中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含详细答案

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含详细答案 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1如图，在锐角ABC 中，AC 是最短边以AC 为直径的O ，交BC 于D ，过O 作OE BC ，交OD 于E ，连接AD 、AE 、CE （1）求证：ACE=DCE ； （2）若B=45，BAE=15，求EAO 的度数； （3）若AC=4， 23 CDF COE S S ?=，求CF 的长 【答案】（1）证明见解析，（2）60；（343 【解析】 【分析】 （1）易证OEC =OCE ，OEC =ECD ，从而可知OCE =ECD ，即ACE =DCE

2、 ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证AGC =B +BAG =60，由于OE BC ，所以AEO =AGC =60，所以EAO =AEO =60； （3）易证12COE CAE S S =，由于23CDF COE S S =，所以CDF CAE S S =13 ，由圆周角定理可知AEC =FDC =90，从而可证明CDF CEA ，利用三角形相像的性质即可求出答案 【详解】 （1）OC =OE ，OEC =OCE OE BC ，OEC =ECD ，OCE =ECD ，即ACE =DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G AGC 是ABG 的外角，AGC =B +BAG =60 OE

3、BC ，AEO =AGC =60 OA =OE ，EAO =AEO =60 （3）O 是AC 中点，12 COE CAE S S = 23CDF COE S S =，CDF CAE S S =13 AC 是直径，AEC =FDC =90 ACE =FCD ，CDF CEA ，CF CA =33，CF =33CA =33 【点睛】 此题考察了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相像三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识 2如图，已知ABC中，AB=AC，A=30，AB=16，以AB为直径的O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE

4、AC于点E （1）求证：DE是O的切线； （2）求CE的长； （3）过点B作BGDF，交O于点G，求弧BG的长 【答案】（1）证明见解析（2）33）4 【解析】 【分析】 （1）如图1，连接AD，OD，由AB为O的直径，可得ADBC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得ODAC，继而可得DEOD，问题得证； （2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=1 2 BF，CE=EF，根据A=30，AB=16，可 得BF=8，继而得DE=4，由DE为O的切线，可得ED2=EF?AE，即42=CE?（16CE），继而可求得CE长； （3）如图3，连接OG，连接AD，由BGDF，

5、可得CBG=CDF=30，再根据AB=AC，可推导得出OBG=45，由OG=OB，可得OGB=45，从而可得BOG=90，根据弧长公式即可求得BG的长度. 【详解】 （1）如图1，连接AD，OD； AB为O的直径， ADB=90，即ADBC， AB=AC， BD=DC， OA=OB， OD AC ， DE AC ， DE OD ， ODE=DEA=90， DE 为O 的切线； （2）如图2，连接BF ， AB 为O 的直径， AFB=90， BF DE ， CD=BD ， DE=12BF ，CE=EF ， A=30，AB=16， BF=8， DE=4， DE 为O 的切线， ED 2=EF?A

6、E ， 42=CE?（16CE ）， CE=843，CE=8+43（不合题意舍去）； （3）如图3，连接OG ，连接AD ， BG DF ， CBG=CDF=30， AB=AC ， ABC=C=75， OBG=7530=45， OG=OB ， OGB=OBG=45， BOG=90， BG 的长度=908180 ?=4 【点睛】 此题考察了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练把握相关的性质与定理是解题的关键. 3如图，在O 中，直径AB 弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且FCA B . (1)求证：CF

7、是O 的切线； (2)若AE 4，tan ACD 12 ，求AB 和FC 的长 【答案】(1)见解析;(2) AB=20 ， 403 CF = 【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC CF 即可； （2）通过正切值和圆周角定理，以及FCA B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相像（或射影定理）证明OCE CFE ，即可根据相像三角形的对应线段成比例求解. 详解：证明：连结OC AB 是O 的直径 ACB=90 B+BAC=90 OA=OC BAC=OCA B=FCA FCA+OCA=90 即OCF=

8、90 C 在O 上 CF 是O 的切线 AE=4，tan ACD 12 AE EC = CE=8 直径AB 弦CD 于点E AD AC = FCA B B=ACD=FCA EOC=ECA tan B=tan ACD=1=2CE BE BE=16 AB=20 OE=AB2-AE=6 CE AB CEO=FCE=90 OCE CFE OC OE CF CE = 即106=8CF 40CF 3 = 点睛：此题主要考察了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相像三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目. 4如

9、图1，延长O 的直径AB 至点C ，使得BC= 12 AB ，点P 是O 上半部分的一个动点（点P 不与A 、B 重合），连结OP ，CP （1）C 的最大度数为 ； （2）当O 的半径为3时，OPC 的面积有没有最大值？若有，说明理由并求出最大值；若没有，请说明理由； （3）如图2，延长PO 交O 于点D ，连结DB ，当CP=DB 时，求证：CP 是O 的切线 【答案】（1）30；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）当PC 与O 相切时，OCP 的度数最大，根据切线的性质即可求得； （2）由OPC 的边OC 是定值，得到当OC 边上的高为最大值时，

10、OPC 的面积最大，当 POOC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到A=C，得到 CO=OB+OB=AB，推出APBCPO，根据全等三角形的性质得到CPO=APB，根据圆周角定理得到APB=90，即可得到结论 试题解析：（1）当PC与O相切时，OCP最大如图1，所示： sinOCP=OP OC = 2 4 = 1 2 ，OCP=30 OCP的最大度数为30， 故答案为：30； （2）有最大值，理由： OPC的边OC是定值，当OC边上的高为最大值时，OPC的面积最大， 而点P在O上半圆上运动，当POOC时，取得

11、最大值，即此时OC边上的高最大， 也就是高为半径长，最大值SOPC= 1 2 OC?OP= 1 2 63=9； （3）连结AP，BP，如图2， 在OAP与OBD中， OA OD AOP BOD OP OB = ? ? = ? ?= ? ，OAPOBD，AP=DB， PC=DB，AP=PC， PA=PC，A=C， BC=1 2 AB=OB，CO=OB+OB=AB， 在APB和CPO中， AP CP A C AB CO = ? ? = ? ?= ? ，APBCPO，CPO=APB， AB为直径，APB=90，CPO=90， PC切O于点P，即CP是O的切线 5已知：如图，AB是O的直径，PB切O于

12、点B，PA交O于点C，APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交O于点F，A=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x23 =0的两根（k为常数） （1）求证：PA?BD=PB?AE； （2）求证：O的直径长为常数k； （3）求tanFPA的值 【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tanFPA=23 . 【解析】 试题分析： （1）由PB切O于点B，根据弦切角定理，可得PBD=A，又由PF平分APB，可证得PBDPAE，然后由相像三角形的对应边成比例，证得PA?BD=PB?AE； （2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：O的直径长为常数k； （3）由A=60，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tanFPB的值，则可得tanFPA的值 试题解析： （1）证明：如图， PB切O于点B， PBD=A， PF平分APB， APE=BPD， PBDPAE， PB：PA=BD：AE， PA?BD=PB?AE； （2）证明：如图， BED=A+EPA，BDE=PBD+BPD 又