MATALAB微分方程市公开课金奖市赛课一等奖课件

1、数学建模 微 分 方 程第1页 在研究实际问题时，经常会联络到一些变量改变率或导数， 这么所得到变量之间关系式就是微分方程模型。微分方程模型反应是变量之间间接关系，所以，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法： 1）求准确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。第2页一、导弹追踪问题 设位于坐标原点甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处乙舰发射导弹，导弹头一直对准乙舰.假如乙舰以最大速度v0(是常数)沿平行于y轴直线行驶，导弹速度是5v0，求导弹运行曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一（解析法）第3页由(1),(2)消去t整理得模型:第4页 二 范. 梅格伦（Va

2、n Meegren） 伪造名画案 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子合作者，发觉一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰利益，全部油画都是自己伪造，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer画耶稣在学者中间。当他工作快完成时，又得悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。第5页 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加国际专门小组，采取了当初最先进科学方法，动用了X-光线透

3、视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发觉了当代物质诸如当代颜料钴蓝痕迹。 这么，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。 不过，许多人还是不相信其余名画是伪造，因为， Vanmeegren在狱中作画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到后，1967年，卡内基梅隆大学科学家们用微分方程模型处理了这一问题。第6页原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出： 物质放射性正比于现存物质原子数。设 时刻原子数为 ，则有为物质衰变常数。初始条件第7页半衰期能测出或算出，只要知道 就可算出这正是问题难处，下面是间接确定 方法。断代

4、。第8页油画中放射性物质 白铅（铅氧化物）是油画中颜料之一，应用已经有余年，白铅中含有少许铅(Pb210)和更少许镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出。当白铅从处于放射性平衡状态矿中提取出来时， Pb210绝大多数起源被切断，因而要快速蜕变，直到Pb210与少许镭再度处于放射平衡，这时Pb210蜕变恰好等于镭蜕变所补足为止。第9页铀238镭226铅210钋210铅206（放射性）（无放射性）第10页假设（1）镭半衰期为16，我们只对17 世纪油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭最少还有原量90%以上，所以每克白铅中每分钟镭衰变数可视为常数，用 表示。（2）钋

5、半衰期为138天轻易测定，铅210半衰期为22年，对要判别300多年颜料来说，每克白铅中每分钟钋衰变数与铅210衰变数可视为相等。第11页建模设 时刻每克白铅中含铅210数量为 ，为制造时刻 每克白铅中含铅210数量。为铅210衰变常数。则油画中铅210含量第12页求解均可测出。可算出白铅中铅衰变率 ，再于当初矿物比较，以判别真伪。矿石中铀最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超出3 万个原子，则矿石中含铀量超出 4%。第13页测定结果与分析画名钋210衰变原子数镭226衰变原子数Emmaus信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱妇人10.30.3弹曼陀林妇人8.20.17做

6、花边人1.51.4欢笑女孩5.26.0第14页若第一幅画是真品，铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。第15页同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。第16页 微分方程数值解 1欧拉方法欧拉方法基本原理:消除导数项（离散化）。欧拉法普通步骤:第17页 欧拉方法特点:易于了解，计算量小，精度低。第18页 2梯形法梯形法普通步骤:第19页 梯形法特点:，计算量大，精度高。第20页 龙格库塔法 龙格库塔法基本思想： 由微分中值定理：第21页微分方程解析解 求单个微分方程解析解命令:dsolve(方程1, 初始条件, 自变量)第22页 结 果：u = tg(t-c) 求微分方程组解析解:

7、x1,x2,xndsolve(方程1, 方程2,方程n, 初始条件, 自变量)第23页例 2求微分方程 通解，并验证。 y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x2)第24页例 3求微分方程 在初值条件 下特解，并画出解函数图形。y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x); ezplot(y)第25页例4 求微分方程组 在初值条件 下特解，并画出解函数图形。x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, x(0)=1, y(0)=0, t)e

8、zplot(x,y,0,1.3)第26页微分方程数值解常微分方程数值解定义 在生产和科研中所处理微分方程往往很复杂且大多得不出普通解。而在实际上对初值问题，普通是要求得到解在若干个点上满足要求准确度近似值，或者得到一个满足准确度要求便于计算表示式。所以，研究常微分方程数值解法是十分必要。第27页 用Matlab软件求常微分方程数值解t，y=solver（f,ts,y0）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成m-文件名ts=t0，tf，t0、tf为自变量初值和终值函数初值ode23：组合2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：利用组合4/5阶龙格-库塔-芬尔

9、格算法自变量值函数值第28页Matlab提供ODE求解器求解器ODE类型特点说明ode45非刚性单步法；4，5 阶 R-K 方法；累计截断误差为 (x)3大部分场所首选方法ode23非刚性单步法；2，3 阶 R-K 方法；累计截断误差为 (x)3使用于精度较低情形ode113非刚性多步法；Adams算法；高低精度均可到 10-310-6计算时间比 ode45 短ode23t适度刚性采取梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法；Gears 反向数值微分；精度中等若 ode45 失效时，可尝试使用ode23s刚性单步法；2 阶Rosebrock 算法；低精度当精度较低时，计算时间比 ode15s

10、 短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短第29页 1、在解n个未知函数方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中待解方程组应以x分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意:第30页x,y=ode23(fun,0,0.5,1)第31页fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1) 求初值问题 数值解，求解范围为 0,0.5例 1第32页图中，y1图形为实线，y2图形为“*”线，y3图形为“+”线.function f=cxd1(t,y) f=y(2)*y(3);-y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2)T,Y=ode45(cxd1,0 1 2,0 1 1)plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*