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1、质量为u的粒子的一维势场2m 质量为 的粒子的一维势场中运动，其中 与 均为正实数。(1)试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本 征值和相应的本征函数；(2)给出粒子处于 区域中的几率.它是 还是 ，为什么？0 xV0提示：（2）除了要用边界条件外，还要用跃变条件（1）理解问题含义，分区求解（3）函数的作用3解：0 xV0在 区域，令有定态方程其解为在 区域，令有定态方程其解为在x=0区域是势阱, (1) 波函数满足边界条件故波函数的解为(2)波函数导数满足跃变条件4可以得到或两边平方，得显然|E|有解的条件为或这正是存在束缚态的条件。而束缚态能级由前式给出为束缚态波函数由式给出5归一化系数确

2、定为粒子处于 区的几率为因为显然所以即6 谐振子势中心附加 函数势，在原定态解中，哪些仍是解，哪些不再是解，需要重新求？提示：（1）熟练掌握谐振子能量本征函数及其特点（2）了解函数的作用，会使用跃变条件V(x)x0（3）要求波函数及其导数都要连续7解：原谐振子势体系的波函数为此波函数及其导数在原点处是连续的在原点加上势后，波函数导数要发生跃变，但偶宇称波函数显然不满足V(x)x0因此在原谐振子波函数中满足此条件的唯有波函数的奇宇称解，即注意此题与1.2题的异同，无需求偶宇称解。8 质量为 的粒子在势场 中作一维运动， 两个能量本征函数分别为 均为实常数。试确定参数 的取值，并求这两个态的能量之

3、差 。提示：（1）尽管没有给出势场的具体形式，但薛定谔方程的 形式是确定的，可以从波函数出发来求势场。（2）根据势场的性质确定波函数的特点及相关参数。（3）根据所得波函数代入薛定谔方程求得能量差。9解： 与 分别满足定态方程 将 代入方程（1），得 显然 满足空间反射不变性，从而此一维势场中束缚定态波函数具有确定的宇称。对第二个波函数10利用两个一维无限深势阱，通过边界条件联系起来问题：能否利用宽度为2a的一维对称无限深势阱， 选择那些在x=0处，波函数为0的态？另外一种处理方法：答案：不行！一旦存在中间无限高势，波函数马上会变成 的偶宇称波函数。比如右图的基态-11 求在半壁无限深方势阱中，求束缚态的条件 。0aV0提示：（2）除了要用边界条件外，还要用连续性条件（3）涉及到波函数的连续条件时，一般要求解 超越方程组。（1）理解题目问题含义，分区求解解：涉及的问题分三个区在 区在 区，令得定态方程12在 区，令得定态方程0aV0方程(1)满足边界条件 解是方程(2)满足边界条件 解是由连续条件 与 得注意：同一个束缚态波函数的不同部分由不同 区域分别求解并通过边界条件联系起来13以上两式相比得令代入(7)式，并由 定义可得其中

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