平均值定理的运用

1、一、什么叫做平均值定理?定理1:若白，队R则疽+护至泌,当且仅当a=b时取等号。J R+,则江* 2气膈.定理2：若当且仅当a=b时取等号。定理3：若a、b、ce&*，则投+妒仃23成当且仅当a=b=c时取等号。奴 hr C E氏七 则 一-_- 动思U.定理4：若当且仅当a=b=c时取等号。利用以上定理可推广得如下极值定理：定理5：若冷件 矿且，=其定值），那么当x=y时，xy有最大值，且等于定理6：若志即因七且厂尸纨定值），那么当x=y时，x+y有最小值，且等于2抒定理7：若x、y、zR+，且x+y+z=p（定值）。那么当x=y=z时，xyz有最大值，且等于刀定理8：若志八*矿且十严=尸症

2、值）.那么当x=y=z时，x+y+z有最小值，且等于3据以上定理的证明详见高二代数课本P8-Pio.二、你知道下面的题解错误在哪里?0,求函数的最小值.已知：解：T 十芝=，-32-=2. AXX X X A=十求函数 石不的最小值.解： 抨十4仙十4 TOC o 1-5 h z | 2十 4 , 1= 2V J+4已知日顷，且=1.求拦的最小值解：.化 0,. +- 2(1)a:b + | 2(a+ + (- + -) 4由(1) +得，皿为1 + 1 4-1 = 3 a b已知：口顼求函数ys-F的最大值.尸=4汗一 / =&(2 + Q(2 &) =-a(2+x)(4-2a) 解：& 1

3、.工+(2 + # + (4-况=4再=4三、上面各题的错误分析及正确解法如下:错误分析：当且仅当三正数*五都相等时，等号成立。但这三数是不可能全相等的，故等号不成立。圣工亚正确解法：MX Z.2T 丫 dZ dX S当且仅当土，即说时，等号成立.十 4 = j 1，即 J = -3 时，错误分析：当且仅当放 X等号成立，显然此方程无 解，Tmin 正确解法：y=,腭。,+ 时拧十4是递增函数，当工=0时，四=|.1 ? 1a = ; =,错误分析：当且仅当 即a=1，b=1时，等式成立，这与已知条件一 一一1 - ULU-La+b=1相矛盾，以正确解法：. 十.=1.口 =冬+尝=2十（攵十

4、与a b a b a ba = b =当且仅当2时，等号成立.错误分析：当且仅当mzu 这三正数都相等时，等号成立，但这是不 可能的四正确解法：。=冲“口顶=而-仃.。，鬼8 0, tgC 0.A=B = C =-当且仅当3时，等号成立.I 皿能（。，5 尸=A + 2-2例2.已知2求 *活m皿。汕Q的最小值.sec解：sec3 +4csc2 成上5十2 JfgW m 牝冒 # = 9当且仅当湖24=1客尸是卵0口解:= |sm必 gin”歹 2cos2 ff1 .sin 3 sin3 2 cos3 今84. 一 27 27当且仅当SillV279五、高考中的应用题常常须用平均值定理求解。（

5、97年、全国、22题）.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部 分和固定部分组成，可变部分与速度v千米/时的平方成正比，且比例系数为b， 固定部分为a元。（1）把全程运输成本y （元）表示为速度，（千米/时）的函数，并指出这个函 数的定义域。（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为板全程运输成本为y =淫十即苴=（竺十既）. h u V v ，故所求函数及其定义域为y = S（ + 折）,ve （0, c右七乂时，当时，有S（兰g）十（趴;淀） V

6、 c （c- -cv）.VC c - v 0,且d!*己故有十她 5（兰十况）且仅当 = c。时，等号成立，也即当V*时，全程运输成本y最小。气倔综上可知，为使全程运输成本y最小，当 C时， 八耳当互对时，行驶速度应为也 出行驶速度应为皆=.（98年，全国、22题）如图：为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长 度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中 该杂质的质量分数最小。（A、B孔的面积忽略不计）。 TOC o 1-

7、5 h z 解法1设y为流出的水中杂质的质量分数，则为翳y =二,其中任0,、P品为比例系数，比/依题意，即所求a、b值使y值最小。根据题意，有45十2泌十2企=佃（a0，b0）64（-10舍去）时，于是以十2当 口十2取等号。这时y达到最小值，把a=6代入（1）得b=3.故当a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质 的质量分数最小。解法2依题意，即所求的a、b值使ab最大.由题设知4小溢+必=网S。, SO）,即 + 必 +感=30 b 0）a +2 22ah.242-Jab +破? 土 30.当且仅当a=2b时，上式取等号。由谨对,E,解得。 0, b 0,且皿 +也=1.卢=（一1）（4一1）,4.设/ 尸则（）A. F的最小值是8最小值