新人教版八年级上册数学 13 4 课题学习 最短路径问题 教学课件

1、我们以前学过哪些线段最短的问题？1.两点间线段最短；2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 通常把以上两个问题称为“最短路径问题”，今天，我们来学习新的最短路径问题！一、饮马问题 如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？ 分析：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在直线 l 的什么位置时，AC +CB 的和最小？lABCC转化为数学问题 联想 如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？

2、两点之间，线段最短. 连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求.BlA思考：能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？分析：lABClABC作法及思路分析1.作点 B 关于直线 l 的对称点 B ，连接CB。3.连接AB两点，线段AB与直线 l 的交点C 的位置即为所求。2.由上步可知 AC + CB = AC + CB，即把A、B 两点从直线 l 的同侧转化为异侧。BlABC证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BCAC +BC= AC +BC = AB，AC+BC = AC+BC在ABC中，AB AC+BC

3、，AC +BC AC+BC即AC +BC 最短你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？归纳lABClABCBlABC转化为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题提示：本题也可作A点关于直线l的对称点变式练习1如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚A. 问题：请你确定这一过程的最短路径.草 地小 河A如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?l1l2AMNAA转化为数学问题分别做点A关于l1、l2的对称点A 、 A ，连接A 、 A与l1、l2的交点M、N即为所求。变式练习2如图：某一天牧马人要从马棚

4、A牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天的最短路线。如图，在l1、l2之间有点A、B,要使AP+PQ+QB最小,点P、Q应该在 l1、l2的什么位置 ?转化为数学问题分别做点A、B关于l1、l2的对称点A 、 B ，连接A 、 B与l1、l2的交点P、Q即为所求。PQABBl1l2A (3)两点在两相交直线内部2.关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短”来解决。(2)一点在两相交直线内部(1)两点在一条直线同侧l1l2l1l21.学了三种情况下的最短路径问题 如图所示，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何

5、处可使从A 到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）二、造桥选址问题当点N在直线b的什么位置时，AM + MN +NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当 AM + NB 最小时，AM + MN +NB最小.将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A，则AA = MN，AM + NB = AN + NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时， AN+NB最小？连接AB与b相交于N，N点即为所求.1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.AB(1).2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.3. 如图，M、N分别是ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使PMN的周长最小.解：如图