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1、几率分布 (1) 粒子在原点出现的几率要么最大（n偶），要么为0（n为奇）(3) 当n越大时，其几率密度分布与经典几率密度分布越来越接近，当n时，量子和经典无差别，这也表现当量子数很大时，量子体系过渡到经典情况。(2) 粒子可在经典禁区中出现几率分布 -22-44|10|2n()n=2n=1n=0-11-1 0 10()例 电子被关在具有理想反射壁的三维 势阱中，求电子的能级和波函数。 本例题的目的是介绍分离变量法xyz按题意，相当于电子处在下列势场中：0 0 xa,0yb,0zcx0，xay0，ybz0，zc势阱外：U, 而有限，势阱内：U=0, Schrodinger方程为分离变量法令则有

2、两边同除则有ExEyEz分别仅与x、y和z有关的项相加等于常数，要成立只有这三项都必须为常数。0 xa (1)0ya (2)0za (3)对方程(1),其解为同理，对方程(2)ny1，2，3同理，对方程(3)nz1，2，3最后我们有阱内0 阱外例. 求三维谐振子能级 和本征函数。本例题目的是利用一维谐振子已知结论来讨论其它问题解： （1）三维谐振子 Hamilton 算符（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征函数和本征值为：则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有：例 荷电 q 的谐振子，受到沿 x 方向外 电场 作用，求能量本征值和本征函数

3、。本例题目的是利用一维谐振子已知结论来讨论其它问题受沿 x 方向外电场作用的带电谐振子的势能可表示为：相应的Schrodinger方程可写成解：带电粒子在电场中所受到的作用势对应于不同的n 或不同的，厄米方程的解为 Hn()， Hn()称为厄米多项式，可表示成： (6)其最高次幂是n，其系数为 两个递推公式因此我们可得到线性谐振子的波函数为归一化系数利用得到谐振子的能量取分立值：原因是：在本问题中，粒子在原点附近作简谐振荡，由于谐振子的势能U(x)，当x趋于无限大，即 因此，粒子不可能出现在无限远处。结论：谐振子问题属于束缚态问题。a. 能量量子化一般而言，只要是束缚态，其能级肯定是分立的。b. 均匀分布的能级c. 不为零的基态能量由 ，可知相邻能级间的间隔这正是planck当初的假设！经典能量量子在本问题中，基态对应于n0的情况。当n0时， 典型的量子效应 ！d. 和经典谐振子的比较经典力学中，粒子在x范围内出现的几率粒子通过x所需要的时间 粒子在x范围内出现的几率 0X经典力学中粒子在原点x0处出现的几率最小。（因为

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