人教版八年级数学导学案 运用平方差公式因式分解

1、初中活力课堂教研组编第十四章 整式的乘法与因式分解143 因式分解1432公式法第 1 课时 运用平方差公式因式分解学习目标：1探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想 2能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解重点：运用平方差公式进行因式分解难点：综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解一、知识链接1什么叫多项式的因式分解？2下列式子从左到右哪个是因式分解？哪个整式乘法？它们有什么关系？ a(x+y)=ax+ay； ax+ay=a(x+y)320192+2019 能否被 2019 整除？4.计算：（1）(a+5)(a5)=二、新知预习；（2）(4m+3n)(4m3

2、n)=试一试：观察以上计算结果，并根据因式分解与整式乘法是互逆运算，分解下列因式：（1）a225=；（2）16m29n=做一做：分解因式 a2b2= 三、自学自测填一填：（1）(a2)(a2)_；a24=；（2）(5b)(5b)_；25b2=；（3）(x4y)(x4y)=_；x216y2=四、我的疑惑 _ _ 一、要点探究探究点：用平方差公式进行因式分解初中活力课堂数学教研组编初中活力课堂教研组编想一想：多项式 a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？要点归纳：两个数的 ，等于这两个数的与这两个数的的 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2（2）x2-y2（3

3、）-x2-y2（4）-x2+y2 （5）x2-25y2 （6）m2-1方法总结：符合平方差公式的形式的多项式才能用平方差公式进行分解因式，即能写成（： ）2-（ ）2的形式两数是平方，减号在中央典例精析例 1：分解因式：（1）4x2-9； （2）(x+p)2-(x+q)2方法总结：公式中的 a、b 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化 成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解针对训练分解因式：（1）(ab)24a2； （2）9(mn)2(mn)2例 2：分解因式：（1）x4y4； （2）a3b-ab方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解

4、因 式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止针对训练（1）5m2a45m2b4； （2）a24b2a2b初中活力课堂数学教研组编初中活力课堂教研组编例 3：已知 x2y22，xy1，求 x-y，x，y 的值方法总结：在与 x2y2，xy 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值例 4：计算下列各题：（1）1012992； （2）53.524-46.524方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化例 5：求证：当 n 为整数时，多项式(2n+1)2-(2n -1)2一定能被 8 整除方法总结：解决整除的基本思路就是

5、将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或 式子整除二、课堂小结1下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )Aa2(b)2B5m220mnCx2y2Dx292分解因式(2x+3)2 -x2 的结果是（ ）A3(x2+4x+3) B3(x2+2x+3) C(3x+3)(x+3) D3(x+1)(x+3)3若 a+b=3，a-b=7，则 b2-a2的值为（ ）A-21 B21 C-10 D10 4把下列各式分解因式：（1）16a2-9b2=；（2）(a+b)2-(a-b)2=；（3）9xy3-36x3y=；初中活力课堂数学教研组编（4）-a4+16=初中活力课堂教研组编5若将(2x)n-8

6、1 分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则 n 的值是_6已知 4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(3m-n)2的值7如图，在边长为6.8 cm 正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分 的面积8（1）992-1 能否被 100 整除？（2）n 为整数，(2n+1)2-25 能否被 4 整除？初中活力课堂数学教研组编 初中活力课堂教研组编参考答案自主学习一、知识链接1解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因 式分解，也叫做把这个多项式分解因式2解：是因式分解，是整式乘法，它们互为逆运算3解：可以4（1）a

7、2-25 （2）16m2-9n2二、新知预习试一试 （1）(a+5)(a-5) （2）(4m+3n)(4m-3n)做一做 (a+b)(a-b)四、自学自测（1）a24 (a2)(a2) （2）25b2(5b)(5b) （3）x216y2(x4y)(x4y)四、我的疑惑课堂探究二、要点探究探究点：用平方差公式进行因式分解想一想 是 a，b 两数的平方差的形式要点归纳 平方差 和 差 乘积辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ （1） （2）(x+y)(x-y) （3）（4）(y+x)(y-x) （5）(x+5y)(x-5y) （6）(m+1)(m-1) 典例精析例 1 解：（1）

8、原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)；（2）(x+p)+(x+q)(x+p)-(x-q)=(2x+p+q)(p-q)针对训练解：（1）原式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；（2）原式(3m3nmn)(3m3nmn)(2m4n)(4m2n)4(m2n)(2mn)例 2 解（1）原式(x2)2-(y2)2(x2+y2)(x2-y2)(x2+y2)(x+y)(x-y)；（2）原式ab(a2-1)ab(a+1)(a-1) 针对训练解（1）原式5m2(a4b4)5m2(a2b2)(a2b2)5m2(a2b2)(ab)(ab)；（2）原式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(

9、a2b)(a2b)(a2b1)例 3 解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，xy2 1x , 2联立组成二元一次方程组，解得 3y . 2例 4 解：（1）原式(10199)(10199)400；（2）原式4(53.5246.52)=4(53.546.5)(53.546.5)41007=2800 例 5：证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8 nn 为整数，8n 被 8 整除，即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被 8 整除初中活力课堂数学教研组编初中活力课堂教研组编当堂检测1D 2D 3A4（1）(4a+3b)(4a-3b) （2）(a+b)2-(a-b)24ab（3）9xy3-36x3y9xy(y+2x)(y-2x) （4）-a4+16(4+a2)(2+a)(2-a)546解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n) 当 4m+n=40，2m-3n=5 时，原式=-405=-2007解：根据题意，得68241.626.82(21.6)26.823.22(6.83.2)(6.83.2)103.636(