan 已知.4 sin 2sin cos (1) 求 的值; (2) 求的值. 2sin sin cos 17. （本小题满分 12 分）如图 4, 在直角梯形中,ABCDABC DAB 90 ,CAB 30 ,BC 1, AD CD,把 DAC 沿对角线 AC 折起后如图 5 所示(点 D 记为点 P ), 点 P 在平面 ABC 上的正投影E 落在线段 AB 上, 连接 PB .(1) 求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的大小; AC B(2) 求二面角 P的大小的余弦值.PDCACEBBA图 4图 5第 3 页 共 18 页

7、 18.（本小题满分 14 分）一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率 p 与运动员离飞碟的距离 s (米) 15 t 1 0 t 4成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离 s (米)与飞行时间 (秒)满足 s,t每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个4飞碟飞出0.5 秒时进行第一次射击, 命中的概率为 , 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射5击后 0.5 秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率;(2) 求第一个飞碟被

8、该运动员命中的概率;(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个飞碟的概率. 2py 0的焦点为 F , A 、 B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的19.已知抛物线C : xp2 l l l不同两点，抛物线C 在点 A 、 B 处的切线分别为l 、l ，且l， 与 相交于点 D .121212(1) 求点 D 的纵坐标；(2) 证明： A 、 B 、 F 三点共线；32,1(3) 假设点 D 的坐标为，问是否存在经过 A 、 B 两点且与l 、l 都相切的圆，12若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 已知函数 f x x x ax b

9、a,b 1.方程 ax2 x b 0的20.32(R)的一个极值点为 x , 两个实根为 , 函数 f x 在区间上是单调的.(1) 求 a 的值和 的取值范围;b f x f x 1., x ,(2) 若 x, 证明:1212 ab b *a b 1,n121.已知数列 a 和 b 满足 a,且对任意n N 都有.n1 a211nnannnn (1) 求数列 a 和 b 的通项公式;nna a aab a a aab ln 1 n (2) 证明:.23b b b4n112b b b3n234n1123n第 4 页 共 18 页 2010 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参

10、考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共 8 小题，每小题 5 分，满分 40

11、分题号答案12345678ACCCBBDD二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7 小题，考生作答 6 小题，每小题5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题x2y2 18 23n2 3n 1911410.15.11. 乙12.13. 1808 552 5三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分 12 分）(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识 , 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)tan 2（1）解法 1：，4tan tan4 2.2 分4 分1 tan tan41 tan 2.1 t

12、an1tan 解得.3tan 2解法 2：，4第 5 页 共 18 页 tan tan 44tan tan442 分1 tan tan442 11 211.34 分6 分 sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos （2）解: 2sin sin cos 2sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin 8 分 tan tan tan10 分1 tan tan1 12 31 11 2 31.12 分717. （本小题满分 12 分）(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形

13、结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)方法一:(1) 解:在图 4 中,ABC DAB 90 ,CAB 30 , BC 1,第 6 页 共 18 页 BC1BC112 3 2 DAC 60 AB AD, AC,.tan 303sin303 CD, DAC 为等边三角形. CD AC 2 AD.2 分D在图 5 中,点 E 为点 P 在平面 ABC 上的正投影, PE 平面ABCABCC. BC 平面, BC PE.BACBA 90,图 4 AB BC PE. AB E, PE PAB AB PAB平面,平面, BC 平面PAB.（数学驿站 ）PCPBPC

14、PAB为直线与平面所成的角.4 分1,PC DC 2在 RtCBP 中, BC,BC 1sin CPB .PC 2AC0 CPB 90F,CPB 30.EB直线 PC 与平面 PAB 所成的角为30(2) 解:取 AC 的中点 F , 连接 PF , EF .6 分图 5 PC PA PF, AC. PE 平面ABC AC ABC,平面, AC PE PF. PE P, PF PEF PE PEF平面,平面,第 7 页 共 18 页 AC 平面PEFPEF., EF 平面 AC EF.PFEP AC B为二面角的平面角.8 分1 AC 1,FAE 30在 Rt EFA 中, AF,232 33

