圆锥曲线求点的轨迹方程

1、第九章求点的轨迹问题解析几何求点的轨迹问题一、基础知识：1、求点轨迹方程的步骤：(1)建立直角坐标系(2)设点：将所求点坐标设为 (x,y),同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)(3)列式：从已知条件中发掘 x,y的关系，列出方程(4)化简：将方程进行变形化简，并求出 x, y的范围2、求点轨迹方程的方法(1)直接法：从条件中直接寻找到 x,y的关系，列出方程后化简即可(2)代入法：所求点P(x,y)与某已知曲线F(x0,y0 ) = 0上一点Q(%,y0)存在某种关系，则可根据条件用x, y表示出x0,yo,然后代入到Q所在曲线方程中，即可得到关于x, y的方 程(3)定义法：从条件

2、中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有：圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角一圆：若AB _L AC ,则A点在以BC为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标 (a,b ),半径r椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹确定方程的要素：距离和 2a,定点距离2c双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数(小于定点距离)，则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a,定点距离2c抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线

3、的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p。若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线)，则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程(4)参数法：从条件中无法直接找到 x,y的联系，但可通过一辅助变量 k,分别找到x, y与第九章求点的轨迹问题解析几何x = f kk的联系，从而得到x, y和k的方程：i 即曲线的参数方程,y -g k消去参数k后即可得到轨迹方程。二、典型例题:例1：设一动点P到直线l : x = 3的距离到它到点 A(1,0)的距离之比为轨迹方程是(22xyA.)32=12 x B.32y 二12. 2I C.32 x D. 解：设P x, ydP .Lx -

4、3思路：设P(x,y,则可直接利用已知条件列出关于x,y的等式，化简即可3(x-1)2 +y23 x -3 = x -12x2 -16x- y2 = -262 x - 4 - y2 = 6=答案：C例2：已知两定点的坐标分别为A(-1,0),B(2,0),动点满足条件 NMBA=2/MAB ,则动点M的轨迹方程为思路：通过作图可得/MBA =2/MAB等价的条件为直线 MA, MB的斜率的关系，设/MAB =a ,则/MBA =2- ,则可通过MA,MB的斜率关系得到动点 M的方程解：若M在x轴上方，则kMA =tanct,kMB - -tan2 ：,2kmakMB = -, 2. kMA1

5、-kMAy 一 一代入可得:x 2第九章求点的轨迹问题解析几何yx -2I H2: -2化简可得:2- 22_2 y3x -y =3即 x - =132若 M 在 x轴下方，则 kMA =-tana, kMB = tan2o(,同理可得：x2 - - = 13当20f = 3时，即VMAB为等腰直角三角形，M (2,3)或M (2,-3 )满足上述方程2所以当x在一四象限时，轨迹方程为 x2=1(x1)当M 在线段AB上时，同样满足/MBA =2/MAB =0 ,所以线段AB的方程y =0(-1x 2也为M的轨迹方程2综上所述：M的轨迹方程为x2 )-二1(x之1 )或y = 0(1 x2)

6、32答案：x2 -幺=1 x _1 或 y = 0 -1 ： x ： 23例3：已知F是抛物线x2 =4y的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段 PF中点M的轨迹方程是()212八1_22A. x=y- B. x=2y- C. x=2y-2 D. x=2y-1216x0 = 2xJ。=2y -1思路：依题意可得F(0,1), M(x,y) , P(x,y0),则有 jx02y01一_2x0 =2x因为P(x0, y0 )自身有轨迹万程，为：x0 = 4y0,将4代人可得关于x, y的万程, =2y-122即 M 的轨迹方程：(2x) =4(2y-1)= x =2y-1答案：DM满足例4：已知F是

7、抛物线y2=4x上的焦点， P是抛物线上的一个动点，若动点第九章求点的轨迹问题解析几何FP =2FM，则 M 的轨迹方程是 思路：考虑设M (x,y ),P(X0, % ),由抛物线y2 =4x可得：F(1,0，且y2 =4x0,故考虑利用向量关系得到 x, y与x0, y0的关系，从而利用代入法将x0, y0用x, y进行表示，代入到y2 =4x0即可解：由抛物线y2=4x可得：F (1,0)设 M x,y ,P x0,y。. FP = x。-1,y0 ,FM = x-1,yFP =2FMx0 1 = 2(x 1 ) x0 2 x 1y0 - 2 yy0 = 2 y.2.2丁 P在y =4x

8、上二y0 =4% ,将代入可得:2o(2y ) =4(2x -1 ),即 y2 =2x -1答案：y2 -2x -1例5 ：在平面直角坐标系xOy中，直线x = t( 4ct 4 )与椭圆22x V . 、一_ .+ = 1父于两点169P(t,y1 ),F2(t,y2 ),且y1A0,y2 PA ,所以轨迹为双曲线的一支。22例7：是圆(x+1)+y =25的圆心为C, A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点 M ,则M的轨迹方程为(A.224x 4y 彳一 二 12125B.22驾.生=1212522224x4y彳 4x4y彳- 11D. =

9、125212521思路：可得C(-1,0卜发现刚好与 A( 1,0)均在x轴上且关于原点对称，从而联想到双曲线或椭圆的焦点，观察几何性质可得：由 AQ的中垂线可得 AM|=|QM ,从而考虑 CM| + AM =|CM| + QM =|CQ =r =5,即 M 到 A,C 的5距离和为定值5,从而判断出其轨迹为椭圆， 可得2a =5= a = ,c = 1,2一 22221则b =a -c =一，所以椭圆方程为:44x2 4y2 二12521答案：C例8:已知直线y = kx +m与抛物线y2 = 2x交于A, B两点，且OA OBOA-OB ,其中O为坐标原点，若 OM _L AB于M ,则

