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文档简介
1、一、什么叫做平均值定理?定理1:若白,队R则疽+护至泌,当且仅当a=b时取等号。J R+,则江* 2气膈.定理2:若当且仅当a=b时取等号。定理3:若a、b、ce&*,则投+妒仃23成当且仅当a=b=c时取等号。奴 hr C E氏七 则 一-_- 动思U.定理4:若当且仅当a=b=c时取等号。利用以上定理可推广得如下极值定理:定理5:若冷件 矿且,=其定值),那么当x=y时,xy有最大值,且等于定理6:若志即因七且厂尸纨定值),那么当x=y时,x+y有最小值,且等于2抒定理7:若x、y、zR+,且x+y+z=p(定值)。那么当x=y=z时,xyz有最大值,且等于刀定理8:若志八*矿且十严=尸症
2、值).那么当x=y=z时,x+y+z有最小值,且等于3据以上定理的证明详见高二代数课本P8-Pio.二、你知道下面的题解错误在哪里?0,求函数的最小值.已知:解:T 十芝=,-32-=2. AXX X X A=十求函数 石不的最小值.解: 抨十4仙十4 TOC o 1-5 h z | 2十 4 , 1= 2V J+4已知日顷,且=1.求拦的最小值解:.化 0,. +- 2(1)a:b + | 2(a+ + (- + -) 4由(1) +得,皿为1 + 1 4-1 = 3 a b已知:口顼求函数ys-F的最大值.尸=4汗一 / =&(2 + Q(2 &) =-a(2+x)(4-2a) 解:& 1
3、.工+(2 + # + (4-况=4再=4三、上面各题的错误分析及正确解法如下:错误分析:当且仅当三正数*五都相等时,等号成立。但这三数是不可能全相等的,故等号不成立。圣工亚正确解法:MX Z.2T 丫 dZ dX S当且仅当土,即说时,等号成立.十 4 = j 1,即 J = -3 时,错误分析:当且仅当放 X等号成立,显然此方程无 解,Tmin 正确解法:y=,腭。,+ 时拧十4是递增函数,当工=0时,四=|.1 ? 1a = ; =,错误分析:当且仅当 即a=1,b=1时,等式成立,这与已知条件一 一一1 - ULU-La+b=1相矛盾,以正确解法:. 十.=1.口 =冬+尝=2十(攵十
4、与a b a b a ba = b =当且仅当2时,等号成立.错误分析:当且仅当mzu 这三正数都相等时,等号成立,但这是不 可能的四正确解法:。=冲“口顶=而-仃.。,鬼8 0, tgC 0.A=B = C =-当且仅当3时,等号成立.I 皿能(。,5 尸=A + 2-2例2.已知2求 *活m皿。汕Q的最小值.sec解:sec3 +4csc2 成上5十2 JfgW m 牝冒 # = 9当且仅当湖24=1客尸是卵0口解:= |sm必 gin”歹 2cos2 ff1 .sin 3 sin3 2 cos3 今84. 一 27 27当且仅当SillV279五、高考中的应用题常常须用平均值定理求解。(
5、97年、全国、22题).甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部 分和固定部分组成,可变部分与速度v千米/时的平方成正比,且比例系数为b, 固定部分为a元。(1)把全程运输成本y (元)表示为速度,(千米/时)的函数,并指出这个函 数的定义域。(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶?解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为板全程运输成本为y =淫十即苴=(竺十既). h u V v ,故所求函数及其定义域为y = S( + 折),ve (0, c右七乂时,当时,有S(兰g)十(趴;淀) V
6、 c (c- -cv).VC c - v 0,且d!*己故有十她 5(兰十况)且仅当 = c。时,等号成立,也即当V*时,全程运输成本y最小。气倔综上可知,为使全程运输成本y最小,当 C时, 八耳当互对时,行驶速度应为也 出行驶速度应为皆=.(98年,全国、22题)如图:为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出。设箱体的长 度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab 成反比,现有制箱材料60平方米,问a、b各为多少米时,经沉淀后流出的水中 该杂质的质量分数最小。(A、B孔的面积忽略不计)。 TOC o 1-
7、5 h z 解法1设y为流出的水中杂质的质量分数,则为翳y =二,其中任0,、P品为比例系数,比/依题意,即所求a、b值使y值最小。根据题意,有45十2泌十2企=佃(a0,b0)64(-10舍去)时,于是以十2当 口十2取等号。这时y达到最小值,把a=6代入(1)得b=3.故当a=6米,b=3米时,经沉淀后流出的水中该杂质 的质量分数最小。解法2依题意,即所求的a、b值使ab最大.由题设知4小溢+必=网S。, SO),即 + 必 +感=30 b 0)a +2 22ah.242-Jab +破? 土 30.当且仅当a=2b时,上式取等号。由谨对,E,解得。 0, b 0,且皿 +也=1.卢=(一1)(4一1),4.设/ 尸则()A. F的最小值是8最小值
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