2021-2022学年高二物理竞赛课件：算符的一般特性

1、算符的一般特性（1）线性算符(c11+c22)= c11+c22其中c1, c2是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数。满足如下运算规律的 算符 称为线性算符（2）算符相等若两个算符 、对体系的任何波函数 的运算结果都相 同，即= ，则算符 和算符 相等记为 = 。例如：开方算符、取复共轭均不是线性算符。 算符的一般特性代表对波函数进行某种运算或变换的符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：表示 把函数 u 变成 v， 就是这种变 换的算符。 u = v d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微

2、商算符。du / dx = v x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。x u = v算符之和 若两个算符 、 对体系的任何波函数 有： ( + ) = + = 则 + = 称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton 算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 - = + （-）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。算符之积若 ( ) = () = 则 = 其中是任意波函数。一般来说算符之积不满足 交换律，即 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。（5）对易关系若 ，则称 与 不对易。显然二者结果不相等，所以:对易关系量子力学中最基本的 对

3、易关系。若算符满足 = - ， 则称 和 反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： , - 这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式： 不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。返回逆算符1. 定义: 设= , 能够唯一的解出 , 则可定义 算符 之逆 -1 为

4、: -1 = 并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.2.性质 I: 若算符 之逆 -1 存在,则 -1 = -1 = I , , -1 = 0 证: = -1 = -1 ( ) = -1 因为是任意函数,所以-1 = I成立. 同理, -1 = I 亦成立.3.性质 II: 若 , 均存在逆算符, 则 ( )-1 = -1 -1例如: 设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛则可定义算符 的函数 F()为:复共轭算符算符的复共轭算符 *就是把表达式中 的所有量换成复共轭.例如: 坐标表象中算符函数利用波函数标准条件: 当|x| 时, 0。由于、是 任意波

5、函数, 所以同理可证:转置算符由此可得：:转置算符 的定义厄密共轭 算符亦可 写成：算符 之厄密共轭算符 + 定义:可以证明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + +定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.2. 性质性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 + = , + = 则 (+)+ = + + + = (+) 性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。 因为 ( )+ = + + = 仅当 , = 0 成立时, ( )+ = 才成立。返回H 与自旋无关，总自旋 S 是守恒量即使氦原子受到扰动，Hamilton 量有所改变，但是只要没

6、有显著的自旋轨道耦合作用，总自旋 S 就是守恒量，因此，虽然正氦基态能量比仲氦基态（氦原子真正基态）高得多，但是正氦放出能量跃迁到仲氦基态上去的概率却很小，这种状态称为亚稳态。一般来讲，正氦、仲氦相互转化的概率很小，因此正、仲二氦有时俨如两种不同气体。全同性要求电子波函数反对称化决定了氦的特殊性质尽管氦原子 H 与自旋无关，然而氦原子的性质却与自旋有很大关系。例如：总自旋不同的正、仲二氦性质上的明显差异就是电子的全同性引起的，全同性要求电子波函数反对称使得它们的自旋波函数与空间波函数关联起来，自旋通过这种关联影响空间波函数从而影响氦的性质。当 m n 时，氦激发态 4 度交换简并，应该使用简并微扰论。其中：由于总自旋波函数