15、 AF tan30 AE EF AF EF,22.3 PA AF 2 1 3.在 Rt PFA 中, PF22223EFPF31在 Rt PEF 中，cosPFE .331 AC B二面角 P方法二:解:在图 4 中,的大小的余弦值为 .12 分3ABC DAB 90 ,CAB 30 , BC 1,BC1BC112 3 2 DAC 60 AB, AC,.tan 303sin303 CD AD, DAC 为等边三角形. CD AC 2 AD.2 分D在图 5 中, （数学驿站 ）点 E 为点 P 在平面 ABC 上的射影,C PE 平面ABCABC. BC 平面, BC PE.BACBA 90,

16、图 4 AB BC.第 8 页 共 18 页 AB E, PE PAB AB PE平面,平面 PAB , BC 平面PAB .4 分z连接 EC ,P PC 2,PE PE在 Rt PEA 和 Rt PEC 中, PAPEC,Rt PEA Rt. EC EA.yECA EAC 30.CACEB 60.EBC13B在 RtCBE 中， EB.xtan 603 3图52 33 AB EB AE.2 6 PA AE 在 Rt PEA 中， PE22.6 分3以点 E 为原点, EB 所在直线为 轴,与 BC 平行的直线为 y 轴, EP 所在直线为 z 轴,建立空x 32 333 E 0,0,0 x

17、yz,0,0,0,0,1,0间直角坐标系 E,则, A, B ,C , 33 2 63P0,0,. 2 632 63 0,1,0 0,0,AC 3,1,0,1, BC, EP , PC .33 BCPC 1cos BC, PC (1) ,2BC PC , PC 30 BC. 直线 PC 与平面 PAB 所成的角为30.9 分 x, y, z(2) 设平面 PAC 的法向量为 n,第 9 页 共 18 页 3x y 0,0,nAC 由 得32 6 0.x y nPCz 0. 332.令 x1, 得 y 3 z ,22 1, 3, PACn 为平面的一个法向量.的一个法向量,2 2 63 0,0,

18、ABC EP 为平面nEP, EP cos n1 .3n EP AC B AC B二面角 P二面角 P的平面角为锐角,的平面角的余弦值为 .112 分318. （本小题满分 14 分）(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)k (ks s 15 t 1 0 t 4)(1)解:依题意设 p为常数 ,由于,k 0 t 4 p.2 分 15 t 144k当t 0.5 时, p, 则,解得k 18. 1 55 15 0.5 11860 t 4. p4 分6 分 15 t 1 5 t 1631时, p.当t2 5 2 53该运动

19、员第二次射击命中飞碟的概率为 .5(2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件 A ，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事 AB件 B ，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：A.7 分435 P A , P B ，5第 10 页 共 18 页 AB P A P A P B P A44 3 23 1 .55 5 252325第一个飞碟被该运动员命中的概率为.10 分23253,(3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为 , 则 B. 2 3 P P 至少命中两个飞碟的概率为P12 分 p 1 pp 3C 22+ C 33323223 23 3 25 25 25 1534

20、1.14 分1562519. （本小题满分 14 分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) , yx , y(1) 解:设点 A 、 B 的坐标分别为 x、，1122 l 、l 分别是抛物线 在点 A 、 B 处的切线，C12xx yk y2直线l 的斜率 k1，直线l 的斜率.211xx1p2xx2p l l,（数学驿站 ）12 k k 1, 得 x x p2 .2 分1 212 A 、 B 是抛物线 上的点,Cxx212p2 , y . y22p12xx xx x x.22122x xy

21、直线l 的方程为 y,直线l 的方程为12p p2p p1122第 11 页 共 18 页 x21x x xy y x x ,21x 12p p12由 解得pxx x x ,222y .22p p2p点 D 的纵坐标为.4 分2 p 0,(2) 证法 1： F 为抛物线C 的焦点， F.2xp21py 2p 22x21p21AF 的斜率为k AF 直线，x 0 x12px11xp22py2p 22x22p22直线 BF 的斜率为k.x 0 x22pxBF22x p x p212px2222 k BF k6 分2pxAF12 x x p x x p212222212px x1 2 x x x x

