数学物理方程2.1课件

1、数学物理方程陈有亮上海理工大学环境与建筑学院第2章 分离变量法和积分变换法1 齐次波动方程的第边值问题2 齐次热传导方程的定解问题3 二维拉普拉斯方程4 非齐次定解问题的解法5 积分变换法习题二1 齐次波动方程的第边值问题1.1 有界弦的自由振动1.2 解的物理意义1.1 有界弦的自由振动考虑长为l，两端固定的有界弦的自由振动问题，其可归结为如下定解问题此定解问题的方程和边值条件都是齐次的，而初值条件是非齐次的。先对有界弦振动过程中的波形进行分析。波形表示波在传播过程中的真实形状(瞬间) ，即若选定一个坐标轴轴的话，它表示某时刻各点处的位移分布。试验表明，驻波在不同时刻各点处的位移按同一比例增

2、减。1.1 有界弦的自由振动设u(x,t)为驻波的位移函数, 在时刻t0的波形为 u(x,t0) =X(x)， 在时刻 t1的波形为u(x,t1)，则其中T1为常数 。再设在时刻 t2的波形为u(x,t2)，则其中T2为另一常数 。1.1 有界弦的自由振动设在时刻t的波形为 u(x,t)，则其中Tt是一个与x无关的量，它只随时间t的变化而变化，即T应该是时间t的函数。由(1.4) 得u(x,t)= u(x,t0)T(t)=X(x)T(t)下面介绍用分离变量法求解方程 (1.1) 的全过程 。1.1 有界弦的自由振动在求解之前我们首先要声明，我们所求的解为非零。求解过程大体分为三步。第一步，变量

3、分离设 u(x,t)= X(x)T(t) (1.5)将(1.5)代入方程(1.1)，可得 X(x)T(t)= a2X(x)T(t) 1.1 有界弦的自由振动由(1.7) 可以得到如下两个常微分方程由u(x,t)=X(x)T(t)和边界条件 (1.2)可得 X(0)T(t) =0, X(l)T(t) =0 (1.10)由于要求的解为非零解，故 u(x,t) 0, 则T(t) 0, (1.10) 变为1.1 有界弦的自由振动第二步，求解固有值问题。对分三种情况来讨论:(1) 0(2) 0(3) 01.1 有界弦的自由振动故A=B=0，即X(x)0, 不符合非零解的要求，因此不能小于零。(2) 0,

4、 此时方程X+X=0的通解为 X(x)=Ax+B由条件X(0) = X(l) =0仍然得到A=B=0, 即X(x)0, 所以也不能等于零。(3) 0, 此时方程X+X=0的通解为1.1 有界弦的自由振动由条件X(0) = X(l) =0, 可得则为使 X(x)不恒为零, 应有B0, 则只有 , 即满足这个等式的值就是固有值, 记为n, 即1.1 有界弦的自由振动相应的固有函数为其中Bn为任意常数。第三步, 求特解, 并叠加特解, 求出叠加系数。 对应于每一个固有值n, 方程的解是1.1 有界弦的自由振动其中Cn, Dn为待定常数。这样就得到满足方程(1.1)和边界条件(1.2)的可分离变量的一

5、系列特解为对应于每一个正整数n都有一个形如(1.13)的特解, 所以, 满足 方程(1.1)和边界条件(1.2)的解有无穷多个, 但形如(1.13)的特解不一定满足初值条件(1.3), 为了得到满足初值条件(1.3)的解, 我们把形如(1.13)的特解叠加起来, 记其和为u(x,t), 则1.1 有界弦的自由振动下面的问题是如何选取待定系数En,Fn, 以使整个级数满足初值条件(1.3), 将初值条件代入 (1.14), 可得等式右边两个级数恰好分别代表函数(x), (x)的傅里叶正弦级数展开。由函数展开成傅里叶级数的唯一性, 可得En和Fn的值为1.1 有界弦的自由振动为了解决这两个问题,

6、只需给(x)和(x)加一些约束条件即可。对于这里讨论的有界弦的自由振动问题, 我们假设(x)三次连续可微, (x)二次连续可微, 且(0)=(l) =(0) =(l)=(0)=(l) =0。可以证明，给出上述约束条件后，问题(1.1)-(1.3)的解存在,且可以用(1.14)的形式给出, 系数En,Fn由 (1.15) 确定。证明过程此处不再赘述。在本课程的教学中, 只要求出形式解即认为问题已经最后解决。1.1 有界弦的自由振动根据以上求解过程可以得到用分离变量法求解方程的一般步骤:第一步，分离变量。设u(x,t)=T(t)X(x), 代入方程, 分别得到两个关于T(t)和X(x)的常微分方程, 并由齐边值条件可得固有值问题。第二步，求解固有值问题，即解出固有值以及固有函数。第三步，确定系数。由选定的固有值来求T(t), 进而得到一系列特解，然后利用叠加原理叠加特解得到一个无穷级数解，并由初始条件确定无穷级数解的系数。在处理工程问题时，为了更贴近工程实际，减小误差，我们一般都是在三维空间中考虑问题。上述求解过程可以推广到三维情况。1.2 解的物理意义un(x,t)=Tn(t)Xn(x) 表示的就是一个振动波, 弦上各点以相同的角频率和初位相作简谐振动。该振动波还有一个特点, 就是在0,l范围内还有n+1个点(包括端点) 永远