10、点M的轨迹方程为 222 22A. xy =2B. x -1y =12. 2.22.C. xy -1 =1 D. x -1y =4-OB可得由OA,OB为邻思路：先处理条件 OA+OB =|OA边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形。即OA _L OB ,设 A(x1, y1 ),B (x2, y2 ),即 x1x2 + y1y2 = 0 ,联立直线与抛物线方程并利用韦达定理可得m = -2k ,从而可得直OC为直径的圆，轨迹线过定点(2,0 ),结合图像性质可得 OM _L AB ,则M的轨迹为以方程为（x 1 2 + y2 =1解:OA OB = OA - OB，且 OA +OA O

11、B , OA - OB为OA,OB为邻边的平行四边形对角线该四边形为矩形，即 OAOB第九章求点的轨迹问题解析几何设 A(x, y ) B(x2,y2 ),，OA OB =x1x2 + yAy2 =0联立方程:y = kx m2y = 2x,消去x可得:y m =2.2ky - 2 y 2m = 02m y1y2 =T段AB上取一点Q ,使得11+ma| |mbMQ,求点Q的轨迹 TOC o 1-5 h z y1y2 m2m mx1 x2 = = 二十二=0 由 km#0可得 m = -2k4k2kk2l ：y=kx + m=kx 2k=k（x2）,即直线过定点 C（2,0）丁 OM _L A

12、B即；OM _LCM ,M的轨迹为以OC为直径的圆则该圆的圆心为（1,0%半径r=122二轨迹方程为（x 1 ） +y =1答案：B例9：过点M （-6,0 ）作圆C :x2+y2 6x4y + 9 = 0的割线，交圆C于A, B两点，在线解：设点 A(x1,y1 ),B(x2,y2 JQ(x,y ),直线 AB 的斜率为 kMA =* +k2(x1 +6 j|MB| =5 + k2 (x2 +6 ), MQ| =V1+k(x + 6) TOC o 1-5 h z 112112+=可得： + MA| 1MBi |MQ|J1 +k2(x +6) jl + k2(x2 +6)51 + k2(x +

13、 6)x16x2 6 x 6，联立方程:,消去x可得:= X212x1x2 6 x1 x236y = k x 69.9_. _x y -6x -4y 9=02222k21 x22 6k2-2k -3x 3 12k2-8k3 =02 6k2 -2k -33 12k2 -8k 3,XiX2 =；k2 11 2 k2 1代入可得:第九章求点的轨迹问题解析几何2 6k2 -2k -3k2 1123 12k2 -8k 32 6k2 -2k -3 TOC o 1-5 h z 9-6936k2 1k2 1Rn 4k 182y即=,而k = kMQ =-J代入可得:4y182x6=化简可得：9x + 2y27

14、=0,因为Q在圆内81 x 6x 681 x 6所以点Q的轨迹是直线9x +2y -27 =0被圆截得的弦例10：如图所示，点 N在圆x2 +y2 =4上运动，DN _Lx轴，点M在DN的延长线上，且 DM = DN 0(1)求点M的轨迹方恒，并求当 儿为何值时，M的轨迹表示焦点在 x轴上的椭圆一1 一x.(2)当儿=时，在(1)中所得曲线记为 C ,已知直线l :一 + y =1 , P是l上的动点，222射线OP (O为坐标原点)交曲线 C于点R,又点Q在OP上且满足 OQ OP| =|OR ,求点Q的轨迹方程解：(1)思路：N自身有轨迹方程，且条件中所求的点M与点N存在联系(DM =KD

15、N ),所以考虑利用代入法求轨迹方程。设M (x,y ),N (x0,y0 ),然后利用向量关系找到 M的坐标与N坐标x =x的联系 1 ,从而代入到 N所在的方程便得到关于 x,y的等式，即M的轨迹方程 丫。=丁丫设 M x,y ,N x0,y0DM = 0,y ,DN = 0,yDM = DN y = y0 x =xy = y0 x0 x11y二-y第九章求点的轨迹问题解析几何由N在x2 +y2=4上可知：x0 +y； =4,代入可得:2,口口 x=4即4，当0 c九1时，M的轨迹表示焦点在 x轴上的椭圆2(2)思路：由(1)可知曲线方程为 上+y2=1,从而题目中的点 P,R均有方程。设

16、所求4点Q (x,y则可考虑寻找Q的坐标与 P ( x1, yi ), R( x2 , y2年间的联系。本题 , P ,Q, R共线是关键点，因为在这条线上的点，其与。点距离的比值即为横纵坐标的比值。所以先从P,Q入手，题目中没有P ,Q的比例，则不妨设lPlttlQl,进而得到Q(x, y)与P t = Q2R2Q再设字母)x2 =tx2y2 =ty2o所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消仪1 =tx 一一，一_ _ 2P(x1,y1 )的联系：1，再寻找 Q,R的联系，结合条件Q,P=R可知y =ty22=今=咚，从而用t即可表示出Q(x, y)与R(x2，y2 )的联系(而不用 x y去t即可得到Q的轨迹方程2解：由（1）可得曲线方程为：