22、 p x x21 212122px x12 p x x p x x2212122px x1 2 0. k k.AFBF A 、 B 、 F 三点共线.8 分 p 0,证法 2： F 为抛物线C 的焦点， F.2 p x p x21221 x , x , AF ， 2 2p2p1 1 .p xp x22222BF x , x ,2 2p2p22 第 12 页 共 18 页 p x2212pp xx x xx221222122,16 分1 2p x xx x x222p2x21 22p / BF AF. A 、 B 、 F 三点共线.8 分 x x y y ,证法 3：设线段 AB 的中点为 E

23、, 则 E 的坐标为.12122p: y 抛物线 的准线为l.Cy2 l, BB lA , B作 AA, 垂足分别为.1111BEF x xp A, 由(1)知点 D 的坐标为,1222Ox ll DE.D DE 是直角梯形 AA B B 的中位线.111 2.AA BB DE6 分11 AF , BB BF根据抛物线的定义得: AA,111 1 AA BB AF BF. DE AD2211 DB EAB, 为线段的中点,12AB . DE1 AB1 2AF BFAB AF BF,即.2 A 、 B 、 F 三点共线.(3)解: 不存在. 证明如下：8 分假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M

24、 ， AD,MB BD，且 MA MB ，依题意得 MA lAD BD.由l，得12 四边形 MADB 是正方形.第 13 页 共 18 页 BD AD.10 分32,1点 D 的坐标为，p 1 2.,得 p232xx 321,1l1 x把点 D的坐标代入直线 , 得14 2 211 4 x 1,解得 x或1114 4,41,点 A 的坐标为或.14 4,41,同理可求得点 B 的坐标为或.1 B 4,4由于 A 、 B 是抛物线 上的不同两点，不妨令 A,.C1,432112516321254222 AD 1 1 , BD 4 4 12. 13 分 4 BDAD BD矛盾. AD, 这与经过

25、 A 、 B 两点且与l 、l 都相切的圆不存在.14 分1220. （本小题满分 14 分）(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解: f x x x ax b32, x 3x 2x a. f2 f x x x ax b1,32的一个极值点为 x 1 31 21 a 0 f.2 a 1.2 分 x 3x 2x 1 3x 1 x 1, f2第 14 页 共 18 页 131 f x 0 x 1f x 0 1时, f x 0当 x时,;当时,;当 x;311 , ,11,上单调递减,

26、在 上单调递增.函数 f x 在上单调递增, 在33 , x b 0的两个实根为,x x b 0的两根为方程ax2, 即2,1 1 4b1 1 4b,.22 1, b 1 4b ,.4 分 , 函数 f x 在区间上是单调的,113 ,1 1, 区间只能是区间,之一的子区间. 3 13 , 1, ,1 由于,故. 0,则 1 1 ,与矛盾.若 ,0,1. 0,1 x b 0的两根,方程 x2都在区间上.6 分1 令 g x x x b g xx 0,12,的对称轴为,2 1 b 0,g 0 b 0,1 b 0.则 g解得4 1 4b 0.1实数 的取值范围为.8 分b ,04说明:6 分至 8

27、 分的得分点也可以用下面的方法.1 1 4b 1 1 1 4b 1 且函数 f x,在区间 上是单调的,222213 ,1. 第 15 页 共 18 页 1 1 4b1 ,313,21 1 4b2 由 1, 1,即 6 分 1 4b 0.1 4b 0.1 b 0解得.41实数 的取值范围为.8 分b ,04(2)证明:由(1)可知函数 f x 在区间 ,上单调递减, ,函数 f x 在区间上的最大值为 f, 最小值为 f. , x , x,12 f f x f f x12 b3 2 b 32 3322 2 1 1 4b b 1 1 4b 1 b.10 分 11 t , t t3 .1 1 4b 1 b 5 1 4b令t, 则b244 11 设 h t h t 5 3t2 . 5t t3 , 则 441 b 0,40 t 1. 1 t 5 3t 0 h.24 1 函数h t0,1上单调递增. 5t t3 在12 分4 h 1 1 h t.第 16 页 共 18 页 f x 1 f x.14 分1221. （本小题满分 14 分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)ab * 1,n1(1)解:对任意